单元教学设计7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质-高中数学单元教学设计

>> 090 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 三角函数是一类描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要 的作用．《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》明确指出人教 A 版高 中数学必修第一册第五章“三角函数”为一个大单元．基于学生认知过程的合理性， 该课程标准将本章整合为“角与弧度”“同角三角函数的基本关系式”“三角恒等变 换”“三角函数概念和性质”“三角函数应用”五方面的内容．其知识结构如图所示． 石家庄市第二十四中学  阿文音 单元教学设计 7    基于学生认知基础的三角函数的图象与性质 　单元教学设计 7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质　 091 << 任 意 角 单位圆上点的运动 任意圆上点的运动 诱导公式 同角三角函数的基本关系式 三角恒等变换 三角函数的实际应用 y＝sin x y＝Asin(ωx＋φ) 参数A，ω，φ 对函数图象的影响 函数图象与性质 周 期 性 奇 偶 性 单 调 性 有 界 性 y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) y＝cos x y＝tan x 三角函数的定义 弧 度 制 三角函数的图象与性质及其应用是三角函数大单元中很重要的内容，包括正弦 函数 y ＝ sin x、余弦函数 y ＝ cos x 的图象与性质；函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象 与性质及其实际应用． 现以三角函数的图象与性质为例，说明本单元教学整体设计的框架和范式． （二）内容解析 本单元内容突出了三角函数为描述周期变化的数学模型这一本质，三角函数是 周期现象的直观表示与代数表示．通过发现生活中的周期现象，借助单位圆建立三 角函数的概念，学生可以感受引入三角函数的必要性．其中蕴含的数学思想方法是 直观想象、数学建模和数形结合思想方法；在知识的上、下位关系上，三角函数是 特殊的函数，是研究欧几里得几何的基础，为函数的下位知识，因此对三角函数的 图象与性质的研究基本遵从函数的图象与性质的研究路径，可以类比前面的幂函数、 指数函数和对数函数的方法展开研究． 三角函数的图象与性质的教学应该从以下几方面入手： 绘制函数图象 观察图象、发现性质 证明性质 应用性质 在教学中，教师要充分发挥单位圆的作用，引导学生自主地用单位圆探索三角 函数的有关性质，要逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，并 强调单位圆是解决三角函数问题的有力工具，提高学生分析和解决问题的能力． 三角函数是刻画周期现象的函数模型，在本章中教师应教会学生研究周期现 象的一般方法：在一个周期内研究性质，该函数在其他周期内重复基本周期区间的 >> 092 　高中数学单元教学设计　 性质． 绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，先解决精准绘制某一个点 T(x0， sin x0)，x0 ∈ [0，2π] 的问题，接着用相同的方法描出其他点，进而画出正弦函数 在一个周期内的图象，并通过平移画出正弦函数的图象．这个过程充分体现了从特 殊到一般的研究方法．在此基础上，通过平移变换，画出余弦函数的图象． 有了函数的图象，就可以发挥图象的直观作用，通过观察，获得正弦函数、余 弦函数的性质，并给予代数证明．比如，借助单位圆的直观特点，可以很好地帮助 学生理解正弦函数、余弦函数的周期性、最值、单调性、奇偶性等性质，又能更好 地反映问题本质．在利用图象研究性质的教学中应不断渗透、强化数形结合思想的 应用． 研究函数性质的关键是研究参数 A，ω，φ 的变化对函数图象的影响；从正弦函 数 y ＝ sin x 的图象出发，依次研究各参数对图象的影响，从整体上把握由正弦函数 的图象通过变换得到函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的过程，这体现了从特殊到一般的 方法．进而通过类比思想，研究函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的性质及其应用． 基于以上分析，确定本单元的教学重点，教学重点如下：正弦函数、余弦函数 的图象与性质；用函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过 程；参数 A，ω，φ 对函数图象的影响；函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的变化过程，以 及简单的实际应用． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 在本章中，学生将了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系； 借助单位圆建立三角函数的概念；基于单位圆的主线和核心作用，通过实例，学习 研究三角函数及其基本性质的方法，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题 中的作用．教师将引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模 型，体验三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 　单元教学设计 7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质　 093 << 培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象等数学素养．用几何直 观和代数运算的方法，利用数形结合、类比转化的数学思想，研究三角函数的周期 性、奇偶性、单调性和最值等性质；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题． 