单元教学设计6 基于关键能力培养的平面解析几何-高中数学单元教学设计

>> 072 一、单元内容及其解析 人们经常采用坐标法研究几何图形的性质，坐标法是解析几何中最基本的研 究方法．高中数学平面解析几何部分包括选择性必修第一册第二章“直线和圆的方 程”、第三章“圆锥曲线的方程”．“直线和圆的方程”是解析几何的起始章节，直 线和圆的方程是基本的曲线方程，是高中阶段用坐标法解决解析几何问题的开始． 这一章以向量为工具，利用坐标法在平面直角坐标系中将几何问题代数化，进而解 决了直线与圆的相关问题，也为后面学习圆锥曲线打下了基础．“圆锥曲线的方程” 一章主要包括三种圆锥曲线的标准方程和几何性质，从知识技能的角度来看，其知 识结构相近，同时本章用数形结合的思想，深刻认识数和形的辩证统一关系． （一）单元内容 第二章“直线和圆的方程”主要研究直线和圆的性质、方程及其应用，包括直 线的斜率、截距、两点式和点斜式等表示方法，以及圆的标准方程、一般方程、切 石家庄市第一中学  孟庆善 单元教学设计 6    基于关键能力培养的平面解析几何 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 073 << 线和法线等概念．本章的内容包括直线的倾斜角与斜率，直线的方程，直线的交点 坐标与距离公式，圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系． 第三章“圆锥曲线的方程”分为椭圆、双曲线、抛物线三部分内容，按照“曲 线的几何特征—曲线的标准方程—通过方程研究曲线的性质—应用”的过程展开研 究，主要研究椭圆、双曲线和抛物线的性质、方程及其应用．本章的内容包括椭圆 的标准方程、离心率、焦点、通径等概念，双曲线的标准方程、离心率、渐近线等 概念，以及抛物线的标准方程、焦点、准线等概念． （二）内容解析 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》对解析几何部分的要求主 要包括以下四方面： （1）了解和掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的方程及其性质，包括标准 方程、一般方程、离心率、焦点、准线等概念． （2）理解和应用直线与圆、圆锥曲线的基本性质和方程，包括直线与圆的位置 关系、切线和法线的性质等． （3）掌握直线与圆、圆锥曲线的解析几何应用，包括直线与圆的相交关系、切 线和法线方程的求解、曲线的参数方程等． （4）运用解析几何的方法研究实际问题，培养数学建模和解决实际问题的能力． 直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，第二章用解析几何的方法对其进行 再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点．本章首先在平面直角坐标系中，探 索确定直线位置和圆的几何要素，然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离 ．在此基础上，建立直线和圆的方程，用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、 点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系，解析简单的数学问题和实际问 题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想．本章还安排了“方向向量与直线的参 数方程”“笛卡儿与解析几何”“坐标法与数学机械化”选学内容，目的是拓展学生 的知识面，让学生从多种角度认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过程， 以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几何定理机器证明的杰出贡献． 