单元教学设计2 基于函数思想的数列大单元-高中数学单元教学设计

>> 014 石家庄市第一中学  刘慧军 单元教学设计 2    基于函数思想的数列大单元 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 本单元主要包含三方面的内容：数列的概念、等差和等比两种特殊的数列、数 学归纳法．等差和等比两种特殊的数列为本单元的中心和重心，数列的概念和数学 归纳法是为这种中心服务的，所以本单元的教学设计应体现两种特殊数列的主线地 位，在知识体系上以等差和等比两种特殊数列的通项、性质、前 n 项和为本单元的 重点． （二）内容解析 数列的概念是本单元的基础，本单元以两种特殊的数列为情境引入介绍了数列 的一般概念后又回到两种特殊的数列的定义上．由于数列是一种特殊的函数，本单 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 015 << 元内容与函数的一般概念的研究内容类似，包括数列的定义和表示方法，以及数列 所特有的递推公式． 此设计先分析 3 个典型的具体实例，再归纳它们的共同特征：按照确定的顺序 排列的一列数，由此给出数列的定义，并抽象出数列的一般形式 a a a1 2， ，…， ，…n . 然后，将数列的定义与函数概念建立联系，得到数列是定义在正整数集或正整数集 的有限子集上的离散函数的结论． 接下来，类比函数的研究内容，介绍了数列的三种表示方法：表格、图象和通 项公式．其中通项公式就是数列的函数解析式，它能简洁、精确地刻画数列的所有 项的取值规律．因数列的递推公式在研究数列时有特殊作用，所以它是数列的一个 主要研究内容，故本节介绍了数列的递推公式的定义． 在介绍了一般数列的概念之后，类比函数从一般到特殊的研究过程，按“概念、 性质、应用”的顺序，研究了具有特殊变化规律的等差数列和等比数列．此设计通 过具体问题的运算发现了实例中蕴含的取值规律，抽象出等差数列和等比数列的 定义． 从定义出发，推导出等差数列、等比数列的通项公式，从通项公式出发，探究 等差数列、等比数列与一次函数、指数函数之间的关系；结合函数的知识，画出等 差数列和等比数列的图象，为研究它们的性质提供几何直观．这样有意识地把数列 纳入函数的体系中，可以使学生从函数的观点认识和理解数列的概念、性质、应用 价值． 在研究等差数列、等比数列的性质时，需要从以下三方面入手：一是明确研究 对象；二是构建研究路径，即从通项、图象和具体数列中去探寻与研究；三是在研 究方法上引导学生从具体到抽象、从特殊到一般、由简单到复杂，如研究任意两项 的关系、相邻三项的关系、间隔相等的三项的关系、特殊四项的关系等，最后获得 研究结论．由于数列的性质指的是“项与项之间的关系”，在学生探寻不充分的条件 下，需要再回到具体的实例中，这样做的目的一是利用实例中的运算探索数列的性 质，二是在运算的基础上，利用观察、归纳、猜想、证明的思维方法获得性质结论， 这些性质结论可以用数学符号、文字语言或图象等多种方式表达． 数列前 n 项和的定义、公式和性质是数列的重要研究对象和内容，利用研究一 个数学对象的一般过程，即“事实、概念、性质和应用”来展开研究数列的前 n 项 和，首先介绍一般数列前 n 项和的定义、前 n 项和与通项的关系，由具体问题引出 求等差、等比两种特殊数列前 n 项和的问题，推导出公式之后，再通过图象和运算 >> 016 　高中数学单元教学设计　 探索等差数列、等比数列前 n 项和的性质． 对于数学归纳法，通过类比和分析多米诺骨牌全部倒下的过程，与“证明”一 个数学命题的过程，揭示数学归纳法的原理，并以证明数列中的一些简单命题为例， 说明用数学归纳法证明命题的一般过程． 基于以上分析，本单元的教学重点为等差、等比两种特殊数列的通项、性质和 前 n 项和． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）了解数列的概念和表示方法，了解数列是离散型函数，理解递推公式，理 解等差数列和等比数列的概念． （2）掌握等差数列和等比数列的通项公式，了解等差数列和一次函数的关系、 等比数列和指数函数的关系，并能在问题中发现等差、等比关系，能应用相关知识 解决对应问题． （3）了解数列的前 n 项和的定义，掌握前 n 项和与通项的关系，理解等差数列、 等比数列前 n 项和的求法，掌握等差数列和等比数列的前 n 项和公式，了解等差数 列、等比数列前 n 项和的简单性质，能应用相关知识解决对应问题． （4）理解数学归纳法的基本原理，能准确应用数学归纳法解决问题． （5）掌握数学归纳法的应用技巧，让学生体会数学归纳法的应用场景和应用 过程． 