单元教学设计8 函数的概念与性质-高中数学单元教学设计

103 << 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》指出：“函数是现代数学最 基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在 解决实际问题中发挥重要作用．函数是贯穿高中数学课程的主线．”本单元的内容包 括函数概念、函数性质、幂函数、函数的应用．函数的核心内涵是从非空数集到非 空数集的映射；不同函数性质的本质都是当自变量变化时，对应的函数值在随之变 化的过程中体现出的不变性或规律性． （二）内容解析 学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”．在高中阶段我们要建 河北正中实验中学  刘水媛 单元教学设计 8    函数的概念与性质 >> 104 　高中数学单元教学设计　 立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性．与初中的“变量说”相比， 高中用集合语言与对应关系表达了函数概念，明确了定义域、值域，引入了抽象符 号 f x( )．函数的单调性是函数的基本性质之一，它刻画了函数的增减变化规律．在 现实世界的运动变化中，增减趋势是主要的变化规律之一，引进函数的单调性为刻 画这种变化规律提供了方法．另外，方程、不等式等问题的求解，也可以利用函数 的单调性．因此，函数的单调性在数学领域内外都有重要的应用．函数的单调性是 函数的“局部”性质，即它通常是函数定义域的某个子集上具有的性质；而函数的 奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体 性质．围绕函数的奇偶性展开的核心概念是对称．学生关于对称的认知经历了以下 三个阶段：第一阶段，从实验几何获得“轴对称图形、中心对称图形”和“两个图 形成轴对称或中心对称”的概念，属于几何直观阶段；第二阶段，通过图象或图象 间具有对称性的一个或两个函数所具有的数量关系的研究，获得“奇函数、偶函数” 的概念和“两个函数图象相互对称”的概念，属于抽象思维阶段；第三阶段，从数 和形的角度，开展“方程曲线的对称和方程曲线间的相互对称”的研究，充分体现 几何直观与代数运算之间的融合，属于综合思维阶段．因此，函数的奇偶性的教学 承载着数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养的培养．“幂函数”这一节主要借 助对这一类函数的研究使学生理解研究一类函数的内容、基本思路（定义与表示— 图象与性质—应用）和方法．围绕函数概念这个核心，从相互联系的观点出发，利 用函数与数、代数式、方程、不等式之间的联系与类比，引导学生从不同角度理解 函数概念．“函数的应用”这一节主要利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简 单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题． 所以本单元的教学重点是，建立“对应关系说”观点下的用集合语言表述的函 数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养；理解函数的单调性、奇偶性；利用 定义证明函数的单调性；利用函数的奇偶性的概念及几何意义判断函数的奇偶性； 利用一般函数的概念、图象和性质研究五个幂函数，体会研究一类函数的“基本套 路”；将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系． 　单元教学设计 8 函数的概念与性质　 105 << 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系 刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作 用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． （2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、 解析法）表示函数，理解函数图象的作用． （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用分段函数． （4）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它 们的作用和实际意义． （5）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （6）通过具体实例，结合 y x y y x y x y x= = = = =， ， ， ，1 x 2 3 的图象，理解它们 的变化规律，了解幂函数． （7）体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变 量关系和规律的重要工具． （二）目标解析 （1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关 系、定义域与值域三个要素，构建函数的一般概念． （2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表 示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性． >> 106 　高中数学单元教学设计　 （3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念， 学会用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养． （4）在用符号语言刻画函数的单调性时，知道“任意”“都有”等关键词的含义； 能够从函数图象或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数 的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减少上的变化趋势． （5）会用函数单调性的定义按一定的步骤证明函数的单调性． （6）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大值、最 小值．