单元教学设计4 基于同构式的大单元-高中数学单元教学设计

>> 044 一、单元内容及其解析 代数式结构是高中数学教学中需要引导学生掌握的观察方向，构造同构式是高 中数学中研究代数式的方法之一．所以理解同构式的结构，增强观察发现同构式的 意识是本单元的教学重点，也是教学难点．在高三复习中教师要指导学生对代数式 的结构进行观察，以发现结构相同的式子即同构式．同构式的发现及应用是本单元 的教学内容． 高中数学中的主要同构式类型如图所示． 石家庄二中实验学校  李静 单元教学设计 4    基于同构式的大单元 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 045 << 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 增强观察代数式结构的意识，获得观察代数式结构的角度与方法，提高应用这 一意识解决问题的能力． （二）目标解析 同构是相同结构的简称，如果作为动词，可以理解为构造相同结构．本单元中 的同构，就是借助各章基本数学知识，将等式或不等式不同形式的两边，通过移项、 化简、变形等数学运算，变成相同的结构形式，然后提取或设置通项公式或函数， 利用函数的单调性，将问题转化为更简单的结构形式，使复杂问题回归简单形式． 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》对数学核心素养中的“数 学运算”有如下说明：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决 数学问题的过程．主要素养：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择 运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．”同构思想方法需要学生对式子的结构 有主动构建意识，而构建过程需要以运算能力为支撑，所以通过本单元的学习，学 生在解题过程中恰当地运用同构的思想方法，往往可以达到简化计算的效果，学生 的运算能力也得以落实和提升． 同构同时考查学生的识别、变形、转化能力和创新意识，涉及直观想象、数学 建模等核心素养．同构本质上是模型识别与建构，属于建模的一种简单形式． >> 046 　高中数学单元教学设计　 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元采用学生发现同构式规律，教师指导总结同构式应用方法，学生灵活运 用同构式解决新的问题的教学思路．本单元是复习课，预计用 6 课时，用总分总的 方式来处理课时目标与单元目标的关系，分课时按课型安排、教学内容、课时目标、 活动设计、评价反馈、作业布置，小结及反思几部分完成． （二）教学评价 理解同构式的结构，增强观察发现同构式的意识是本单元的教学重点，也是教 学难点，基于此，本单元每课时的教学评价都为“三次三层”．“三次”具体如下： 每课时第 1 次教学评价为第 2 环节练习环节，第 2 次教学评价为课后作业，第 3 次 教学评价为章末检测．“三层”具体为对学生表现出来的同构式意识层次的评价，浅 层是指学生对老师讲解的同构式内容能理解，但缺少用同构式意识独立解题的能力； 中层是指学生对老师讲解的同构式内容能理解，能够用同构式意识解决比较直观的 同构问题，比如解析几何中的方程同构问题、不等式中的双变元同构问题；深层是 指学生对老师讲解的同构式内容能深刻理解，能够用同构式意识解决比较抽象的同 构问题，比如函数导数中的指对同构问题． 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 047 << 四、课时典例分析 第1课时  同构式在求数列通项公式中的应用—依序同构 （一）教学内容 在选择性必修第二册第四章“数列”中，“4．1 数列的概念”介绍了递推数列 通项公式的概念，在一类求数列的通项公式的问题中，将递推公式变形为“依序同 构”的特征，即关于 (a nn， )与 (a nn−1， −1)的同构式，从而将同构式设为辅助数列以 便于求解． （二）教学目标 学生经历学习过程后应能提炼同构式并应达成同构式意识提升的目标．学生应 能够主动寻找同构式构建新数列解决数列通项公式问题． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：学生已经具备与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学 科能力水平，可能会用同构式构造法求通项公式，但其同构式的意识还很模糊，主 动构建同构式的意识还需进一步提升． 