通过本单元学习，学生深刻体会了函数和方程的思想，提高了数学抽象、数学 运算和逻辑推理的基本素养． （二）目标解析 基于上述目标，我们对数列的教学有以下基本认识： 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 017 << （1）数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本 工具，在日常生活中有广泛的应用． （2）因为数列是一类特殊的函数，所以本单元注重函数思想和方法的应用． （3）通过本单元的学习，学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模素养都将得到 提高． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 基于以上认识，本单元的教学设计对数列的教学内容进行了重新整合，以等差 数列和等比数列的教学内容为知识的核心，以函数和方程的思想为本单元教学设计 的主线，以数学归纳法为本单元的主要方法．本单元在课时上分为 4 个教学新授课 时，分别如下： 第 1 课时：数列及等差数列、等比数列的概念． 第 2 课时：等差数列和等比数列的通项公式与性质． 第 3 课时：数列的前 n 项和． 第 4 课时：数学归纳法． （二）教学评价 本单元在教学内容上始终贯穿观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、 猜想、证明、应用能力的培养．本单元通过归纳、类比、递推等方法的应用培养学 生的合情推理能力，又通过通项公式、递推公式、前 n 项和公式等内容进行大量技 能训练，培养学生的演绎推理能力． 数列的概念强调学生的感性认识．本单元通过对具体实例的观察和研究，使学 生了解了数列是按照一定次序排列起来的一列数，并形象地给出了数列的递推公式． 数列的通项公式与性质主要介绍了等差数列与等比数列两种特殊数列的通项公 >> 018 　高中数学单元教学设计　 式与性质，一重逻辑思维能力，二重技能训练． 求数列的前 n 项和需要学生想出新奇的解决方案．在解题中，学生不仅需要根 据已有规律发现数列的特点，还需要不断尝试新的方法，挖掘潜在规律，从而提高 创新能力． 数学归纳法是相对抽象和复杂的一部分，主要培养学生良好的逻辑思维能力． 在学习方式上本单元主要采取启发式自主学习与合作探究相结合的学习模式． 在学习数列之前学生已经对函数的知识有了充分的认知和理解，在函数的学习 中有离散型函数的体会，在以前的学习中也有不同数列的体会和了解，所以学生在 知识上已具备学习数列的认知基础． 学生已经具有一定的分析能力和概括能力，对数学公式的运用已具备一定的技 能，已熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数和方程思想的体会逐渐深刻．学 生的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展的阶段，他们仍需要依赖一定 的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系．同时学生思维的严谨性还有待加强． 基于上述分析，学生在学习本单元过程中，可能会遇到以下难点：一是从实例 中抽象出数列的概念，这是因为直观上排好的一列数与数列的定义之间存在一定的 距离，学生只有具备较强的数学抽象能力才能概括出数列的概念，因此教师在教学 中需多举例，在多个例子中抽象出数列的概念，并对比集合的定义，点出数列与数 集的区别与联系．二是从运算的角度理解递推中的迭代关系，这是因为学生在运算 中发现数学规律的意识不强，且递推中的迭代关系的直观性不强，因此教师在教学 中需让学生在实例中体会和通过信息技术体现多次递推中的迭代关系．三是推导等 差数列和等比数列的前 n 项和公式，教师在教学中要让学生动手，通过具体的数学 运算和逻辑推理发现解决问题的途径．四是从逻辑的角度正确理解数学归纳法和准 确应用数学归纳法，教师在教学中可播放多米诺骨牌游戏的视频，通过这个模型的 直观效果，让学生体会第一块骨牌倒下的推动作用和前一块骨牌倒下对后一块骨牌 的推动作用，把这个效应迁移到对数列通项公式的证明中，让学生从类比的角度理 解证明过程． 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 019 << 四、课时典例分析 第1课时  数列及等差数列、等比数列的概念 （一）教学内容 （1）数列的概念及分类：数列的定义、分类和表示方法，让学生了解不同类型 数列的特点． （2）数列的通项公式和递推公式及其应用． （3）等差数列和等比数列的概念． （二）教学目标 （1）从实例中抽象出数列的概念，了解数列的表示方法． （2）了解数列是离散型函数；理解递推公式． （3）理解等差数列和等比数列的概念． （4）提高学生数学抽象的基本素养． （三）教学重点、难点 教学重点：数列概念的生成过程，等差数列和等比数列定义的理解和记忆． 