单元教学设计5 平面向量的应用-高中数学单元教学设计

>> 058 石家庄二中实验学校  朱秀华 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 （1）平面几何中的向量方法． （2）向量在物理中的应用举例． （3）余弦定理、正弦定理． （4）余弦定理、正弦定理的应用举例． （5）用向量法研究三角形的性质． （6）向量法在不等式、三角函数中的应用． （二）内容解析 在学习了平面向量的概念和运算之后，通过平面向量在平面几何、物理和实际 单元教学设计 5    平面向量的应用 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 059 << 问题中的应用，进一步理解平面向量的几何意义和代数意义．从学习内容来看，平面 向量的应用的本质是用向量的语言、方法来表述和解决数学、物理以及现实生活中的 问题，所以向量及其运算的相关知识是本单元学习的明线；从方法层面来看，平面 向量无论是在平面几何还是在物理中的应用，都贯穿了“转化—运算—翻译”的“三 步曲”，这种利用向量研究问题的方法是本单元学习的暗线．应用向量知识解决问题 的“三步曲”，一方面通过向量及其运算解决了平面几何、物理及实际问题，巩固了 向量知识；另一方面把一个思辨过程变成了一个算法过程，从方法层面搭建了用向量 法研究问题的框架．向量具有深刻的数学内涵，把几何和代数的研究对象融合在了一 起，为建立几何和代数之间的联系提供了新的方法，为理解数学知识乃至解题带来了 很大便利．但是教师不能简单地将向量法作为一种解决几何、三角、代数等问题的工 具传授，学生通过向量法的学习，可以获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基 础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．在向量教学中，我们应该思考这样两 个问题：向量的数学本质是什么？如何在向量学习过程中落实核心素养？ 具体来说，平面向量的应用如下： （1）向量在平面几何中的应用．向量作为代数对象，它可以运算；作为几何对 象，它可以刻画几何元素、几何元素之间的关系，比如可以刻画长度、角度、面积 等几何问题．所以我们可以把几何问题转化为向量问题．将平面几何问题转化为向 量问题是用向量法解决平面几何问题的关键．向量的重要价值体现在用代数的方法 处理几何问题上，向量中的几何与代数是可以相互转化的，这离不开向量的运算， 由此可以说运算就是向量的灵魂．学生通过“中位线定理”的证明和“平行四边形 对角线长度与两邻边长度之间的关系”的探求的体验，建立起平面几何元素与向量 的联系，在体会向量法的基础上抽象和概括出用向量法研究平面几何问题的“三步 曲”，形成了用向量法研究平面几何问题的基本经验．利用向量运算，可以把原本 较为复杂的思辨过程转化为较为简单的运算过程，这降低了思考问题的难度，使学 生更亲近向量．“平面几何中的向量法”既是“三步曲”形成的重要载体，又是后续 “余弦定理、正弦定理”学习的基础，我们尤其需要注意对研究过程中关于“三步 曲”的转化和运算基本经验的梳理和总结．本节课主要是运用向量法解决平面几何 问题，培养学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养． 本节课需要留下探究作业，即“用向量法研究三角形的性质”，给学生充分的 思考与交流的时间，先完成个人研究报告，然后小组进行交流并撰写达成共识的小 组研究报告，待正余弦定理应用结束后（四五天后），再展示研究结果，全班进行成 果交流、评价． >> 060 　高中数学单元教学设计　 （2）向量在物理中的应用．向量（矢量）贯穿物理学的许多分支，具有丰富的 物理背景，是重要的数学模型．向量是刻画物理量（比如力、速度、加速度、位移 等）的数学工具，我们可以利用向量解决一些物理问题，体会向量的应用价值．结 合例题分析用向量法解决物理问题的思路，明确向量在物理中的应用是“三步曲” 在物理问题中的应用，巩固和加深学生对向量法的认识．本节课是渗透数学抽象思 维的很好的载体，可以提高学生的直观想象、数学运算、数学建模等素养． （3）余弦定理、正弦定理．两个定理的实质是应用“三步曲”研究平面几何问 题，探寻三角形中的边角关系．三角形是平面几何中较常见、较重要的图形之一，对 三角形的边赋予方向，这些边就成了向量．