基于发展核心素养的学习需要，整合与优化三角函数的教学内容，整体设计 “三角函数的图象与性质”的教学，充分照顾学生的认知基础，使其更好地理解数学 知识的整体性，培养学生解决问题的能力；充分调动学生的积极性与主动性，培养 学生的独立性与创新精神． 单元目标的具体要求如下： （1）经历绘制正弦函数、余弦函数图象的过程，掌握绘制正弦函数、余弦函数 图象的方法． （2）经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质． （3）了解函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过 程，进一步体会三角函数与现实生活的密切联系，发展数学建模素养． （4）掌握参数 A，ω，φ 的实际意义，以及它们对函数图象的影响，发展数学抽 象、逻辑推理与直观想象的素养． （5）理解从正弦函数到函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的变换过程，掌握绘制函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的方法—五点法． （6）会用三角函数解决数学问题和一些简单的实际问题，体会三角函数是描述 周期现象的重要函数模型． （二）目标解析 学生体验用三角函数描述周期现象，借助单位圆上点的旋转过程，抽象三角函 数的概念，借助单位圆的几何特征探索三角函数的性质．注意挖掘教学中的一些知 识，制定出灵活而富有弹性的、适合学生特点、符合学情的教学目标． 达成上述目标的标志如下： （1）学生先根据正弦函数的定义绘制出一个点，再绘制出正弦函数在一个周期 [0，2π] 内的图象，能说出正弦函数图象的特点，通过平移得到余弦函数的图象， 并能用五点法绘制正弦函数、余弦函数的图象． （2）学生能利用正弦函数、余弦函数的图象，得到其周期性、奇偶性、单调性、 最值等性质，并给予代数证明；能利用正弦函数、余弦函数的性质解决有关的问题． >> 094 　高中数学单元教学设计　 （3）能借助筒车这一现实模型，说明函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 与现实中的匀速圆 周运动之间的内在联系；通过对筒车运动变化规律的观察分析、抽象概括，能获得 函数模型 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)，并能说出参数 A，ω，φ 以及变量 x，y 的物理意义．借 助信息技术呈现质点的匀速圆周运动变化过程以及质点运动规律的函数表示，能结 合实验操作说明参数 A，ω，φ 对函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的影响，并能从图象上 任意一点的坐标变化判断函数图象的变换过程． （4）能从正弦曲线出发，经过平移变换、横坐标的伸缩变换（周期变换）、纵 坐标的伸缩变换（振幅变换）得到函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象；能准确解释函数 解析式的变化与相应函数图象的变换之间的内在联系． （5）能根据函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ) 在一个周期内的零点、最小值点和最大值点， 即用五点法画出简图；能根据函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象说明其性质，并能运 用性质解决一些简单的数学问题和实际问题（限定为具有匀速圆周运动特征的实际 问题）． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元建议用 5 课时教学，具体安排如下： 教学内容 课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质 2 函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ) 的图象与性质 2 函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ) 的实际应用 1 　单元教学设计 7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质　 095 << （二）教学评价 三角函数的图象与性质的教学评价与诊断主要涉及以下四方面： （1）制定明确的教学目标：例如，学生应能画出三角函数（正弦函数、余弦函 数）的图象，理解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大（小）值等． （2）采用多元化的评价方法：包括小组讨论、评价量规、自评和互评等，以监 控学生的学习进度，提高他们的合作交流能力．同时，鼓励学生通过大胆质疑、猜 想以及自主探究来研究三角函数图象变换的特点，总结规律． （3）反思和调整教学策略：根据学生的反馈和学习表现，教师需要对教学内容 和方法进行反思和调整．例如，教师可以引导学生通过探究性学习活动得出正弦函 数、余弦函数的性质，同时在教学中为学生留下探索、思考的空间，让学生在自主 参与的活动中产生体验． （4）提升学生的学习能力：通过这个单元的学习，学生应该能够建立三角函数 的定义（单位圆）与三角函数图象的联系，提高观察、分析能力以及用发散思维和 形象思维解决问题的能力． 总的来说，评价与诊断三角函数的图象与性质的教学需要从教学目标的制定、 评价方法的选择、教学策略的调整和学生学习能力的提升等多个角度进行，以确保 教学质量和效果． 在研究函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象与性质时，参数 A，ω，φ 的变化对函数 图象的影响，其实是使图象上的点 (x，y) 发生了变化，学生对这一数学本质的认识 不够，而导致三种不同变换顺序的混乱．在教学中，教师需要突出参数的实际意义， 遵循从特殊到一般、从具体到抽象的过程，同时借助信息技术，直观呈现各要素运 动变化之间的关联性，突破教学难点．