从知识上清晰地认识同构式的概念，获得用同构式构造新数列的能力提升，从 无意识使用同构式到主动寻求同构式．在思维发展等方面设计过程性点评的内容， 通过做题点评持续促进课堂学习的深入，突出诊断性、表现性、激励性． >> 048 　高中数学单元教学设计　 学生从认识到使用，从无意识观察代数式结构，到主动发现同构式，是一种意 识形态的进步，体现了学科核心素养发展的进阶． （四）教学过程设计 1. 教师活动 教师给出同构式的概念：同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式， 并给出例 1 让学生完成．在学生完成例 1 之后，教师以引导、点评为主，学习点评 是单元学习过程性评价的细化，要适时、适度，评价不应中断学生的学习活动，通 过学生的行为表现判断学习目标的达成度．然后教师引导学生发现同构式在数列中 的应用：将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 (a nn， )与 (a nn−1， −1)的同 构式，从而将同构式设为辅助数列以便于求解． 2. 学生活动 学生在“完成例题—分享方法—提炼思想方法—分享”过程中学习并有实际 收获． 利用待定系数法求通项公式． 例 1 ： 已知数列 {an}满足 a an n+1 = + ×2 3 5n ， a1 = 6 ，求数列 {an}的通项公式． 解：设 a x a xn n+1 + × = + ×5 2 5 n n+1 ( )． ① 将 a an n+1 = + ×2 3 5 n 代入①式，得 2 3 5 5 2 2 5a x a xn n+ × + × = + × n n n+1 ，等式两边 都减去 2an ，得 3 5 5 2 5× + × = × n n nx x+1 ，等式两边都除以 5n ，得 3 5 2+ × =x x ，则 x = −1 ，将 x = −1 代入①式，得 a an n+1 − = −5 2 5 n n+1 ( )． ② 由 a1 − = − = ≠5 6 5 1 0 1 及②式，得 an − ≠5 0 n ，则 an a + n 1 − − 5 5 n n +1 = 2 ，故数列 {an − 5n} 是以 a1 − =5 1 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an − = ×5 1 2 n n−1 ，故 an = +2 5 n n−1 ． 评 注： 本 题 的 解 题 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a an n+1 = + ×2 3 5 n 转 化 为 a an n+1 − = −5 2 5 n n+1 ( )，从而可知数列 {an − 5n} 是等比数列，进而求出数列 {an − 5n} 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 049 << 的通项公式，再求出数列 {an}的通项公式． 3. 练习 练习即目标评测环节，通过同构式构建新数列，进一步加深了学生的同构式意 识．该目标达成的意义在于，学生能认识到代数式的结构，能从无意识得到到主动 观察发现构建，这对思维发展也具有深远意义． 例 2 ：已知数列 {an} 满足 a an n+1 = + × +3 5 2 4n ， a1 =1 ，求数列 {an} 的通项 公式． 答案： an = × − × −13 3 5 2 2 n n−1 ． 评 注： 本 题 的 解 题 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a an n+1 = + × +3 5 2 4 n 转 化 为 a an n+1 + × + = + × +5 2 2 3 5 2 2 n n+1 ( )，从而可知数列 {an + × +5 2 2n } 是等比数列，进而 求出数列 {an + × +5 2 2n }的通项公式，再求出数列 {an}的通项公式． 4. 小结及反思 基于学习者分析和目标达成度进行对比反思、教学自我评估与教学改进设想． 课后及时撰写本节课教与学的经验性总结，该总结要突出单元整体实施的改进策略， 后续课时教学如何运用本节课的学习成果，如何持续促进学生发展． 5. 作业 作业 1 ：已知数列 {an}满足 a a n nn n+1 = + + +2 3 4 52 ， a1 =1 ，求数列 {an}的通项 公式． 作业 2 ：请你自己设计一个递推数列，并求出它的通项公式． 第2课时  同构式在解析几何中的应用—方程同构 （一）教学内容 在选择性必修第一册第二章“直线与圆的方程”中教材 99 页 15 题，求切点弦 方程时，用到了同构式求直线方程．