基于以上分析，“直线和圆的方程”一章的教学重点应该包含以下四方面的 内容： （1）直线和圆的基本概念和性质，包括直线的斜率、截距、一般式方程和点斜 >> 074 　高中数学单元教学设计　 式方程等，圆的标准方程和一般方程等． （2）直线和圆的位置关系，包括相离、相切、相交，要求学生能够通过解方程 或者画图求解． （3）切线和法线的性质，要求学生能够求出切点和斜率，进而求出切线和法线 的方程． （4）直线和圆的解析几何应用，包括直线与圆的相交关系、切线和法线方程的 求解、曲线的参数方程等． “圆锥曲线的方程”一章是在“直线和圆的方程”的基础上，通过行星运行轨 道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用；帮助学生在平面直角坐 标系中，认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的标准方程；使学生运 用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；使学生运用平面解析 几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想； 使学生提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养．本章以每 一种圆锥曲线的几何特征、方程、性质和应用为明线，以坐标法和数形结合思想为 暗线，以逻辑连贯、环环相扣的“问题串”为脚手架，设计系列化的学习活动．在 “3．1 椭圆”“3．2 双曲线”“3．3 抛物线”这三节内容中，重点研究了三种圆锥曲 线的概念、方程、性质和应用．研究的过程体现了由代数（方程）到几何（图形） 的一般研究方法．除了对上述内容进行研究以外，教材中还增加了信息技术与应用、 探究与发现、阅读与思考的内容，这些内容的学习对学生了解解析几何的形成与发 展过程、理解和掌握圆锥曲线的知识、进一步掌握研究数学问题的基本方法和基本 研究思路有很大帮助． “圆锥曲线的方程”一章的教学重点应该包括以下四方面的内容： （1）椭圆、双曲线和抛物线的基本概念和性质，包括标准方程、离心率、焦点、 准线等概念． （2）椭圆、双曲线和抛物线的图形特征和参数方程，要求学生能够根据给定的 参数方程画出图形． （3）圆锥曲线的位置关系和相交情况，要求学生能够通过解方程或者画图求解． （4）圆锥曲线的解析几何应用，包括曲线的参数方程、切线和法线方程的求 解等． 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 075 << 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 1. 直线和圆的方程 （1）理解直线和圆的基本概念和性质，包括方程的一般形式和特殊形式． （2）掌握直线和圆的位置关系，包括相离、相切、相交情况的判断和求解． （3）理解切线和法线的性质，能够求解切线和法线的方程． （4）掌握直线和圆的解析几何应用，包括直线与圆的相交关系、切线和法线方 程的求解等． 2. 圆锥曲线的方程 （1）理解椭圆、双曲线和抛物线的基本概念和性质，包括标准方程、离心率、 焦点、准线等概念． （2）掌握椭圆、双曲线和抛物线的图形特征和参数方程，能够根据给定的参数 方程画出图形． （3）理解圆锥曲线的位置关系和相交情况，能够通过解方程或者画图求解． （4）掌握圆锥曲线的解析几何应用，包括曲线的参数方程、切线和法线方程的 求解等． （二）目标解析 1. 认知基础 学生在日常生活中已经积累了一定的几何经验，比如认识到直线、圆等基本几 何图形在生活中的存在和应用，如建筑物的边缘、轮胎的形状等；已经掌握了基本 >> 076 　高中数学单元教学设计　 的数学知识和技能，包括代数、几何、解方程等方面的知识，具备了一定的数学计 算能力；已经形成了一定的数学思维方式，包括观察问题、分析问题、解决问题的 思维方法，以及对数学问题进行抽象的能力；已经学习了代数和几何的基础知识， 包括二元一次方程、直线的方程、平面直角坐标系等内容，具备了将代数和几何知 识相结合的能力；已经具备了一定的数学推理能力和解决实际问题的能力，能够进 行数学证明、推理． 通过以上已经具备的认知基础，学生可以更好地理解和学习高中数学教材中平 面解析几何部分的内容，包括直线与圆的方程、圆锥曲线的方程等．这些认知基础 为学生进一步深入学习和掌握平面解析几何提供了良好的基础． 2. 认知困难 学生在学习高中数学教材中平面解析几何部分时已经具备的认知基础与教学目 标之间存在一些差异，这可能导致在学习过程中一些认知困难的出现．