教学难点：递推关系的理解，应用递推关系得到等差数列和等比数列的定义． >> 020 　高中数学单元教学设计　 （四）教学过程设计 1. 活动 1 引入语：在生活和科学实践中人们经常用数字记录客观世界的发展过程，观察 其是否存在一定的规律，以帮助他们更好地应用自然规律．例如，按时间顺序记录 下每次考试的成绩和名次，以研判学习的得失．再如，人类记录日影的长度和角度 变化，用来刻画时间等． 在本单元，我们将学习数列的概念，研究等差数列和等比数列，探索它们的取 值规律，构建它们的通项公式、前 n 项和公式．我们将把数列看成一类特殊的函数， 用函数的思想方法研究数列．我们还将学习一种证明与正整数有关的数学命题的特 殊方法—数学归纳法． 设计意图：引入语导入学习主题，使学生感知数列有实际的需求和应用，同 时引入本单元学习的内容与方法． 2. 活动 2 请同学们先独立思考和解决下列问题． （1）王芳从 1 岁到 17 岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位： cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153， 158，160，162，163，165，168．王芳的岁数与身高是否存在函数关系，这些身高 数据能否交换位置？ （2） 按 从 小 到 大 的 顺 序 写 出 函 数 f n n n( ) = ∈2 1 2 3 10， ， ， ，…，{ } 和 函 数 g n n( ) = ∈     1 2 n ， ， ， ，…，{1 2 3 10}的所有函数值，并观察其是否存在一定的规律． （3）已知在函数 y f n= ( ) (n∈N∗ ) 中 f (1 2) = ，且 f n n( ) = − ≥2 2f n( 1 −1) ( ) ．写 出函数 f n( )的前 5 个函数值，并猜想 f n( )的表达式． 在以上 3 个问题中，函数定义域的共同特征是什么？函数值排列的共同特征是 什么？请同学们在组内讨论自己的结论，并在组内形成统一认识． 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 021 << 设计意图：由于数列是特殊的函数，所以从函数的角度引入了数列的概念和 相关表示，并在引例中安排了 3 个问题，第 1 个问题涉及数列的实际情境，以体 现数学来源于生活和实践的需求，这个数列并无通项公式，说明并非所有数列都 有通项公式；第 2 个问题涉及以两个特殊的数列为背景的函数，一是为了让学生 初步体会等差、等比关系，二是为了引入下节的学习内容；第 3 个问题涉及以递 推关系为背景的迭代函数关系，一是为了引入递推公式，二是为了引入本单元的 主要思想方法—数学归纳法．从这三个问题中可以提炼共性的数学特征，从而 得到数列的概念．本单元在教学上将围绕这三个问题逐步展开． 学生通过小组讨论后回答： （1）王芳的岁数与身高可以构成函数关系，这些身高数据不能交换位置，是具 有确定顺序的一列数． （2） 函 数 f n n n( ) = ∈2 1 2 3 10， ， ， ，…，{ } 的 函 数 值 为 2，4，6，8，10， 12，14，16，18，20，其规律是 2 的倍数（从第 2 个数开始每一个数与前一个 数 的 差 相 等 ） 且 依 次 增 大； 函 数 g n n( ) = ∈     1 2 n ， ， ， ，…，{1 2 3 10} 的 函 数 值 为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其规律是 1 2 的整数次方（从第 2 个数 开始每一个数为前一个数的一半）且依次减少． （3）函数 f n( ) 的前 5 个函数值分别为 2， ， ， ，3 4 5 6 2 3 4 5 ．猜想 f n( ) 的表达式 为 f n( ) = n n +1 ． 在 以 上 3 个 问 题 中， 函 数 的 定 义 域 都 是 正 整 数 集 N∗ 或 它 的 有 限 子 集 {1 2 3， ， ，…，n}，函数值排列有确定的顺序． 师生总结：教师在前面充分的生生互动和师生互动的基础上给出数列的概念． （1）数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． （2）数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的 数叫做这个数列的第 1 项，常用符号 a1 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 >> 022 　高中数学单元教学设计　 2 项，用 a2 表示……第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项，用 an 表示．