单元教学设计3 基于核心素养的数据分析大单元-高中数学单元教学设计

>> 030 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 本单元的主要内容包括抽样方法、用样本估计总体、成对数据的统计相关性、 一元线性回归模型及其应用． （二）内容解析 《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》指出：“数据分析是指针对 研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对 象知识的素养．” 数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论， 概括和形成知识． 石家庄市第二中学  董纪华 单元教学设计 3    基于核心素养的数据分析大单元 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 031 << 本单元的主线分析如下： 1. 知识主线 统计内容主要包括以下三个方面：研究对象（总体与样本）；统计分析的过程 （收集数据、整理数据、提取信息、分析和解决问题）；统计的基本问题（成对数据 的统计相关性、回归分析、独立性检验）． 一个统计问题的完整解决包括从收集数据到获得结论的一系列过程．本单元第 一部分主要介绍数据收集的方法和途径．第二部分主要借助实际问题中样本的观测 数据，对数据进行分析，选择恰当的统计图表描述样本的取值规律，据此估计总体 的取值规律，即用样本的取值规律和统计特征描述和刻画总体的取值规律和统计特 征．第三部分主要涉及统计的基本问题之一—成对数据的统计分析． 2. 思想方法主线 用样本估计总体是统计的基本思想．样本数据是带有随机性的数据，要通过随 机样本数据对总体进行估计．每一部分内容都按照先直观描述后定量刻画的原则， 呈现出从直观想法到数学表达的层次性． 3. 核心素养主线 培养数据分析素养，一是为了提升学生主动获取信息、定量分析的意识和能力； 二是为了形成通过数据认识事物的思维品质；三是为了积累基于数据的活动经验． 通过数据洞察事物本质，利用数据分析的思想和方法分析客观世界，可以让学生形 成用数据认识事物本质规律的思维品质，感受数据分析基本思想和方法的理性思维 模式，实现育人的根本目标． 4. 学科逻辑主线 统计通常从样本出发，用样本的结论推断总体的结论，这是从部分到整体、从 特殊到一般的推理，在推理方法上属于不完全归纳，因此对于结论的判断标准不是 “对与错”，而是“好与坏”． 本单元结合实例研究了单变量和双变量的统计问题，处理数据所用的统计方法 往往和变量的类型有关． 基于以上分析，本单元教学设计的具体教学安排和教学重点如图所示． >> 032 　高中数学单元教学设计　 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 1. 收集数据—随机抽样 了解获取数据的途径，认识总体与样本之间的关系；了解简单随机抽样和分层 随机抽样的特点、适用范围及必要性；了解简单随机抽样和分层随机抽样解决问题 的方法和过程；根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题；通过实例， 掌握用简单随机抽样和分层随机抽样获得的样本的样本均值与总体均值之间的关系； 通过经历用随机抽样收集数据、分析数据的过程，感受样本的随机性，提升学生的 数据分析素养． 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 033 << 2. 数值型单变量数据分析—用样本估计总体 通过实例，理解用样本数据估计总体统计特征的不同角度；理解取值规律、百 分位数、集中趋势参数、离散程度参数的统计意义；掌握用样本的统计特征估计总 体的统计特征的方法，体会用样本估计总体的思想，发展数据分析素养． 3. 数值型双变量数据分析—成对数据的统计相关性 掌握相关关系的概念，知道如何直观定性地推断变量之间的相关关系；正确理 解相关关系和因果关系；掌握定量刻画成对数据的统计相关性程度的方法，知道样 本相关系数的统计含义、取值范围，能推断变量之间的相关性，解释其在具体情境 中的含义；了解样本相关系数和散点图之间的关系，体会通过数据研究问题的理性 思维和科学精神． 4. 数值型双变量数据分析—一元线性回归模型及其应用 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了 解最小二乘原理；掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的 统计软件；掌握残差分析方法，理解决定系数 R2 的意义；针对实际问题，会用一元 线性回归模型进行预测． （二）目标解析 达成上述目标的标志如下： 1. 