同构式在解析几何中的应用如下： （1）若 A x y( 1 1， )，B x y( 2 2， ) 的坐标满足的方程为同构式，则 A ，B 为方程所表 >> 050 　高中数学单元教学设计　 示曲线上的两点．特别地，若满足的方程是直线方程，则该方程为直线 AB 的方程． （2）若方程 f a( ) 0= 和 f b( ) 0= 呈现同构特征，则 a ，b 可视为方程 f x( ) 0= 的两 个根． （二）教学目标 学生经历学习过程后应能提炼同构式并应达成同构式意识提升的目标．学生应 能够主动寻找同构式构建方程解决解析几何中的相关问题． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：学生已经具备与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学 科能力水平，可能会用同构式构造法解决解析几何问题，但主动构建同构式的意识 还需进一步提升． ( 四 ) 教学过程设计 1. 教师活动 教师提问同构式的概念，以强化学生的同构式意识，给出例 1、例 2 让学生完 成．学生完成后，教师点评，引导学生总结并指明同构式在解析几何中的两类应用： （1）若 A x y( 1 1， )， B x y( 2 2， )的坐标满足的方程为同构式，则 A ，B 为方程所表 示曲线上的两点．特别地，若满足的方程是直线方程，则该方程为直线 AB 的方程． （2）若方程 f a( ) 0= 和 f b( ) 0= 呈现同构特征，则 a ，b 可视为方程 f x( ) 0= 的两 个根． 2. 学生活动 学生在“完成例题—分享方法—提炼思想方法 - 分享”过程中学习并有实际 收获． 例 1 ：如图，已知抛物线 C x y1： 2 = ，圆 C x y2： 2 2+ − =( 4) 1 的圆心为点 M ． 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 051 << O A M l y x P B （1）求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离； （2）已知点 P 是抛物线 C1 上一点（异于原点），过点 P 作圆 C2 的两条切线，交 抛物线 C1 于 A ，B 两点，若过 M ，P 两点的直线 l 垂直于 AB ，求直线 l 的方程． 解：（1）由题意可知，抛物线的准线方程为 y = − 1 4 ， 所以圆心 M (0 4)， 到准线的距离是 17 4 ． （2）设 P x x A x x B x x( 0 0 1 1 2 2， ， ， ， ，2 2 2) ( ) ( )，则由题意得 x x x x0 0 1 2≠ ≠ ± ≠0 1， ， ． 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y x k x x− = −0 0 2 ( )，即 y kx kx x= − +0 02 ，① 所以 kx x0 0 1 + − + 4 k 2 2 =1 ，即 (x k x x k x0 0 0 02 2 2 2− + − + − − =1 2 4 4 1 0) ( ) ( ) 2 ． 设直线 PA ，PB 的斜率分别为 k k k k1 2 1 2， ( ≠ )，则 k1 ，k2 是上述方程的两个根， 所以 k k1 2+ = 2 4x x0 0 x ( 0 2 − 2 1 − ) ， k k1 2 = (x02 x − − 0 2 4 1 − ) 1 2 ． 将①式代入 y x= 2 ，得 x kx kx x2 2− + − =0 0 0 ． 由于 x0 是此方程的根，故 x k x1 1 0= − ， x k x2 2 0= − ， 所以 k x x k k x xAB = = + = + − = − x x x x x 1 2 1 2 0 2 2 − − − 1 2 1 2 0 02 2 2 4x x0 0( 2 2 1 − ) ，kMP = x0 2 x − 0 4 ． 由 MP AB⊥ ，得 k k xAB MP⋅ = − ⋅ = −        2 4x x0 0 x x ( 0 0 2 − 2 1 − ) 2 10 x0 2 − 4 ，解得 x0 2 = 23 5 ， >> 052 　高中数学单元教学设计　 即点 P 的坐标为        ± 23 23 5 5 ， ，所以直线 l 的方程为 y x= ± +3 115 115 4 ． 3. 练习 练习即目标评测环节，通过同构式构建方程，进一步加深了学生的同构式意识． 