具体来说， 可能存在以下五方面的认知困难： （1）抽象概念的理解困难：平面解析几何涉及一些抽象的概念，比如直线的方 程、圆的方程等，这些概念可能超出了学生日常生活中的几何经验，导致学生难以 准确理解其几何意义和代数表示． （2）代数与几何的结合困难：平面解析几何部分需要将代数和几何知识相结合， 对于一些学生来说，这种结合可能比较困难，特别是对于那些在代数或几何方面有 较大困难的学生． （3）符号表示与实际几何问题的联系困难：学生可能会遇到将符号表示与实际 几何问题联系起来的困难，比如将直线方程或圆的方程与实际几何问题相联系，理 解符号表示在几何问题中的意义． （4）几何推理能力不足：平面解析几何部分需要一定的几何推理能力，包括对 几何图形的性质和关系进行推理和证明，这对一些学生来说可能是一个认知困难点． （5）数学语言和符号的理解困难：平面解析几何涉及一些特定的数学语言和符 号，对于一些学生来说，理解这些数学语言和符号可能存在一定的困难． 3. 应对方法 教师可以通过引导学生建立抽象概念的几何模型、提供具体的实例进行讲解和 练习、强调代数与几何的联系、进行符号与实际几何问题的联系训练等方式来帮助 学生克服认知困难，更好地理解和掌握平面解析几何的知识． 在教学实践过程中，教师可以采取如下一些应对措施来帮助学生克服在学习平 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 077 << 面解析几何部分时可能出现的认知困难： （1）建立几何概念的直观模型：教师可以通过具体的几何图形、实际的几何问 题等方式，帮助学生建立直观的几何概念模型，使抽象的数学概念更具体化，从而 更容易被理解和接受． （2）引导学生进行代数与几何的结合：教师可以通过实际的几何问题，引导学 生将代数表达与几何图形联系起来，帮助学生理解代数与几何的联系，从而更好地 掌握平面解析几何的知识． （3）提供具体的实例进行讲解和练习：教师可以通过大量的具体实例，帮助学 生理解直线与圆的方程、圆锥曲线的方程等；通过实际计算和绘图练习，加深学生 对知识的理解和掌握． （4）强调符号表示与实际几何问题的联系：教师可以在教学中强调符号表示在 实际几何问题中的意义，通过对实际几何问题的讲解和分析，帮助学生理解符号表 示与实际几何问题之间的联系． （5）培养几何推理能力：教师可以设计一些几何推理题目，引导学生进行几何 推理和证明，培养学生的几何推理能力，从而使学生更好地理解和运用平面解析几 何的知识． （6）注重数学语言和符号的理解：教师可以在教学中注重数学语言和符号的理 解，帮助学生掌握数学语言和符号的含义，从而更好地理解和运用相关知识． 通过以上应对措施，教师可以帮助学生克服认知困难，更好地理解和学习高中 数学教材中平面解析几何部分的内容． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 平面解析几何单元约需 29 课时，其中第二章“直线和圆的方程”约需 16 课时， 第三章“圆锥曲线的方程”约需 13 课时．具体分配如下： 2.1 直线的倾斜角与斜率 2 课时 >> 078 　高中数学单元教学设计　 2.2 直线的方程 3 课时 2.3 直线的交点坐标与距离公式 4 课时 2.4 圆的方程 2 课时 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 3 课时 小结 2 课时 3.1 椭圆 4 课时 3.2 双曲线 3 课时 3.3 抛物线 3 课时 * 文献阅读与数学写作 解析几何的形成与发展 1 课时 小结 2 课时 （二）教学评价 第二章“直线和圆的方程”是解析几何的基础内容，而第三章“圆锥曲线的方 程”则是在“直线和圆的方程”基础上进一步发展的内容．直线和圆是圆锥曲线的 特殊情况，圆锥曲线的方程包含直线和圆的方程，且第三章引入新的概念和性质， 如离心率、焦点、渐近线等． 解析几何部分的知识是建立在代数和几何基础上的，其上下位知识如下： （1）上位知识：代数方程的基本概念和性质，如一次方程、二次方程等；几何 基本概念和性质，如直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的基本性质． （2）下位知识：解析几何的知识为后续学习提供了基础，如三角函数、微积分 等数学分支的学习． 解析几何的内容蕴含了几何与代数的结合，它通过代数的方法研究几何问题． 在“直线和圆的方程”一章中，通过代数方程的推导和变换，揭示了直线和圆的几 何性质．在“圆锥曲线的方程”一章中，通过代数方程的分析和变换，揭示了椭圆、 双曲线和抛物线的几何性质．通过几何图形的分析和推理，可以解决代数方程的问 题，如直线与圆的相交关系、切线和法线方程的求解等． 解析几何部分的学习可以培养学生的几何思维能力、代数思维能力和推理能力． 