三角形的边角关系是三角形中重要的关系 之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边角关系较为重要的两个定理，是勾股定 理的延续与拓展，它们为解三角形提供了基本而重要的工具．在用向量法推导两个定 理时，以三角形三边的向量等式为基础，通过向量运算探索三角形边角的确定关系， 借助数量积这一从向量通向数量的桥梁，在向量数量积的几何意义的启发下，探索构 建与三角形的边角相关的向量运算而得出两个定理．余弦定理、正弦定理的内容作为 本单元的一部分，体现了向量学习的整体性，突出了向量的工具性和应用性．先证明 余弦定理是因为用向量法证明余弦定理较为容易，只需要将平面向量的模与三角形的 边长、平面向量的夹角与三角形的内角联系起来，借助向量的数量积运算即可简洁高 效地完成证明，这为学生联想到用向量法证明正弦定理提供了机会．其研究方法为探 究正弦定理提供了必要的数学活动经验和研究框架．在两个定理的证明过程中学生的 直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养得以提升． （4）余弦定理、正弦定理的应用．在学习了余弦定理、正弦定理的基础上，我 们继续探究两个定理在解三角形以及实际生活中的应用．解三角形既是三角函数、 正余弦定理的延续，又为后面立体几何与解析几何等内容打下基础．在解三角形的 过程中，学生能感悟本单元蕴含的数形结合思想、分类与整合思想、化归思想等数 学思想方法．余弦定理、正弦定理在实际生活中的应用主要是解决“不可到达”的 距离、高度、角度的测量问题．通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，把 实际问题数学化，培养了学生的数学建模素养．“两点不可到达”的距离测量问题， 将实际问题转化为解三角形问题，即已知两边和夹角，求第三边的问题，利用余弦 定理可求解．由于运算过程几乎都是含有字母的式子的运算，对运算求解能力要求 比较高，借此可以提升学生的数学运算、数学建模等素养． （5）用向量法研究三角形的性质．这部分内容包括用向量法表示和证明平面 几何中已学的三角形的性质，发现和证明三角形的其他性质．学生在学习了平面向 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 061 << 量在平面几何中的应用，知道了研究问题的基本方法的前提下，以探究三角形性质 为载体，聚焦向量法的基本思想，进一步感悟研究数学问题的基本方法，积累数学 活动经验，这促进了学生核心素养的进一步提升．此次数学探究活动是一次“长作 业”，历时一周多，教师适当提供研究方向，针对不同任务让学生分小组进行研究， 跟进学生的探究过程并给予指导，让学生通过观察、类比、猜想、从特殊到一般等 方法发现问题，借助数学知识严格论证、修正、补充加以完善等，让学生在探究中 养成独立思考、交流合作的习惯，培养探索精神，体验成功的乐趣．最后，各小组 派代表从数学结论、发现过程、研究思路、完整证明等几方面进行课堂成果展示． （6）向量法在不等式、三角函数中的应用．向量是几何和代数的完美结合，在 解决代数问题时具有独到的优势，平面向量不仅有强大的工具性，还有很强的交汇 性．不等式和三角函数都是高中阶段的重要内容，在一些复杂的不等式和三角函数 问题中，分析结构特征，构建向量，将不等式和三角函数问题转化为向量问题，利 用向量法，可以高效解决问题，培养学生的思维能力．让学生有意识地将向量与不 等式和三角函数等相应内容进行有机的联系，并通过比较，感受向量在处理几何、 三角、代数等不同数学分支问题中的独到之处，认识数学的整体性．让学生从不同 角度来理解高中数学知识，从数学知识的联系中感悟数学一般性、抽象性和广泛应 用性的特点．用向量法解决问题的意识和能力是需要专门培养的，教师要一有机会 就让学生运用向量法，不仅要加深学生对平面向量的认识，更要让学生认识数学内 容之间的内在联系，培养几何化的意识，体验数学的发现与创造过程，提升数学抽 象、逻辑推理、数学运算等素养． 数学是刻画现实世界的重要工具，应用课的学习，有助于学生认识到数学与实 际生活的紧密联系，以及数学在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值， 逐步学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界． 