收集数据—随机抽样 正确认识数据带有随机性．了解获取一手数据和二手数据的主要途径． 从对总体估计的角度来看，误差小的样本是“好”样本．通过抽样调查的具体 实例，知道简单随机抽样的特点、适用范围和局限性．对于个体差异较大的总体， 实施分层随机抽样可以在一定程度上避免“极端”样本的出现． 明确简单随机抽样和分层随机抽样的方法、步骤和适用范围． 知道简单随机抽样的总体均值和样本均值的表达式和关系；明确分层随机抽样 的样本均值的计算方法． 观察样本观测值，体会样本的随机性和规律性，借助统计图表比较两种抽样方 法的样本均值估计总体均值的效果，能举例说明简单随机抽样和分层随机抽样的区 别和联系． >> 034 　高中数学单元教学设计　 2. 数值型单变量数据分析—用样本估计总体 通过实例，知道用样本的统计特征可以估计总体的统计特征，包括总体取值规 律的估计、总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计和总体离散程度的估计． 会用频率分布表和频率分布直方图描述样本的取值规律；会用百分位数刻画样 本的位置信息；会用平均数、中位数、众数等刻画样本的集中趋势，结合实例知道 如何从图表信息中估计它们；对数据离散程度的刻画可以用方差、标准差、极差等 数字特征，它们可以反映数据的稳定性．能用数字特征对数据进行比较和评价，能 用平均数和标准差描述数据的取值范围，知道多数数据在平均数减去两倍标准差与 平均数加上两倍标准差的范围内． 会计算一组数据的不同数字特征，能通过两组数据各自的数字特征计算两组数 据合并后所有数据的数字特征．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，体会样 本估计总体的思想． 3. 数值型双变量数据分析—成对数据的统计相关性 知道相关关系是非确定性的随机关系，需要借助数据来说话． 知道对于数值变量的成对样本数据，通过散点图可以直观定性地推断变量之 间的相关关系；了解只有对两个变量同时进行观测所得的数据才能体现变量之间的 关系． 知道相关关系只是表明两个变量在取值上表现出某种规律性，它们不一定有相 互因果关系． 能够根据散点图的特征，知道如何构造统计量，并理解将其“中心化”和“标 准化”的处理，优化统计量，提升数据分析素养；知道样本相关系数可以反映成对 样本数据相关的正负性和线性相关程度． 通过向量的数量积证明样本相关系数的取值范围，并借助样本相关系数，推断 总体中两个变量的相关性，了解样本量越大推断的效果也越好． 知道散点图可以从直观上判断成对样本数据的相关性，样本相关系数则可以从 定量的角度刻画成对样本数据相关的正负性和线性相关程度，两者各有优势，相互 不能代替．理解统计的概念和方法，选择合适的数字特征和方法解决统计问题，发 展科学精神． 4. 数值型双变量数据分析—一元线性回归模型及其应用 知道线性回归模型与函数模型的区别，知道线性回归模型中误差 e 的含义，知 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 035 << 道假设误差 e 满足 E e D e( ) 0 ( )= =， σ 2 的理由． 能依据用竖直距离来刻画接近程度的数学方法了解最小二乘原理，能利用最小 二乘原理推导参数估计值的计算公式． 会利用统计软件画散点图、求样本相关系数、求回归方程，能用残差、残差图 和决定系数 R2 对回归模型进行评价． 通过具体案例，理解利用一元线性回归模型可以刻画随机变量之间的线性相关 关系，在利用一元线性回归模型解决实际问题的过程中，提升数据分析、数学建模、 逻辑推理等素养． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 本单元教学需 13 课时，第 1 课时至第 3 课时，随机抽样；第 4 课时至第 8 课时， 用样本估计总体；第 9 课时至第 10 课时，成对数据的统计相关性；第 11 课时至第 13 课时，一元线性回归模型及其应用． （二）教学评价 学生已经有了初步的统计意识，高中阶段要让学生认识到数据是具有随机性的， 统计学面向随机现象．