通过解析几何的学习，学生可以了解几何与代数的联系，提高抽象思维和推理能力． 同时，解析几何的应用广泛存在于实际生活和其他学科中，如物理、工程等领域， 学生可以通过解析几何的学习，培养对实际几何问题的分析和解决能力． 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 079 << （1）数学建模能力：通过解析几何的方法，将实际几何问题转化为数学模型， 并进行求解． （2）抽象思维能力：通过代数方程的推导和变换，揭示几何性质，培养学生的 抽象思维能力． （3）推理能力：通过几何图形的分析和推理，解决代数方程的问题，培养学生 的推理能力． “直线和圆的方程”的教学难点如下： （1）直线和圆的位置关系的判断，特别是在判断两个圆的位置关系时，要求学 生能够准确地画出图形，并进行分析． （2）切线和法线方程的求解，需要学生掌握切线和法线的性质，能够求出切点 和斜率，进而求出切线和法线的方程． （3）直线和圆的解析几何应用，需要学生掌握解析几何的方法，能够将实际几 何问题转化为数学模型，并进行求解． “圆锥曲线的方程”的教学难点如下： （1）圆锥曲线的位置关系和相交情况的判断，需要学生掌握画图和解方程的 方法． （2）椭圆、双曲线和抛物线的参数方程的掌握，需要学生理解参数方程的含义， 能够根据给定的参数方程画出图形． （3）圆锥曲线的解析几何应用，需要学生掌握解析几何的方法，能够将实际几 何问题转化为数学模型，并进行求解． 在具体实施课堂教学的过程中，有以下建议： （1）关注曲线和方程之间的关系．在解析几何中把研究的图形称为曲线，曲线 用方程表示，曲线与方程之间一一对应的关系是解析几何的基石．曲线与方程之间 的一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系，有了这种关系，就可以用方程 表示曲线，对曲线进行“运算”．在建立直线的方程、圆的方程的过程中要引导学生 认识曲线和方程之间的关系． （2）注重基础公式的推导和应用．在第二章中，过两点的直线的斜率公式是建 立直线方程的基础，两点间的距离公式是建立圆的标准方程的基础，两个公式是本 章内容的基础，在此基础上建立直线的方程、圆的方程，以及运用它们研究两条直 线的位置关系、交点坐标，点到直线的距离，直线与圆、圆与圆的位置关系等，这 些是本章的重点．用向量法推导点到直线的距离公式，以及对直线与直线的方程， 圆与圆的方程之间关系的认识，是本章的难点，学生对它们的理解可能会有一定的 >> 080 　高中数学单元教学设计　 困难． （3）关注直线、圆的方程的一般形式与特殊形式的互相转化，提高数学运算等 素养．虽然直线和圆的方程的形式多种多样，但直线的方程都是二元一次方程，圆 的方程都是二元二次方程，它们都是关于 x y， 的二元方程． 在直线各种形式的方程中，当斜率存在或表达式有意义时，一般式方程与其他 形式的方程可以互化．一般式方程的几何意义不明显，其他形式的方程正如其名称 一样，具有明显的几何特征，它们反映了确定直线位置的几何要素，转化的目的是 发现确定直线位置的几何要素：一点和斜率，或两个点． 在圆的方程中，圆的标准方程的几何特征明显，圆的一般方程的代数特征明显， 两者之间可以互相转化．圆的标准方程和一般方程的转化，涉及配方等二次式的恒 等变形，这对数学运算提出了较高的要求，而代数式的恒等变形，是数学运算能力 的重要表现． （4）三角函数、向量等知识是本单元学习的基础，应及时复习．例如，在用直 线倾斜角的正切值定义直线的斜率和推导点到直线的距离公式时，反复运用直线的 方向向量、平面向量的投影、数量积运算等，这些都涉及向量的知识． （5）在教学实践中建议：重视数学思想方法的渗透；优化解题方法，有数形结 合的意识；加强计算能力的提升． 四、课时典例分析 第1课时  平面解析几何小结 （一）教学内容 平面解析几何小结． 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 081 << （二）教学目标 （1）回顾、梳理平面解析几何部分的基础知识内容，构建知识框架． （2）了解和掌握用代数方法研究几何图形性质的一般过程和方法． （3）通过对知识的综合应用，加深对圆锥曲线基本概念和性质的理解． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：构建解析几何的知识框架，掌握用坐标法研究图形性质的基 本方法；掌握圆锥曲线的基本性质的应用． （四）教学过程设计 1. 