在教学中，教师需要从学生已有的知识经验 出发，使学生认识到自己知识的不足，注意挖掘一些知识，制定出灵活而富有弹性 的、适合学生特点的、符合学情的教学目标，这样效果较好． 基于以上教学目标的制定和单元教学的学情分析，需要突破的本单元的教学难 点如下： （1）绘制正弦函数与余弦函数的图象；理解绘制余弦函数的图象的方法． （2）对正弦函数、余弦函数性质的理解，及性质（单调性、奇偶性、周期性、 值域）的应用． （3）参数 A，ω，φ 对函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的影响，即函数图象的变化过 程及其实际应用． >> 096 　高中数学单元教学设计　 四、课时典例分析 第3，4课时  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 （一）教学内容 本节的主要内容是一般的匀速圆周运动函数模型的建立；参数 A，ω，φ 对函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的影响；函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的简单应用． （二）教学目标 （1）了解函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过 程，进一步体会三角函数与现实生活的密切联系，发展数学建模素养． （2）掌握参数 A，ω，φ 的实际意义，以及它们对函数图象的影响，发展数学抽 象、逻辑推理与直观想象的素养． （3）理解从正弦函数到函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的变换过程，掌握绘制函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的方法—五点法． （4）会用三角函数解决数学问题和一些简单的实际问题，体会三角函数是描述 周期现象的重要函数模型． （三）教学重点、难点 教学重点：用函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过 程；从正弦函数到函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ) 图象的变换过程，以及函数 y ＝ Asin(ωx＋ 　单元教学设计 7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质　 097 << φ) 简单的实际应用． 教学难点：掌握参数 A，ω，φ 的实际意义，以及它们对函数图象的影响． （四）教学过程设计 1. 活动 1：创设问题情境，建立函数模型 以筒车为背景引入函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)，结合筒车的圆周运动研究函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)，具有丰富的现实背景，说明函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 在解决实际问题 中有着重要的作用． 在筒车的运动模型中，盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角 函数模型去刻画它的运动规律． 问题 1 ：若将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过 t s 后，盛水筒距离 水面的高度 H 与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？ 学生活动，分组讨论，教师进行适时的引导，并借助信息技术动态地呈现点 P 的运动状态；分析出与时间 t 和高度 H 有关的量有筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h，筒车的半径 r，筒车转动的角速度 ω，盛水筒开始旋转的初始位置 Q 及其对应的 初始角 φ；建立如图所示的直角坐标系，进而探究得出时间 t 与 H 之间的等量关系： H ＝ rsin(ωt ＋ φ) ＋ h． y P 水面 O Q x r h 设计意图：结合筒车的实际问题，建立三角函数模型，引出本单元的核心内 容，让学生经历数学建模的全过程，培养学生用数学的眼光看世界、用数学的语 言表达世界的能力． >> 098 　高中数学单元教学设计　 2. 活动 2：明确函数 y=Asin(ωx+φ) 的研究思路 思考：通过上述实例，得到了形如 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的函数，只要清楚了这个 函数的图象与性质，我们就可以把握筒车的运动规律． 从解析式来看，函数 y=sin x 就是函数 y=Asin(ωx+φ) 在 A=1，ω=1，φ=0 时的 特殊情形． 我们可以借助熟悉的函数 y=sin x 的图象与性质研究参数 A，ω，φ 对函数 y=Asin(ωx+φ) 图象的影响． 函数 y=Asin(ωx+φ) 含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 引导学生从正弦函数出发，研究各参数对函数 y=Asin(ωx+φ) 图象的影响，允许 学生有不同的选择策略．一般情况下，因为学生对平移变换有一定的认识，因此建 议学生先从 φ 开始研究，再依次研究 ω 和 A 对图象的影响．教师和学生一起探讨研 究思路，并借助信息技术进行分组实验探究． 3. 活动 3：探索 φ 对函数 y=sin(x+φ) 的图象的影响 探索 φ对函数 y=sin(x+φ) 的图象的影响，即探究函数 y=sin x 与函数 y=sin(x+φ) 的关系． （1）把 y=sin x 图 象 上所有点向左平移 π 6 个单位长度，得到 y x= +sin      π 6 的 图象． （2）把 y=sin x 图 象 上所有点向右平移 π 6 个单位长度，得到 y x= −sin      π 6 的 图象． （3）把 y=sin x 图象上所有点向左 (φ ＞ 0) 或向右 (φ ＜ 0) 平移 |φ| 个单位长度， 得到 y=sin(x+φ) 的图象． 