学生对数据的随机性、数字特征的统计含义、评价推断结果 的标准以及不同统计模型、统计参数的统计意义的理解可能存在一定的困难，对统 计模型的选择、建立和求解、利用统计模型解释实际问题的统计思想方法缺少经验， 容易误将样本参数当作模型的参数，不理解样本回归模型与统计模型的区别，主要 原因是学生对样本的随机性理解不到位，对于同一个总体的不同样本会有不同的参 数估计缺少体验． >> 036 　高中数学单元教学设计　 1. 知识理解评价要求 本单元的知识理解评价要求，即单元教学难点如下： （1）总体和样本的理解． （2）具有随机性的数据这个概念的正确认识． （3）“分析”的含义、用样本估计总体的统计思想的正确理解． （4）针对不同数据类型所使用的不同统计分析方法． （5）统计模型和参数的确定、估计与推导，以及其与样本数据间的关系； （6）统计推断的解释与评价以及优度的判断． 通过本单元的学习，学生达到知识理解评价要求的标志是通过实际问题，能用 统计的语言表达和解释随机现象，会用统计的思想和方法研究随机现象、处理随机 数据，能针对不同的问题构造相应的统计模型分析随机数据和随机现象的本质，研 究随机现象中所蕴含的一般规律． 2. 数据分析素养水平的评价要求 水平 数据分析 情境与问题 知识与技能 思维与表达 交流与反思 水 平 一 能够在熟悉 的情境中了 解随机现象 和统计问题 能够对熟悉的统计问题，选择 合适的抽样方法收集数据，掌 握描述、刻画、分析数据的基 本统计方法，解决问题 能够用统计的语言表 达简单的随机现象 能够用统计图表 交流和解释熟悉 的随机现象 水 平 二 能够在关联 的情境中识 别随机现象， 发现并提出 统计问题 能够针对具体问题，理解抽样 方法的统计意义，运用适当的 统计模型解决问题 在运用统计方法解决 问题的过程中，理解 统计结论的意义，能 够用统计的思维分析 随机现象、表达统计 规律 能够用数据呈现 的规律交流和解 释随机现象 水 平 三 能够在综合 的 情 境 中， 发现并提出 随机问题 能够针对不同的问题，综合或 创造性地运用统计知识，构造 相应的统计模型解决问题 ；能 够分析随机现象的本质，发现 随机现象的统计规律，形成 新的知识 能够理解数据分析在 大数据时代的重要 性；能够理解、分析、 并解释数据所提供的 知识和规律 能够辨明随机现 象，用统计语言 交流和解释不同 的随机现象 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 037 << 四、课时典例分析 【情境与任务】某家具厂要制作一批课桌椅，需要调查了解某地区未成年人的身 高和体重问题，请你设计一套调查方案． （1）帮助家具厂分析该地区不同阶段未成年人的身高和体重分布的特征和规律； （2）通过观察数据研究身高和体重之间的关系； （3）查询相关统计知识，选择恰当的统计模型和统计参数，定量刻画身高和体 重间的关系，并通过模型解释该家具厂进行课桌椅制作时的参考依据． 【研究路径】为了完成该任务，学生需要在学习初中统计知识的经验基础上，设 计研究路径，分解研究任务，学习和查询相关统计知识，关注研究路径中每一环节 的研究细节，学习统计方法，随着研究的不断深入，体会统计核心思想，提升数据 分析、逻辑推理、数学建模等核心素养． （1）收集数据． ①获取数据的基本途径（如图）． ②选择恰当的抽样方法获取身高和体重数据． （2）对单变量—身高和体重分别进行统计分析． ①理解和处理数据：利用统计图表整理样本中身高和体重数据． ②解释数据、形成结论：用样本的数字特征估计总体的数字特征 （3）对双变量—身高和体重的关系进行研究． >> 038 　高中数学单元教学设计　 ①理解和处理数据：利用数据观察、描述身高和体重之间的关系；设计指标刻 画、计算身高和体重之间的关系． ②解释数据、形成结论：建立模型定量刻画身高和体重之间的关系；解释模型 和参数，比较和改进模型，解决实际问题． 第3课时  分层随机抽样 （一）教学内容 分层随机抽样—收集数据． （二）教学目标 （1）了解分层随机抽样的特点、适用范围及必要性． （2）通过实例，掌握各层样本量比例分配的方法． （3）结合实例，掌握分层随机抽样的样本均值，了解样本均值和总体均值之间 的关系． （4）能根据实际问题设计恰当的抽样方法解决问题，感受样本的随机性，提升 数据分析素养． （三）教学重点、难点 教学重点：分层随机抽样的特点、适用范围，各层样本量比例分配的方法． 教学难点：分层随机抽样的样本均值，样本均值和总体均值之间的关系． （四）教学过程设计 上节课我们已经学习了简单随机抽样，为了了解总体的情况，可以从总体中随 机抽取一部分个体作为样本，用样本估计总体，样本的代表性越好，它对总体情况 的反映就越好．所以提高样本的代表性是抽样调查的核心之一．