活动 1：概念的引入 通过学习第二章“直线和圆的方程”和第三章“圆锥曲线的方程”的内容，我 们经历了用坐标法研究几何图形的基本过程， 请根据下面的知识结构图，通过几个 问题回顾解析几何这部分知识． 2. 活动 2：概念的形成 问题 1 ：在平面直角坐标系中，我们知道点和方向是确定直线位置的几何要素， 直线的倾斜程度、倾斜角、斜率三者之间有什么关系？如何用直线上两点的坐标表 >> 082 　高中数学单元教学设计　 示这条直线的斜率？直线的方向向量在刻画直线的倾斜角、斜率方面有什么作用？ 师生互动：学生通过第二章知识结构图回顾、了解本章整体知识结构，再结合 问题 1，探索、分析直线这一几何图形的几何特征． 设计意图：通过第二章知识结构图，复习回顾本章的主要内容．问题 1 引出 了解析几何研究问题的基本思路的第一步，即分析图形的几何特征．然后尝试将 其代数化，使学生了解可以通过直线的倾斜角定量刻画直线的方向，用倾斜角的 正切值进一步量化直线的倾斜程度，用直线上任意两点纵、横坐标的差、商表示 倾斜角的正切值，即斜率，从而建立直线的方向向量与斜率的关系． 问题 2 ：叙述直线的点斜式方程的建立过程，写出直线的点斜式、斜截式、两 点式、截距式、一般式方程，并指出这些方程中字母系数的几何意义． 师生互动：回忆直线的点斜式方程的建立过程，写出直线的点斜式、斜截式、 两点式、截距式、一般式方程，思考这些方程中字母系数的几何意义． 设计意图：通过回忆直线的点斜式方程的建立过程，加强对直线几何特征的 代数刻画是建立直线方程的基础的理解．直线方程的几种不同形式各有特点，都 有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素，它们的本质是一致 的，是对直线这一几何图形的代数刻画．斜率处于核心地位，点斜式方程是其他 形式的方程的基础，其他形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的“变式”或 推论． 例 1 ：我们知道点和方向是确定直线位置的几何要素，如果直线 l 经过点 P x y0 0 0( ， )，它的一个方向向量是 v = (m n， )，你能求出直线上任意一点 P x y( ， )的 坐标吗？ 解：由已知可知，向量  P P0 与 v 共线． 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条 件， 存 在 唯 一 的 实 数 t ， 使  P P t0 = v ， 即 (x x y y t m n− − =0 0， ，) ( )，所以    x x mt y y nt = + = + 0 0 ， . 师生互动：学生自主探究，经历由形到数的研究过程． 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 083 << 设计意图：虽然学生已经经历过直线点斜式方程的研究过程，但是自主经历 这个过程对学生来说是一个难点，这个例题可以使学生更清晰地确定研究对象的 代数转化思路，并了解直线参数方程的运动学意义． 问题 3 ：圆的方程有哪几种形式？你能说出它们各自的特点吗？ 师生互动：学生回忆、思考、回答． 设计意图：从数和形两方面引导学生思考，圆的标准方程明确给出了圆心坐 标和半径，具有非常明显的几何特征；而圆的一般方程则明确表明其是一种特殊 的二元二次方程，具有非常明显的代数特征． 问题 4 ：位置关系是图形之间的一种重要关系．直线与直线、直线与圆、圆与 圆各有哪些位置关系？我们是如何通过方程来研究这些关系的？你能说说用方程研 究图形位置关系的基本思路与具体步骤吗？ 师生互动：学生先自己思考上述问题，然后在小组内进行交流，统一认识． 设计意图：由方程研究图形的特征是解析几何的一个重要内容．得到直线与 圆的代数方程之后，思考判断图形的位置关系的方法，明确两种思路：一是根据 方程组实数解的情况进行判断；二是利用距离和半径的大小进行判断．一个是解 析几何的方法，另一个是平面几何的方法． 问题 5 ：在椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的研究中，椭圆是研究的第一 类圆锥曲线，对双曲线和抛物线的研究，我们采用的是类比的方法，你能说说具体 的类比内容吗？ 师生互动：学生回忆圆锥曲线的学习过程，思考三种曲线的共性与个性特征， 总结归纳其方程与简单几何性质． 设计意图：通过问题引发学生的思考，将三类曲线纳入同一知识体系中，明 确三类曲线的研究过程，再次经历由形到数，再由数到形的过程．