其中第 1 项也叫做首项． （3）数列的表示：数列的一般形式是 a1 ， a2 ，…， an ，…，简记为 {an}．显然 数列 {an}是从正整数集 N∗ 或它的有限子集 {1 2 3，，， ，⋅ ⋅ ⋅ n}到实数集 R 的函数，其自变 量是序号 n ，对应的函数值是数列的第 n 项 an ，记为 a f nn = ( )．像问题（2）中，如 果数列 {an}的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么 这个式子叫做这个数列的通项公式．像函数一样，数列也可以用表格和图象来表示． （4）数列的分类：与函数类似，我们可以定义数列的单调性．从第 2 项起，每 一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第 2 项起，每一项都小于它的前一 项的数列叫做递减数列；特别地，各项都相等的数列叫做常数列；项数有限的数列 叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． （5）数列的递推关系：问题（3）中的 f n n( ) = − ≥2 2 f n( 1 −1) ( ) 可记为 an = −2 a 1 n−1 (n≥2)，像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表 示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项或前几项，以及递推公式， 就能求出数列的每一项了． 3. 活动 3 请同学们应用所学知识独立思考和解决下列问题． 例 1：根据下列数列 {an}的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象， 探究数列的性质，试判断 45 是不是数列 {an}的项．若是，是第几项；若不是，请说 明理由． （1） an = n n2 2 + ； （2） an = cos (n − 2 1 π) ． 请同学们在组内讨论自己的结论，并在组内形成统一认识． 设计意图：本例是对通项公式的直接应用，可以让学生体会项与通项公式的 关系，要求学生描点作图，使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识了数列， 通过探究数列的性质可以让学生体会数列与函数的关系． 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 023 << 学生通过小组讨论后回答： (1) an = n n2 2 + 的前 5 项依次为 1，3，6，10，15．从图象上看，该数列为单调 递增数列，45 是数列 {an}的第 9 项，由 n n2 2 + = 45 ，解得 n = 9 ， n = −10 （舍去）． （2） an = cos (n − π 2 1) 的前 5 项依次为 1，0，-1，0，1．从图象上看，该数列有 周期性，45 不是数列 {an}的项，理由如下： an = ∈ −cos 1 1 (n − 2 1 π) [ ， ]． 4. 活动 4 请同学们应用所学知识独立思考和解决下列问题． 例 2 ： 已知数列 {an}的首项 a1 =1 ，根据下列递推公式，写出数列的前 5 项，先 猜想数列 {an}的通项公式，再试说明猜想结果的合理性． （1） a a nn n− = ≥−1 2 2( )； （2） a a n n −1 = ≥2 2(n )． 在“活动 2”的问题（2）中函数 f n n n( ) = ∈2 1 2 3 10， ， ， ，…，{ }的函数值为 2，4，6，8， 10，12，14，16，18，20，其规律是 2 的倍数；函数 g n n( ) = ∈     1 2 n ， ， ， ，…，{1 2 3 10} 的函数值为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其规律是 1 2 的整数次方． 通过以上问题，你能发现哪些共性的结论？请把你的发现记录下来，与组内同 学比较和讨论，在组内形成统一认识． 设计意图：从单元的整体性看，等差和等比具有相似性，放在一起比较更有 利于学生区分性地理解和记忆．本例通过递推公式的应用让学生体会递推关系， 体会数列的核心思想方法．本例设计为等差、等比递推关系是为了引入等差、等 比数列的定义，为以后的学习铺开了认知脉络． 学生通过小组讨论后回答： >> 024 　高中数学单元教学设计　 （1）由 a1 =1 ， a a nn n− = ≥−1 2 2( ) 得数列 {an} 的前 5 项依次为 1，3，5，7，9． 