应用课的学习有助于学生认识数学内容之间的综合应用，既包含数学思想方法的综 合应用，也包含数学各分支的融合与沟通，可以帮助学生构建完整的知识体系，体 会知识之间的有机联系，进而提升数学素养．本单元的学习不仅是对向量知识学习 的深化，更有助于培养学生用向量的眼光看待问题，用向量的方法研究问题的意识 和能力．基于上述分析，确定本单元的教学重点，教学重点如下： （1）用向量法解决数学问题、实际问题的思路与步骤． （2）用向量法证明余弦定理和正弦定理． （3）余弦定理和正弦定理的应用． （4）用向量法研究三角形的性质． >> 062 　高中数学单元教学设计　 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）会用向量法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会 向量在解决数学和实际问题中的应用． （2）借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． （3）掌握余弦定理、正弦定理． （4）会用余弦定理、正弦定理解三角形． （5）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． （6）能用向量法研究三角形的性质，掌握三角形的性质，理解向量法在研究几 何问题中的应用． （7）能利用向量法解决不等式和三角函数中的一些相关问题，培养学生的思维 能力． （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： （1）学生通过具体例子体会平面几何中的向量方法，在解决具体问题的基础上， 总结一般方法，并在一般方法指导下解决其他问题．比如，利用向量共线可以解决 平行问题，利用向量的数量积可以解决角度问题（包括垂直），利用向量的模可以解 决长度问题．学生通过具体例子体会向量在物理中的应用，学会将物理问题转化为 数学问题，获得数学问题的答案，从而获得物理问题的答案．学生经历了用向量法 证明已学的三角形的性质的过程后，意识到向量法使一个思辨过程变成了一个算法 过程，可按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思维难度，具有一定的优越性． 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 063 << 学生学会了利用平面向量解决问题的“三步曲”． （2）理解了借助向量的运算探索三角形的边长与角度关系的思路与方法，会借 助向量法证明余弦定理和正弦定理，完善了对三角形的认知结构，熟练掌握了余弦 定理和正弦定理的内容． （3）余弦定理、正弦定理的应用有两类：一是在解三角形中的应用，两个定理 各自都含有三个等式，在四个量的关系式中，会知三求一，会运用余弦定理和正弦 定理解三角形．二是在实际生活中的应用，能从实际问题中抽象出数学模型，借助 三角形的性质和两个定理，解决“不可到达”的距离、高度、角度的测量问题，提 炼出将有关长度的测量问题转化为解三角形问题的一般方法，提高分析问题、解决 问题的能力． （4）能用向量表达已知的三角形的性质，通过自主探究与合作交流找出三角形 的一些性质，并用向量法合理表达；能借助向量运算对三角形的性质进行论证，对 运算结果进行几何解释，或对结果提出疑问并借助已有知识对问题进行论证或反驳； 能得到一些三角形的性质，并撰写和交流研究报告． （5）能观察出不等式和三角函数问题中的结构，挖掘出结构中的向量模型，把 原有问题转化为向量问题，借助向量的有关知识解决问题．学生形成了初步的“向 量意识”“向量眼光”“向量思维”，感悟了其中蕴含的等价转化的思想方法． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元约需 8 课时：平面几何中的向量方法约 1 课时，向量在物理中的应用举 例约 1 课时，余弦定理、正弦定理约 1 课时，余弦定理、正弦定理的应用举例约 2 课时，用向量法研究三角形的性质约 2 个课时，向量法在不等式、三角函数中的应 用约 1 课时． >> 064 　高中数学单元教学设计　 （二）教学评价 1. 