该目标达成的意义在于，学生能认识到代数式的结构，能从无意识得到到主动观察 发现构建，这对思维发展也具有深远意义． 例 2 ：如图，已知抛物线 C ： y x2 = 4 ，直线 l 过点 P     − 5 4 ，0 与抛物线 C 交于第 一象限内两点 A ，B ，设 OA ，OB 的斜率分别为 k1 ，k2 ． O Q A y x P B （1）求 k k1 2+ 的取值范围； （2）若直线 OA ，OB 恰好与圆 Q ： ( 1) ( 2) ( 0)x y r r− + − = >2 2 2 相切，求 r 的值． 答案：（1） k k1 2+ 的取值范围是 (2 5 )，+ ∞ ．（2） r = 1 2 ． 4. 作业 已 知 抛 物 线 C ： y x2 = 4 上 有 一 动 点 P x y( 1 1， )， 点 A 在 射 线 l x y： − +2 8 = ≥0( 0)y 上， PA 的中点 Q 在抛物线 C 上． （1）若直线 PA 的斜率为 1，求点 P 的坐标； （2）若射线 l 上存在不同于 A 的另一点 B ，使得 PB 的中点也在抛物线 C 上，求 AB 的最大值． 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 053 << 第4课时  同构式在不等式中的应用—双变元同构 （一）教学内容 在选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中，“5．3 导数在研 究函数中的应用”介绍了导数在函数单调性、比较大小、最值中的应用，这些应用 都用到了同构式．若不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函 数，进而和函数的单调性建立联系，以比较大小或解不等式． （二）教学目标 掌握用同构式构建函数解决比较大小一类问题的方法．学生经历学习过程后应 能提炼同构式并应达成同构式意识提升的目标．学生应能够主动寻找同构式构建函 数解决不等式中的比较大小等相关问题． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：学生已经具备与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学 科能力水平，可能会用同构式构造法解决不等式问题，但构建同构式函数的能力还 需进一步提升． （四）教学过程设计 1. 教师活动 教师带领学生回顾同构式的概念，给出三道例题让学生完成．学生完成后，教 师点评，引导学生总结并指明同构式在不等式中的应用：若不等式的两侧呈现同构 特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性建立联系，以比较 大小或解不等式．其主要思想是在等式或不等式中利用直接变形或放缩构造同构形 态，基于同构形态构造函数，并对函数的单调性进行分析，从而判断大小关系．若 >> 054 　高中数学单元教学设计　 F(y) ≥ 0 能等价变形为 G[g(x)] ≥ G[ℎ(x)]，然后利用 G(y) 的单调性，如递增，再转 化为 g(x) ≥ ℎ(x)，这种不等式我们就可以称为同构不等式（等式成立时，称为同构 方程）． 2. 学生活动 学生在“完成例题—分享方法—提炼思想方法—分享”过程中学习并有实际 收获． 例 1 ：（2020·新高考全国Ⅱ卷）若 2 2 3 3x y x y− < −− − ，则 （ ） A. ln( 1) 0y x− + > B. ln( 1) 0y x− + < C. ln | | 0x y− > D. ln | | 0x y− < 思路：①移项得同构不等式；②构造函数，讨论单调性；③判断大小． 答案：A． 3. 练习 练习即目标评测环节，通过同构式构建新函数，进一步加深了学生的同构式意 识．该目标达成的意义在于学生能认识到代数式的结构，能从无意识得到到主动观 察发现构建，这对思维发展也具有深远意义． 例 2 ： 设 m > 0 ， n > 0 ，则 （ ） A. 若 m n> ，则 2ln 2lnm n n m− < − B. 若 m n> ，则 2ln 2lnm n n m− > − C. 若 m n< ，则 2ln 2lnm n n m+ > + D. 若 m n< ，则 2ln 2lnm n n m+ < + 思路：①构造函数；②讨论单调性；③判断大小． 答案：B 4. 作业 已知 a b c， ， ，∈ +∞     1 e ，且 ln 5 a = −5ln a ， ln 3 b = −3ln b ， ln 2 c = −2ln c ，则 （ ） A. b c a< < B. c b a< < C. a c b< < D. a b c< < 思路：构造函数 f x x x( ) ln= ，根据单调性即可确定 a b c， ， 的大小． 