经历从图象直观到自然语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟通过引入 “ ∀ ∈x x D1 2， ”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为用“有限”方式表示 的方法，感受数学中符号语言的作用． （7）知道函数的奇偶性把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，沟 通了形与数，实现了从定性到定量的转化，并会用严格的符号语言表示． （8）会用函数奇偶性的定义，按一定的步骤证明函数的奇偶性． （9）能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数 的一般形式；会利用幂函数的定义判断给出的函数是否为幂函数；会画出五个具体 幂函数的草图，并利用图象得到它们的性质，能利用幂函数解决一些简单的问题． （10）能运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际应用中的问 题，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元教学约需 11 课时，具体安排如下： 3.1 函数的概念及其表示 约 4 课时 3.2 函数的基本性质 约 3 课时 3.3 幂函数 约 1 课时 3.4 函数的应用（一） 约 1 课时 　单元教学设计 8 函数的概念与性质　 107 << 小结 约 2 课时 （二）教学评价 通过初中函数相关知识的学习，学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修 第一册第一章“集合与常用逻辑用语”的学习，学生对集合思想的认识日渐提高， 这为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．学生在初中阶段已 经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对它们都研究了函数值 随自变量的增大而增大（减小）的规律，从而能够理解函数图象呈上升或下降的趋 势可以用“ y 随着 x 的增大而增大或减小”这样的自然语言来描述．学生在初中阶段 已经学习了轴对称图形、中心对称图形以及它们的性质，对二次函数、反比例函数 图象的对称性也非常熟悉．对于具体函数，学生应能够观察函数图象，描述图象的 对称性，能够从数量关系上对函数的对称性进行初步刻画． 初中函数概念没有涉及自变量与函数值的取值范围，学生在学习时也不知道为 何要研究量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题．在教学中教师应结合教材中 的实例 1 与实例 2 的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必 要性．如何认识函数的对应关系，是第二个教学问题．在教学中，教师要让学生通 过四个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、 图象与表格体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系 f 的本质．虽然学 生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要 性，但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念，并以此培养学生的数 学抽象素养，成为第三个教学问题．在教学中，教师可以将四个实例各自得到的三 个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般 的函数概念．在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数， 建立知识之间的联系，是第四个教学问题．在此，除让学生按函数定义，仿照四个 实例的分析具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，教师还必须重视让学生 采用教材中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些题 目供练习．单调性这一节需要将自然语言转化为符号语言： ∀ ∈x x D1 2， ，当 x x1 2< 时，都有 f x f x( 1 2) < ( ) ( f x f x( 1 2) > ( ))，那么就称函数 f x( )在区间 D 上单调递增（递 减）．这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点，这是第 五个教学问题．教师可以利用学生所熟悉的一次函数、二次函数等来分析，并借助 >> 108 　高中数学单元教学设计　 表格、信息技术—几何画板给学生直观地展示函数值随自变量的增大而增大（减 小）的过程，数形结合地提出问题，引导学生逐步抽象出单调性的定义，再通过辨 析、练习帮助学生体会单调性的应用，最后通过用定义证明具体函数的单调性，逐 步加深学生对符号语言的理解．在学习奇偶性时，学生并不明确数与形转化的过程， 此如，为什么对于定义域内的任意 x ，当满足 f x f x( ) ( )- = 时，函数图象就关于 y 轴 对称了？学生的分析归纳能力和用数学规范语言表达的能力还比较弱，这是第六个 教学问题．