问题诊断 本单元的认知基础有如下三方面： （1）学生已经学习了平面向量的概念、向量加法法则及运算律、向量数乘的意 义及运算律、向量数量积的意义和运算律、平面向量基本定理，知道了向量是几何 对象，向量的线性运算和数量积的运算都有几何意义，是以平面几何相关定理为逻 辑基础的，这些为学习平面几何中的向量方法奠定了基础． （2）向量和向量运算都有明确的物理背景，力、速度、位移等是学生熟悉的概 念，学生也有关于它们的合成、分解以及力做功等方面的知识储备，这些都为学习 向量在物理中的应用举例打下了很好的基础． （3）学生学习过勾股定理、三角形内角和定理、大边对大角、全等三角形、三 角函数等知识，这些为学习余弦定理和正弦定理奠定了基础． 本单元的认知困难及应对方法如下： （1）利用向量知识解决几何问题，需要把抽象的理论证明转化为向量的代数运 算，学生在转化过程中存在困难．比如，如何用向量表示几何基本元素以及几何图 形组成元素的相互关系． 应对方法：教师引导学生梳理向量运算的几何背景，寻找知识的生长点． （2）用向量法证明正弦定理对大多数同学而言是比较困难的． 应对方法：从向量数量积的几何意义出发，以“三角形回路”这一个基本而重 要的向量等式为基础，在向量运算及其蕴含的数学思想方法上发力，把通过向量运 算解决几何问题贯彻到底，由对三角形边角关系的整体把握而得出对称性结果． （3）在运用两个定理解决三角形问题时，因为题型灵活多变，学生对两个定理 的应用会感觉有难度． 应对方法：从正余弦定理的本质出发，明确在解三角形中对余弦定理和正弦定 理的优化选择依据，建立解三角形问题的基本模型． （4）在用向量法研究三角形的性质时，由于探究活动经验较少，学生不会将对 三角形的几何性质研究转化为对向量运算的研究． 应对方法：针对学生无序的、感性的探索，引导学生先分层梳理三角形的性质， 再按照向量运算的特点进行整理，启发学生找到用向量法展开研究的几条思路，即 向量的线性运算、向量的数量积、两种运算的结合．研究基础是已有的三角形的性 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 065 << 质，用联系的观点看待它们，用向量法对它们进行运算． 2. 教学难点 基于上述分析，确定本单元的教学难点，教学难点如下： （1）如何把几何问题、实际问题转化为向量问题． （2）余弦定理和正弦定理的证明． （3）利用余弦定理、正弦定理解三角形． （4）余弦定理、正弦定理的应用举例． 3. 单元评价 （1）课堂表现评价（教师评价学生，学生自评，学生与学生互评）． ①能体会向量是重要的工具和语言，在数学、物理、生活中应用广泛． ②能用向量解决平行、垂直问题． ③能用向量解决求夹角、模长问题． ④能总结向量法的基本思路与步骤． ⑤能说出向量的数量积与功之间的联系． ⑥能用向量表示物理中的位移、力、速度． ⑦能用向量解决物理中速度、位移、力的合成与分解等问题． ⑧能用向量法证明余弦定理、正弦定理． ⑨能用文字语言和数学语言表述余弦定理及其推论． ⑩能阐述余弦定理、正弦定理的常见变形． k 能用余弦定理、正弦定理解三角形． l 能综合运用余弦定理、正弦定理解决实际生活中的测量问题． m 能举例说明向量在几何、三角、物理以及生活中的应用． n 能总结自己的学习情况． （2）作业评价（学生按时完成，及时改错与整理）． ①能用向量解决平行、垂直问题． ②能用向量解决求夹角、模长问题． ③能用向量解决物理中速度、位移、力的合成与分解等问题． ④能用余弦定理、正弦定理解三角形． ⑤能综合运用余弦定理、正弦定理解决实际生活中的测量问题． ⑥能用知识结构图清晰地表示知识之间的内在联系以及所蕴含的数学思想方法． （3）单元小测评价． >> 066 　高中数学单元教学设计　 完成单元检测（有关用向量法解决几何问题、物理问题、不等式问题以及三角 函数问题等）． 评价标准共分为 3 个水平： ①能够了解如何用向量语言表达几何对象，运用向量运算得出简单的数学结论． ②能够理解数学命题的条件与结论，通过分析相关数学命题的条件与结论，探 索论证的思路，选择合适的向量运算予以证明． ③能够在综合的情境中发现数学关系，用向量的眼光找到合适的研究对象，用 恰当的向量语言予以表达，并运用向量思维进行分析，有创新性成果． 四、课时典例分析 第3课时  余弦定理、正弦定理 （一）教学内容 余弦定理、正弦定理． （二）教学目标 （1）借助向量运算，探索三角形的边长与角度的关系，能够发现并证明余弦定 理、正弦定理，提高数学抽象和逻辑推理素养． （2）在证明余弦定理、正弦定理过程中进一步领悟向量法蕴含的数学思想，提 高数学建模素养． （3）掌握余弦定理、正弦定理及其推论． 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 067 << （三）教学重点、难点 教学重点：用向量法证明余弦定理、正弦定理 . 