设计意图：本环节借助信息技术鼓励学生进行小组合作探究参数 φ 对函数 y=sin(x+φ) 的图象的影响；教师通过引导追问的方式，帮助学生观察，发现问 题，并进行理性思考，提高学生的直观想象和逻辑推理能力． 　单元教学设计 7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质　 099 << 4. 活动 4：探索 ω(ω ＞ 0) 对函数 y=sin(ωx+φ) 的图象的影响 若取 A ＝ 1，φ ＝ π 6 ，当 ω ＝ 1 时可得到函数 y x= +sin      π 6 的图象． （1）取 ω ＝ 2 时，函数图象有什么变化？ 把 y x= +sin      π 6 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到 y x= +sin 2     π 6 的图象． （2）取 ω ＝ 1 2 时，函数图象有什么变化？ 把 y x= +sin      π 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y x= +sin      1 2 6 π 的图象． 思考：当 ω 取 3， 1 3 时，函数图象又有什么变化？取任意正数呢？ 把 y ＝ sin(x ＋ φ) 图象上所有点的横坐标缩短 (ω ＞ 1) 或伸长 (0 ＜ ω ＜ 1) 到原 来的 ω 1 倍，纵坐标不变，得到 y ＝ sin(ωx ＋ φ) 的图象． 5. 活动 5：探索 A(A ＞ 0) 对函数 y ＝ Asin(ωx+φ) 的图象的影响 通过活动得出如下结论： 把 y ＝ sin(x ＋ φ) 图象上所有点的纵坐标缩短 (0 ＜ A ＜ 1) 或伸长 (A ＞ 1) 到原 来的 A 倍，横坐标不变，得到 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的图象． 综上，总结得出图象变换的过程与方法． 一般地，函数 y ＝ Asin(ωx+φ)（其中 A ＞ 0，ω ＞ 0）的图象，可以用以下方法 得到： >> 100 　高中数学单元教学设计　 A y= sinx φ 0 φ 0 φ y=sin x+φ ω 1 0 ω 1 y=sin x+φ y=sin ωx+φ ω 1 0 A<1 A>1 y=sin ωx+φ y= Asin ωx+φ 设计意图：通过图象变换的学习，培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的 思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃． 6. 活动 6：例题分析，巩固知识 例 1 ：画出函数 y x= +2sin 3     π 6 的简图． 方法一  图象变换法（采取两种不同的变换方法）： （1）先平移后伸缩； （2）先伸缩后平移． 学生分小组合作探究，选出代表发言．教师用计算机画出图象，总结各小组的 结论，重点分析出现的问题，指出两种变换方法的区别，并分析原因，加深学生对 知识的理解． 方法二  五点法（抓住五个关键点）． 例 2 ：已知函数 y x= +3sin      π 5 的图象为 C，完成下列问题： （1）为了得到函数 y x= +3sin 2     π 5 的图象，只要把 C 上所有点的 （ ） A. 横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标不变 　单元教学设计 7 基于学生认知基础的三角函数的图象与性质　 101 << （2）为了得到函数 y x= −3sin      π 5 的图象，要把 C 上所有的点 （ ） A. 向右平行移动 π 5 个单位长度 B. 向左平行移动 π 5 个单位长度 C. 向右平行移动 2 5 π 个单位长度 D. 向左平行移动 2 5 π 个单位长度 答案：（1）B；（2）C． 7. 小结及反思 教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答以下问题： （1）概括本单元知识的基本脉络． （2）函数 y＝Asin(ωx+φ) 中参数 A，ω，φ 的物理意义是什么？说明各参数对函 数 y=Asin(ωx+φ) 图象的影响． （3）掌握五点法，由正弦函数 y＝sin x 的图象经过怎么样的变换可以得到函数 y＝Asin(ωx+φ) 的图象？ （4）让学生体会利用三角函数构建刻画周期现象的数学模型的过程，说一说如 何利用三角函数模型解决简单的实际问题． （5）在本单元的知识探究过程中，你有哪些思想方法值得总结？通过本单元的 学习，谈谈你对数学建模过程与方法的认识． 8. 作业 作业 1 ：教材第 240 ～ 241 页习题 5．6 第 1，2，3，4，5，7 题． 作业 2 ：函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) （A ＞ 0，0 ＜ φ ＜ π）在一个周期内的图象如 图所示，求此函数的解析式． 2 2 O x 12 5π  12 π y 设计意图：考查学生对参数 φ 对函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 图象的影响的掌握． 作业 3 ：水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是 人类利用自然和改造自然的象征．已知一个半径为 R 的水车（圆心在原点），一个 >> 102 　高中数学单元教学设计　 水斗从点 M( 2 ，－ 2 ) 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点 N(x，y)，其纵坐标满足 y＝ f (t)＝Rsin(ωt ＋ φ) (t ≥ 0，ω ＞ 0，|φ| ＜ π 2 )，则函数 f (t) 的解析式为 （ ） A. f (t ) ＝2sin     3 π 0 t − π 4 B. f (t ) ＝ 2 sin     3 π 0 t − π 4 C. f (t ) ＝2sin     6 π 0 t − π 4 D. f (t ) ＝2sin     3 π 0 t − 6 π 设计意图：考查学生对三角函数的理解，让学生体会利用三角函数构建刻画 周期现象的数学模型的过程．