通过对函数奇偶性的理解和学习，学生初步积累了研究函数的基本方法 与初步经验，接触了由形象到具体，再由具体到一般的科学处理方法，这些对本节 内容刚开始的引入和概念形成起到很好的铺垫作用，教师必须引导学生从“数”与 “形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识． 本单元的教学难点是对 y f x= ( )中 f 的理解，从不同问题情境中提炼出函数要素， 并由此抽象出函数的概念和增（减）函数的定义，并利用增（减）函数的定义判断函 数的单调性；用符号语言表达函数的奇偶性，由用对称点坐标的关系过渡到用数量关 系刻画函数奇偶性以及对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用． 1. 知识理解评价要求 通过本单元的学习，学生在初中用变量依赖关系描述函数的基础上，应能结合语 言和对应关系刻画函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；能确定 简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值，能选择适当的函数表示法 表示函数；能根据函数的单调性定义证明简单函数的单调性，求简单函数的最大（小） 值；能根据函数的奇偶性定义判断常见函数的奇偶性；在此基础上，掌握五个特殊幂 函数的图象与性质，并能运用分段函数等函数模型解决一些简单的问题． （1）理解函数的概念：能从集合与对应的角度认识函数，并能用建立在集合语 言与对应关系基础上的函数概念去理解函数；对于具体函数，能分清函数的定义域、 对应关系与值域这三个要素；对于给定的函数，能根据自变量的值正确计算出对应 的函数值． （2）理解区间的概念：知道区间是特殊的集合，集合不一定可以用区间表示； 能用区间正确表示函数的定义域、值域． （3）理解函数的表示：知道解析式、图象与表格是函数表示的三种常用方法， 并能说明不是任意函数都可以用解析式、图象与表格三种方法表示；对于具体函数， 能选择适当的方法将其表示出来；对于一些简单函数，能根据函数的解析式画出函 数的图象． 　单元教学设计 8 函数的概念与性质　 109 << （4）了解分段函数：知道分段函数是一种重要的函数模型，在实际问题中经常 运用；能用分段函数正确表示一些相关的函数问题． （5）理解函数的单调性：在用自然语言、图形语言描述函数单调性的基础上， 能用符号语言刻画函数的单调性；能利用函数的单调性画函数的图象，根据函数图 象写出函数的单调区间；对于简单函数，能根据解析式求出函数的单调区间；能根 据函数单调性的定义证明简单函数的单调性． （6）理解函数的最大（小）值：理解函数最大（小）值的定义；能根据函数图 象得出函数的最大（小）值；对于已经学过的简单函数，能根据函数最大（小）值 的定义求出其最大（小）值． （7）了解函数的奇偶性：知道奇函数与偶函数的定义和图象特征，能从函数图 象上直观判断函数是否具有奇偶性；能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 能利用函数的奇偶性画函数图象和计算函数值． （8）了解幂函数的概念：经历从具体情境中抽象出幂函数概念的过程，知道幂 函数的定义，能识别幂函数，但不对一般幂函数进行拓广． （9）掌握五个特殊幂函数的图象与性质：能正确画出幂函数 y x y= =， ，1 x y x y x y x= = =2 3， ， 的图象，描述它们的变化规律，讨论它们的基本性质，比较它 们与正比例函数、反比例函数、一次函数及二次函数的关系． （10）理解函数模型的应用：能结合具体的现实问题情境，合理选择已经学过的 一次函数、二次函数、幂函数与分段函数等函数模型，解决简单的实际问题． 2. 思想方法评价要求 （1）函数与方程：能运用函数模型观察、分析实际问题中的数量关系，并通过 从实际情境中提取变量，寻求变量的变化范围及变量间的对应关系建立函数模型描 述现实世界中事物的变化规律，解决相关的实际问题． （2）数形结合：能分别用解析式与图象表示函数，并在这个过程中进行直观与 抽象的转化；体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发 现函数的性质，利用函数的图象解决问题． （3）特殊与一般：能根据函数的一般概念，从具体问题中抽象出一次函数、二次 函数与幂函数等特殊函数模型；能将通过观察特殊函数值表现的特征发现函数的单调 性与奇偶性的研究过程运用到研究事物发展的一般规律上去． （4）分类与整合：能运用分段函数、幂函数的指数对幂函数图象与性质的影响， >> 110 　高中数学单元教学设计　 获得需分类解决的问题中的函数模型，并依所建模型分类解决问题；能通过对函数 定义域的分划与合并，建立函数模型解决问题． 3. 关键能力评价要求 （1）抽象概括：能从实际问题情境中抽象出函数的三要素，在此基础上抽象出 函数概念并用数学符号表示；能够在具体问题情境中，发现熟悉的函数模型并提出 与函数有关的数学问题，合理选择函数模型表述变化规律和解决问题． （2）推理论证：能根据函数单调性的定义判断函数的单调性；能根据函数单调 性的定义证明某些简单函数的单调性；能利用函数的单调性比较两个数的大小；能 根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性． （3）直观想象：能用函数的图象表示函数，刻画用函数描述的事物运动和变化 的规律；对于已经学过的基本函数，能在函数图象与函数解析式之间相互转化；能 借助函数的图象探究函数的基本性质． （4）运算求解：能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定 自变量所对应的函数值；能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题． 