教学难点：以三角形三边的向量等式为基础，借助数量积这一从向量通向数量 的桥梁，探索构建与三角形的边角相关的向量运算证明余弦定理、正弦定理 . （四）教学过程设计 引言：前面我们学习了如何运用向量法解决平面几何、物理问题，感受到向量 在解决数学和实际问题中的作用，本节我们继续感受向量工具的强大，尝试运用向 量的运算来探索三角形中边与角的关系． 1. 活动 1：复习回顾，寻找知识的生长点 问题 1 ：对于任意一个三角形我们学过哪些边角关系？ 师生互动：引导学生重点回顾三角形的内角和为 180º，以及定性地研究三角形 中的边、角关系，得到了 SSS、SAS、AAS、ASA 等判断三角形全等的方法，知道 给出三角形六个元素中的某些元素，这个三角形就能唯一确定． 设计意图：让学生对数学问题形成一个目标意识，理解“为什么要学这个内 容”“怎么会想到研究这个内容”．通过问题 1，引导学生对已有知识进行回顾， 产生新的问题，也就是本节要探究的问题：边与角之间的定量关系．自然引出活 动目标：在 △ABC 中，三个角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，寻求 a，b，c 与 A，B，C 之间的等量关系． 问题 2 ：你能说说用向量法解决平面几何问题的基本步骤吗？ 师生互动：复习用向量法解决问题的“三步曲”． 设计意图：用向量的眼光来看待△ ABC 的边和角，明确用向量法研究几何 问题的框架，建立几何元素与向量知识的联系，为后续探究三角形的边角关系做 好准备．同时让学生深刻认识到向量兼具数与形的双重身份． >> 068 　高中数学单元教学设计　 2. 活动 2：探索新知，发现和证明余弦定理、正弦定理 探究：在 △ABC 中，三个角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，如何用 a，b 和 C 表示 c ？ 问题 3 ：如何用向量关系式刻画 △ABC 中的三边之间的关系？ 设计意图：“三步曲”的第一步是转化，即用三角形中基本而重要的向量等 式CB CA AB    − = 刻画三角形中的向量关系式，实现几何问题的向量化． 问题 4 ：为了实现数量化，你有哪些加工手段？ 师生互动：两边同时平方，或者两边同时与同一向量做数量积运算． 设计意图：因为目标是关于数量的等式，所以需要将向量等式进行数量化， 强化数量化意识．从向量的角度审视目标问题，对部分学生来说可能存在一定的 困难，需要教师的引导，这为明晰探究思路铺好了路． 问题 5 ：请你独立思考探究问题，然后在小组内交流． 师生互动： 加工手段 1 两边同时平方：设 CB CA AB    = = =a b c， ， ，那么 c a b= − ．两边同时 平方， 得 c c c a b a b a a b b ab a b a b2 = ⋅ = − ⋅ − = ⋅ + ⋅ − = + −( ) ( ) 2 2 cos2 2 C ， 所以 c a b a b C2 2 2= + − ⋅2 cos ， 同 理 可 得 a b c bc A b a c ac B2 2 2 2 2 2= + − = + −2 cos 2 cos， ． 这 组 公 式 称 为 余 弦 定理． 加工手段 2 两边同时与同一向量做数量积运算：比如同时与向量  AB 做数量积运 算，则有 CB AB CA AB AB      ⋅ − ⋅ = 2 ， 即 CB AB B CA AB A AB      ⋅ − ⋅ π − =cos cos( ) 2 ， 化简，得 CB B CA A AB    cos cos+ = ，即 a B b A ccos cos+ = ， 同理有 a C c A b b C c B acos cos cos cos+ = + =， ．这组公式称为射影定理． 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 069 << 引导学生优化过程，既然两边同时与向量  AB 做数量积后，需要同时除以向量  AB 的模  AB ，那么加工手段 2 就可以简化为两边同时与和向量  AB 共线的单位向量 做数量积运算，这样可以节省约分的步骤． 设计意图：以“平面几何中的向量方法”的学习为基础，学生在独立思考的 基础上进行小组交流，建立几何元素与向量知识的联系．