归纳对比三 类曲线方程和简单几何性质的不同点和相同点，在比较中加强对它们的理解和 记忆． >> 084 　高中数学单元教学设计　 问题 6 ：如何用直线与圆锥曲线的方程判断它们之间的位置关系？ 师生互动：回忆直线与圆锥曲线的三种位置关系，并掌握通过解方程组确定它 们之间的位置关系的代数方法． 设计意图：使学生认识直线与圆锥曲线的三种位置关系：相交、相切、相 离，对三种位置关系的代数表达有更深入的理解，更好地掌握运用方程研究曲线 问题的基本思路和方法． 3. 活动 3：概念的深化 例 2：已知直线 l： (1 3 ) (1 ) 2 4 0+ + + − − =a x a y a （a 为任意实数），点 P( 2 1)− −， 到直线 l 距离的最大值是多少？ 追问 1 ：你想通过什么方法解决这个问题？ 由点到直线的距离公式 d = | |Ax By C0 0 A B + + 2 2+ ，整理得 d = | 2(1 3 ) (1 ) 2 4 |− + − + − − (1 3 ) (1 )+ + + a a a a a2 2 = 10 8 2 |11 5 | a a2 a + + + ， 然后就无从下手了． 追问 2 ：从直线方程中你能发现直线有什么几何特征？ 将直线方程转化为 a x y x y(3 4) 2 0+ − + + − = ． 解方程    3 4 0 x y x y + − = + − = 2 0， ， 得    x y = = 1 1. ， 所以直线 l 恒过定点 A（1，1），即当 a 变化时，直线 l 绕着定点 A（1，1） 旋转，如图所示． 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 085 << O y x8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 A p 2 所以当 PA l⊥ 时点 P 到直线 l 的距离最大，如图所示： O A 1 1 P 2 1 y x4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 所以点 P 到直线 l 的距离最大值为 | | ( 2 1) ( 1 1) 13PA = − − + − − =2 2 ． 设计意图：直线方程—直线的几何特征—距离最大—代数运算． 例 3 ：如图，过双曲线 x y 3 6 2 2 − =1 的右焦点 F2 ，倾斜角为 30°的直线交双曲线 于 A B， 两点，求 AB ． >> 086 　高中数学单元教学设计　 y FF B O A x 解：方法一  由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F F1 2( 3 0) (3 0).− ， ， ， 因为直线 AB 的倾斜角是 30°，且直线经过右焦点 F2 ， 所以直线 AB 的方程为 y x= − 3 3 ( 3) ． 由      y x x y 3 6 2 2 = − − = 3 3 ( 3) 1 ， 消去 y ，得 5 6 27 0x x2 + − = ．解方程，得 x x1 2= − =3 .， 9 5 将 x x1 2， 的值分别代入直线方程，得 y y1 2= − = −2 3 .， 2 3 5 于是 A B， 两点的坐标分别为 ( 3 2 3)− − −， ， ， ，        9 2 3 5 5 所以 | | ( ) ( ) 3 2 3 .AB x x y y= − + − = − − + − + =2 1 2 1 2 2       9 2 3 16 3 5 5 5 2        2 设计意图：通过具体点的坐标运算，学生体会到弦长的本质就是两点间距离 公式的变形． 追问 3 ：若设交点坐标为 A x y B x y( ) ( )1 1 2 2， ， ， ，观察距离公式，你认为求弦长一 定要求出交点确定的坐标吗？ 方法二  设 A x y B x y( ) ( )1 1 2 2， ， ， ． 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 087 << 由      y x x y 3 6 2 2 = − − = 3 3 ( 3) 1 ， 消去 y ，得 5 6 27 0x x2 + − = ． 