四、课时典例分析 第11课时  小结 （一）教学内容 本节课是单元复习课的第二节，是在复习了单元知识和思想方法之后，根据单 元核心内容所设计的适用于学生实战环节的一节课，能够有效地反馈学生对单元知 识和思想方法的理解和掌握程度，同时为学生解决单元核心问题积累了活动经验， 并再一次提炼了单元大概念．在“函数的概念与性质”这一单元中，函数性质的研 究过程体现了本单元的主要思想方法，因此与之相关的习题成为课堂选题的出发点． 所以本节课的主要内容是研究对勾函数的性质． 　单元教学设计 8 函数的概念与性质　 111 << （二）教学目标 （1）画出函数 f x x( ) = + 1 x 的图象，并研究它的性质． （2）通过对函数 f x x( ) = + 1 x 的研究，体会研究一类函数的基本方法． （三）教学重点、难点 教学重点：通过对函数 f x x( ) = + 1 x 的研究，掌握研究一类函数的基本方法． 教学难点：得出函数 f x x( ) = + 1 x 的性质后，将其推广至一般情况． （四）教学过程设计 1. 活动 1 经过幂函数的学习，我们知道 y x= 与 y = 1 x 都是幂函数．不同的函数通过加减 乘除等运算可以构成新的函数．那么将这两个幂函数相加构成的函数 f x x( ) = + 1 x 有 哪些性质？根据本章的知识和思想方法，你能设计出这个函数的研究路径吗？ 师生互动：教师提出问题，学生思考后回答问题．根据学生的回答，教师进行 必要的补充和提醒，师生可以一起回忆幂函数的研究过程，类比幂函数的研究过程 研究这个新函数．最后教师指明研究路径应该是“函数解析式—图象—图象特征— 性质—应用”． 设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数的一般方法． >> 112 　高中数学单元教学设计　 2. 活动 2 你认为可以从哪些方面研究这个函数？如何画出该函数的图象？观察它的解析 式，你能先说出它的一些性质吗？观察函数图象，你能发现它的哪些性质？ 师生互动：学生回答，并尝试用描点法作图．教师在学生回答的基础上进行 补充，然后指出：根据我们学过的函数知识，应该研究函数的定义域、值域、单调 性、奇偶性等内容，最后使学生认识到函数 f x x( ) = + 1 x 的定义域为 {x x| 0≠ }，并且 由f x x x f x(− = − − = − + = −) 1 1 x x       ( ) 知道 f x x( ) = + 1 x 是奇函数，这可以简化作图的 过程． 学生利用描点法作图，老师利用信息技术画图并演示． 学生讨论，最终师生一起总结出如下性质： （1）图象： 2 -2 -1 1 y O x （2）定义域： {x | x ≠ 0} ． （3）值域： ( 2] [2 )−∞ − + ∞， ， ． （4）奇偶性：奇函数． （5）单调性：在 ( 1) (1 )−∞ − + ∞， ， ， 上单调递增，在 ( 1 0) (0 1)− ， ， ， 上单调递减． 设计意图：让学生经历自主画图的过程，根据解析式的特点，对函数的性质 进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特 征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点，感受通过解析式简化 作图的过程．通过设计开放性的问题和一个问题串，引导学生层层递进地回顾本 章的知识内容，复习研究函数的一般过程，思考函数的研究路径，提炼函数研究 的一般方法，最后突出研究对象的一般化． 　单元教学设计 8 函数的概念与性质　 113 << 3. 活动 3 事实上，观察得到的结论有时候是不可靠的，我们还应进行严格的证明．你能 证明刚才我们观察得到的单调性和值域吗？ 师生互动：教师提出问题，学生回答．比如，可以在 x > 0 时用基本不等式得出 f x( )≥2 的结论，再利用奇函数的性质得到在 x < 0 时 f x( )≤−2 的结论．综合同学们 的发言可以得出结论：先研究单调性，如果证明了单调性，值域自然就可得出了． 学生独立完成证明单调性的过程，请几位同学板书证明过程，教师对学生的证 明过程进行评价和错误纠正． 设计意图：引导学生对观察得到的性质进行理性思考，利用解析式对结论进 行严格证明，提高学生思维的严谨性，同时引导学生认识用抽象语言表述的单调 性定义在证明中的重要作用． 4．活动 4 上述性质是否可推广到一般函数 y ax a b= + > >b x ( 0 0， )中？ 师生互动：小组合作讨论，得出结论，教师总结． （1）图象： y O x ab y ax b a ab b a （2）定义域： {x x| 0≠ }． （3）值域： (−∞ − + ∞， ，2 2ab ab   )． （4）奇偶性：奇函数． （5）单调性：在                −∞ − + ∞， ， ， b b a a 上单调递增，在                − b b a a ， ， ，0 0 上 单调递减． >> 114 　高中数学单元教学设计　 设计意图：从特殊到一般的研究过程，培养了学生知识的迁移运用能力． 5．小结及反思 教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题： y ax a b= + > >b x ( 0 0， )这类函数我们称之为对勾函数，你能说说它具有哪些性 质吗？结合刚才的研究过程，你能归纳函数的研究内容和方法吗？ 设计意图：学科大概念视域下的单元复习课，以获得数学概念为目标和指 引，复习单元主干知识，构建知识网络，关注思想方法、一般概念的渗透，通过 设计典型的、开放性的、创新性的问题，激发学生对知识的思考和对思想方法的 领悟，提升学生解决问题的能力，落实学生核心素养的发展． 6．作业 自 主 研 究 函 数 g x x( ) = − 1 x 的 性 质， 并 将 其 推 广 到 一 般 函 数 y ax a b= + > <b x ( 0 0)， 中． 设计意图：考查学生对研究函数的一般思路和方法的理解．