以三角形三边的向量等 式为基础，通过向量运算探索三角形边角的确定关系，借助数量积这一从向量通 向数量的桥梁，在向量数量积的几何意义的启发下，探索构建与三角形的边角相 关的向量运算．由向量的平方等于向量模的平方得到启发，两边同时平方，或者 两边同时与同一向量做数量积运算，将向量关系数量化，通过对这一开放性探究 问题的思考和分析得出余弦定理和射影定理，对知识“再创造”，在尝试中培养 学生的探索精神，提升学生的逻辑推理素养． 问题 6 ：在 △ABC 中， 设与向量  AB 垂直的单位向量为 j ，若 CB CA AB    − = 两边 同时与 j 做数量积运算，你能得出什么结论？ 师生互动：请学生尝试独立探究三边长度与内角的正弦值之间的关系，完 成用向量法推导正弦定理的过程．在 △ABC 中，过点 A 作与向量  AB 垂直的 单 位 向 量 j ， 则 j 与 向 量 CA  的 夹 角 为 π 2 + A ， j 与 向 量 CB  的 夹 角 为 π 2 + B ， 所以 ( )CB CA AB    − ⋅ = ⋅j j ，化简得 a B b Asin sin= ，即 sin sin a b A B = ．同理有 sin a A = sin sin b c B C = ． 教师追问：上述结论是否对任意三角形都成立？事实上，由上述推导过程可以 发现余弦定理、射影定理对任意三角形都成立，但是正弦定理是否在直角三角形、 钝角三角形中成立需要进一步证明（留作课后作业）． 设计意图：通过问题引导学生构造恰当的向量研究三角形内角的正弦值，在 向量数量积的几何意义的启发下，探索构建与三角形的边角相关的向量运算得出 正弦定理，突破教学难点．通过前面环节的引导，学生能够理解问题的探究思 >> 070 　高中数学单元教学设计　 路，但是在具体推导过程中错误可能会在运算中出现，这主要是由对两个向量夹 角的认识不到位造成的．同时在正弦定理的探究过程中，学生不易想到两边同时 与和已知向量垂直的单位向量做数量积运算，因此需要在“加工手段 2”即推导 射影定理的过程中，启发学生思考．最后要注意培养学生思维的严谨性，要判断 得到的结论是否对任意三角形都成立，需要判断推导过程中三角形的形状是否改 变了推导过程中的量． 3. 活动 3：深入探究，揭露两个定理的本质 问题 7 ：你能用文字语言表述余弦定理和正弦定理的内容吗？ 设计意图：通过对余弦定理和正弦定理文字语言的概括过程，充分理解三个 定理的特征，加深对三个定理的认识，提高数学表达能力，提升数学抽象素养， 体会数学中的和谐美、对称美． 问题 8 ：余弦定理和正弦定理可以解决哪些问题？如何解决？ 师生互动：引导学生总结余弦定理和正弦定理的应用范畴．余弦定理的应用范 畴：已知两边及夹角（SAS），可利用余弦定理解三角形；已知三边（SSS），可 利用余弦定理的推论解三角形．正弦定理的应用范畴：已知两角及任一边（ASA、 AAS），可利用正弦定理解三角形；已知两边和其中一边的对角，可利用正弦定理 解三角形． 设计意图：促使学生结合初中学习的三角形全等的判定定理，将定性研究提 升为定量研究，深化理解两个定理及其推论，为后续学习“解三角形”和“余弦 定理、正弦定理的应用举例”打下基础． 问题 9 ：若 A=90º，由余弦定理会得到什么结论？你有何发现？ 设计意图：由一般到特殊提出问题，引导学生发现余弦定理与勾股定理的关 系，进一步加深对余弦定理的认识． 　单元教学设计 5 平面向量的应用　 071 << 4. 小结及反思 教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课我们研究了什么问题？有什么收获？ （2）我们是如何研究这些问题的？解决这些问题的知识和方法是什么？ （3）利用余弦定理和正弦定理可以解决哪些问题？ （4）请针对本节课的学习情况做一个简单的自我评价． 设计意图：学生对本节课学习的内容进行反思及总结 ( 余弦定理、正弦定理、 射影定理 )，形成知识方法体系（向量法的“三步曲”）． 5. 作业 作业 1 ：请在钝角三角形中证明正弦定理． 作业 2 ：尝试用其他方法证明余弦定理和正弦定理． 作业 3 ：教材第 52 页习题 6．4 第 3 题． 作业 4 ：设 △ABC 的三边分别为 a，b，c，边 BC，CA，AB 上的中线分别记为 ma， mb，mc，证明：m b c a m a c ba = + − = + − 1 1 2 2 2 2( 2 2 2 2 2 2) ， b ( ) ， m a b cc = + −12 2( 2 2 2) ．