由韦达定理可知      x x x x 1 2 1 2 + = − = − 27 5 6 5 . ， 根据弦长公式，得 | | 1 1 4AB k x x= + − = + − − × − =2 1 2       3 5 5 5 3 6 27 16 3 2             2 ． 例 4 ：已知双曲线 x 4 2 − =y2 1 ，求过点 A(3 1)，− 且被点 A 平分的弦 MN 所在的直 线方程． 方法一（利用根与系数的关系）  由题意知直线的斜率存在，故设直线方程为 y k x+ = −1 ( 3) ，即 y kx k= − −3 1 ． 由     y kx k x 4 2 = − − − =y2 3 1 1 ， 消去 y ，整理得 (1 4 ) 8 (3 1) 36 24 8 0− + + − − − =k x k k x k k2 2 2 ． 设 M x y N x y( ) ( )1 1 2 2， ， ， ，∴ + =x x1 2 8 (3 1)k k 4 1k 2 − + ．  A(3 1)，− 为 MN 的中点，∴ = = = −x x1 2+ 2 2(4 1) 4 3 3，即 ，解得8 (3 1) 3k k k 2 + − k ． 当 k = − 3 4 时，满足 △> 0 ，即符合题意． 故所求直线方程为 y x x y+ = − − + − =1 ( 3) 3 4 5 0.3 4 ，即 方法二（点差法）  设 M x y N x y( ) ( )1 1 2 2， ， ， ． M N， 均在双曲线上，∴      x x 4 4 1 2 2 2 − = − = y y 1 2 2 2 1 1 ， ， >> 088 　高中数学单元教学设计　 两式相减，得 x x2 1 2 2 4 − = −y y2 1 2 2 ，∴ y y x x x x y y 2 1 2 1 2 1 2 1 − + − + = 4( ) ． ∵点 A 平分弦 MN，∴ x x y y1 2 1 2+ +=6 2， =- ∴直线 MN 的斜率为 k = = − y y x x 2 1 2 1 − − 3 4 ， ∴直线 MN 的方程为 y x x y+ = − − + − =1 ( 3) 3 4 5 0.3 4 ，即 经验证，该直线 MN 存在． 故所求直线方程为 3 4 5 0.x y+ − = 设计意图：本题主要考查直线与双曲线的综合问题，充分运用数形结合、方 程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题．在学生的相互交流讨论、师生 的互动交流中，学生感受到点差法“设而不求”的巧妙．将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来并相互转化，不仅使学生体会到数学的严谨性，还使学生 综合问题的解决能力得到了训练． 4. 小结及反思 （1）回顾本节课的主要内容及以上几个例题的解题过程，你如何理解坐标法？ （2）圆锥曲线的几何性质主要包括哪些方面？如何运用代数方法研究这些几何 性质？ （3）经过本节课的学习，请简单说说除了知识外，哪些学习思路、数学思想、 数学方法等能帮助你日后的学习？ 5. 作业 作业 1 ：设直线 l 的方程为 (a x y a a+ + + − = ∈1 2 0) ( R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围． 作业 2 ：求圆心在直线 y x= −2 上，并且经过点 A（ ， ）2 1− ，与直线 x y+ =1 相切 的圆的方程． 作业 3 ：过点 （ ，）0 1 作直线，使它与抛物线 y x2 = 4 仅有一个公共点，这样的直 线有 （ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 　单元教学设计 6 基于关键能力培养的平面解析几何　 089 << 作业 4 ：已知双曲线 C a b： ， a b x y2 2 2 2− = > >1( 0 0) 的离心率为 2 3 3 ，且该双曲线 过点 ( 6 1)， ． （1）求双曲线 C 的方程； （2）若直线 l y kx： = + 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A ，B ，求 k 的取值 范围． 作业 5 ：阅读教材第 100 ～ 101 页和第 143 ～ 144 页内容． 作业 6 ：完成第 102 页复习参考题 2 第 1 ～ 8 页题，第 145 页复习参考题 3 第 1 ～ 6 题．