6 个研究小组查询了 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 039 << 获得数据的基本途径，利用简单随机抽样的方法，收集了我校部分高中学生的身高、 体重数据，并根据样本数据计算出样本均值，即样本平均身高和平均体重． 1. 活动 1：概念的引入 调查任务：调查本校学生的平均身高（课前进行）． 方式与要求：将全班分成 6 个研究小组进行调查，要求其于上课前一天上交数 据．每组学生自行确定样本容量，采用简单随机抽样的方式进行抽样调查． 设计意图：让学生亲身经历收集数据的过程，参与调查实践活动． 任务：以身高变量为例，利用各小组的样本数据制作样本身高的均值柱状图， 观察样本数据是否具有良好的代表性，即样本中是否存在“极端”样本，如果存在 “极端”样本，分析其原因和影响因素，并设计更为科学合理的抽样方法以改进样本 数据的代表性，用样本均值估计总体均值． 师生互动：我们发现有的小组的样本中“个子较高”或“个子较矮”的个体 居多，各小组的样本均值也因此出现了较大的偏差，直观感觉这样的样本的代表性 较差． 问题 1 ：影响样本代表性的因素是什么？也就是影响身高、体重的因素有 哪些？ 师生互动：影响身高、体重的因素有年龄、性别、地域、运动、饮食习惯等， 但是考虑到各小组的样本数据都来源于我校高中学生，因此我们可以暂时忽略年龄、 地域、运动、饮食习惯因素，将性别确定为主要影响因素． 追问：借助各小组的数据分析柱状图直观感受性别因素对样本数据的影响． 设计意图：让学生体会数据的随机性，意识到简单随机抽样的局限性，并有 意识地改进抽样方法，为引入分层随机抽样做铺垫，以便于样本特征能够更好地 代表总体特征，从数字思维转入统计思维． 2. 活动 2：概念的形成 问题 2 ：在简单随机抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性相等．因为抽样 过程是随机的，所以结果具有随机性，有可能抽到“极端”样本，样本的代表性不 强．你认为应该怎样改进抽样方法，来克服性别等个体差异对样本的估计效果产生 >> 040 　高中数学单元教学设计　 的影响？ 师生互动：考虑到男生和女生的身高和体重差异较为明显，因此将学生分成 男生和女生两部分，分别在每部分中进行简单随机抽样，这可以在一定程度上避免 “极端”样本的出现，同时方便估计个体差异较大的每部分样本的平均值． 问题 3 ：在 6 个研究小组的数据中，第 4 小组和第 6 小组都考虑了男生和女生 的差异，在第 4 小组抽取的样本中，男女比例为 1 ∶ 1，在第 6 小组抽取的样本中， 男女比例为 3 ∶ 2，哪个更加合理呢？你认为总样本量在各层应该如何进行分配呢？ 师生互动：我们认为第 6小组的更为合理，因为我校的男女生比例大约为 3∶ 2， 样本量在各层中的比例分配应该与总体中各个子总体的个体比例相同． 先将总体划分成若干个互不重叠的子总体（称为层），然后在每层独立进行抽 样，这种抽样方式称为分层抽样，所得的样本称为分层样本．若每层中的抽样都是 简单随机抽样，则称为分层随机抽样，所得的样本称为分层随机样本．这里把总体 分成各层进行抽样调查就相当于把一个大型调查分成若干个子总体分别进行调查， 其实是一种“分而治之”的策略．其中层的划分方式有两种：一种是自然形成，另 一种是人为形成． 设计意图：引导学生思考如何将总体分成若干个子总体，然后分别从每个子 总体中抽取样本以避免“极端”样本的出现． 问题 4 ：总体中的个体数为 N，要抽取一个容量为 n 的样本，样本量在各层中 应该如何分配？ 师生互动：各层样本量的抽样比为 k = N n ．即 男生样本量 = 全体学生人 男生人数 数 ×总样本量 ， 女生样本量 = 全体学生人 女生人数 数 ×总样本量 ． 问题 5 ：你认为分层抽样的适用范围是什么？比例分配的分层抽样的步骤是怎 样的？ 师生互动：当总体各部分差异明显时采用分层抽样．步骤如下： （1）根据已掌握的信息，将总体分成互不相交的 L 层． 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 041 << （2）根据总体中的个体数 N，各层中的个体数 N N N1 2， ，…， L 和样本量 n，计 算第 i 层抽取的个体数 n n i Li = × = N N i ， ， ，…，1 2 ，使得各 ni 之和为 n． （3）在各层中，用简单随机抽样方法抽取样本，将其合在一起得到容量为 n 的 总样本． 设计意图：引导学生从一般意义上回顾分层随机抽样的过程，进一步理解分 层随机抽样． 3. 