答案：A． 评注：解本题的关键是发掘题中 3 个式子的相似性，并进行等价变形，以易于 构造函数．本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由单调 性判断自变量大小． 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 055 << 第5课时  同构式在函数导数中的应用—指对同构 （一）教学内容 在选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中，“5．3 导数在研 究函数中的应用”介绍了导数在函数单调性、比较大小、最值中的应用，这些应用 都用到了同构式对较复杂的指对跨阶问题的处理方法． （二）教学目标 通过本节课的学习，学生在遇见指对跨阶问题时，能够通过寻找源函数（例如， f x x( ) = ex 为源函数，则 f x x x(ln ln) = 就是它的同构形式），再利用复合函数的思想、 同增异减来解决参数的取值范围、最值等问题． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：在经历了前几节课后，学生对用同构式构造法解决问题有了 一定的认识，但除了要求学生有同构式的意识外，本节课对学生的观察能力、对代 数式的变形能力的要求也是比较高的． （四）教学过程设计 1. 教师活动 教师引导学生复习指对数的运算性质，学过的两个恒等式如下： （1）当 a > 0 且 a x≠ >1 0， 时， a xloga x = ； （2）当 a > 0 且 a ≠1 时， loga a x x = ． 结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中 x > 0 ）： >> 056 　高中数学单元教学设计　 （1） xe ex x x= +ln ， x x x+ =ln ln e( x )； （2） ex x = ex x−ln ， x x− =ln ln e x x ； （3） x2 2lne ex x x= + ， x x x+ =2ln ln e( 2 x )； （4） ex x 2 = e x x−2ln ， x x− =2ln ln e x x 2 ． 教师给出例 1 让学生完成，在学生完成例 1 后指明同构式在导数中应用时的核 心点：在遇见指对跨阶问题时，通过寻找源函数，再利用复合函数的思想、同增异 减来解决参数的取值范围、最值等问题，并强调细节一方面是指对分家，即指数形 式和对数形式需要分开，再变为同形式同结构寻找源函数；另一方面是紧扣内层， 即将指数函数的指数位置和对数函数的真数位置作为内层函数，再利用复合函数单 调性求解，这一过程需注意内值外定，即内层函数的值域为外层函数的定义域． 2. 学生活动 学生在“完成例题—分享方法—提炼思想方法—分享”过程中学习并有实际 收获． 例 1 ：（2020· 四 月 全 国 模 考 ） 已 知 对 任 意 x∈ +∞(0 )， ， 都 有 k (e 1kx + −)       1 ln+ 1 x x > 0 ，则 k 的取值范围为＿＿＿． 解 析： 由 k x(e 1 1 ln 0kx + − + >)      1 x 得 k x(e 1 1 lnkx + > +)      1 x ， 即 kx (e 1kx + ) > +( 1) lnx x ． 令 f x x( ) e 1= +( x )，则 f kx f x( ) (ln )> ，即 kx x k> > =ln ，所以      ln 1 x x max e ，所以 k 的取值范围为       1 e ，+ ∞ ． 3. 练习 练习即目标评测环节，通过同构式构建新函数，进一步加深了学生的同构式意 识．该目标达成的意义在于，学生能认识到代数式的结构，从无意识得到到主动观 察发现构建，这对思维发展也具有深远意义 例 2 ：（2020·全国四模） 若不等式 mx xe lnmx 2 ≥ 恒成立，则实数 m 的取值范围 为 （ ） 　单元教学设计 4 基于同构式的大单元　 057 << A.   e 1 2 ，+ ∞ B.    2e 1 ，+ ∞ C.       1 e ，+ ∞ D.     1 e ，+ ∞ 答案：B． 4. 作业 （2020·衡水期末）已知 x0 是方程 2 e ln 0x x 2 2x + = 的实根，则关于实数 x0 的判断 正确的是 （ ） A. x0 ≥ ln 2 B. x0 ≤ 1 e C. 2 ln 0x x0 0+ = D. 2e ln 0 x0 + =x0