活动 3：概念的深化 问题 6 ：在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体 数分别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n．我们用 X X X1 2， ， ，… M 表示第 1 层 各个个体的变量（身高或体重）值，用 x x x1 2， ，…， m 表示第 1 层样本的各个个体的 变量（身高或体重）值；用 Y Y Y1 2， ，…， N 表示第 2 层各个个体的变量（身高或体重） 值，用 y y y1 2， ，…， n 表示第 2 层样本的各个个体的变量（身高或体重）值，如何计 算样本平均数？如何用样本平均数估计总体平均数？ 师生互动：第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为 X X= =X X X1 2+ + + M M  M 1 ∑ i M =1 i ， x x= = x x x1 2+ + + m m  m 1 ∑ i m =1 i ． 第 2 层的总体平均数和样本平均数分别为 Y Y= =Y Y Y1 2+ + + N N  N 1 ∑ i N =1 i ， y y= = y y y1 2+ + + n n  n 1∑ i= n 1 i ． 总体平均数和样本平均数分别为 W = = ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i M N m n = = = =1 1 1 1 M N m n X Y x yi i i i + + + + ，ω ． 由于用第 1 层的样本平均数 x 可以估计第 1 层的总体平均数 X ，用第 2 层的样 本平均数 y 可以估计第 2 层的总体平均数 Y ，因此我们可以用 M x N y M N× + × M N M N M N+ + + = +x y >> 042 　高中数学单元教学设计　 估计总体平均数 W ． 在比例分配的分层随机抽样中， M N M N m n m n = = + + ， 可得 M N M N m n m n M N m n + + + + x y x y+ = + =ω ． 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 ω 估计总体平均 数 W ． 设计意图：让学生理解在比例分配的条件下，用 M N M N M N + + x y+ 估计总体 平均数的方法与用样本平均数估计总体平均数的方法的等价性，体会总体均值估 计的不同方法． 4. 小结及反思 回顾本节课所学内容，回答下列问题： （1）描述引入分层随机抽样的必要性、简单随机抽样和分层随机抽样的区别与 联系． （2）叙述分层随机抽样的操作过程． （3）分层随机抽样如何估计总体均值？ （4）在实际问题中，如何选择恰当的随机抽样方法？ 5. 课堂教学目标检测 例 1 ：在下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？ （1）从 10 台冰箱中抽取 3 台进行质检． （2）某影院有 32 排座位，每排有 40 个座位，座位号为 1 ～ 40．在一次报告会 上，该影院里坐满了听众，会后为听取意见，需留下 32 名听众进行座谈． （3）某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、 生产各部门，具体分布情况如表所示． 　单元教学设计 3 基于核心素养的数据分析大单元　 043 << 管理 / 人 技术开发 / 人 营销 / 人 生产 / 人 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 共计 160 320 480 1040 2 000 若要抽取 25 人开一个讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，应怎样选出 席人？ 6. 作业 作业 1 ：类比观察简单随机抽样的估计效果的方法，设计方案观察分层随机 抽样的估计效果，并比较简单随机抽样和分层随机抽样的估计效果．思考探究以下 问题： （1）分层随机抽样的估计效果是否明显优于简单随机抽样？为什么？ （2）分层随机抽样的估计效果是否每次都优于简单随机抽样？为什么？ （3）在遇到实际问题时，对于简单随机抽样和分层随机抽样，我们应如何 选择？ 针对以上研究过程形成研究报告． 作业 2 ：查阅相关资料，了解样本容量与评估效果之间的关系，学习如何科学 确定样本量． 作业 3 ：如果要了解某电视节目在你所在地区的收视率，你能帮忙设计一个抽 样方案么？结合你所在地区的实际情况，和同学展开讨论．