由此可猜想 a nn = −2 1 ，通过班级讨论得出数学归纳法和累加法两种合理说明． （2）由 a1 =1 ， a a n n −1 = ≥2 2(n )得数列 {an}的前 5 项依次为 1，2，4，8，16．由 此可猜想 an = 2 n−1 ，通过班级讨论得出数学归纳法和累乘法两种合理说明． 与“ 活 动 2” 中 的 问 题（2） 比 较 后 发 现 f n n n( ) = ∈2 1 2 3 10， ， ， ，…，{ } 与 a nn = −2 1 从 第 2 项 开 始 每 一 项 与 前 一 项 的 差 都 是 固 定 常 数； g n n( ) = ∈     1 2 n ， ， ， ，…，{1 2 3 10}与 an = 2n−1 从第 2 项开始每一项与前一项的比都是 固定常数． 师生总结：教师在前面充分的生生互动和师生互动的基础上给出等差数列、等 比数列的概念． （1）等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d 表示． 由三个数 a A b， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时， A 叫做 a 与 b 的等差中项，由等差数列的定义可得 2A a b= + ． （2）等比数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示（显然 q ≠ 0 ）． 与等差中项类似，如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a G b， ， 成等比数列，那 么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，由等比数列的定义可得 G ab2 = ． 5. 小结及反思 请你归纳本节课所学的知识和方法，梳理思维导图，提出你的疑惑与不解，在 组内交流或找老师交流． 一般性的等差数列和等比数列有通项公式吗？需要什么条件才能构建它们的通 项公式呢？请同学们下课后独立地想一想． 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 025 << 设计意图：引导学生反思和总结本节课的内容，生成知识体系．引导学生思 考与发现等差数列和等比数列的通项公式，这样做的目的一是给课后留有思维回 响和思维扩展，二是为下节课做好铺垫． 第2课时  等差数列和等比数列的通项公式与性质 （一）教学内容 （1）等差数列和等比数列的通项公式． （2）等差数列和等比数列的简单性质． （二）教学目标 （1）理解等差数列和等比数列的通项公式的推导过程，掌握等差数列和等比数 列的通项公式，并能应用公式解决相关问题． （2）了解等差数列和等比数列的函数属性． （3）掌握等差数列和等比数列的简单性质，并能应用性质简化问题的解决过程． （4）了解归纳推理的应用，掌握累加法和累乘法的应用场景． （三）教学重点、难点 教学重点、难点：等差数列和等比数列的通项公式的推导过程，等差数列和等 比数列简单性质的探究． （四）教学过程设计 1. 活动 1 引入语：上节课我们学习了数列、等差数列、等比数列这三个概念，认识到数 >> 026 　高中数学单元教学设计　 列是特殊的函数，这节课我们还要从函数的角度研究等差数列、等比数列的通项公 式、图象和性质等问题，下面我们首先交流“小结及反思”的结果． 学生展示与回答，教师补充与评价： 上节课所学的知识如下：①数列的定义；②数列的项；③数列的表示：通项公式、 表格、图象；④数列的分类：数列的单调性、周期性等，有穷数列和无穷数列；⑤数 列的递推公式；⑥等差数列和等比数列的定义，以及等差中项和等比中项的定义． 2. 活动 2 引入语：由等差数列和等比数列的定义，能推导出它们的通项公式吗？需要什 么条件才能构建它们的通项公式呢？这是上节课的思考题． 请同学们在组内讨论交流思考的结果，在组内形成统一认识，准备展示． 设计意图：呼应上节课的“小结及反思”，引导学生主动探究发现，在讨论 交流中相互启发，得到构建通项公式的不同方法． 师生互动：学生通过小组讨论后展示与回答： 能 推 导 出 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式， 它 们 的 通 项 公 式 分 别 为 a a n dn = + −1 ( 1) 和 a a qn = ⋅1 n−1 ，展示数学归纳法和累加法、累乘法两种推导过程． 设计意图：基于课下作业的思考，通过学生的充分活动，来生成两个通项公 式的得到过程，教师主要起引导、提示和矫正学生的活动和结果的作用． 3. 活动 3 观察等差数列和等比数列的通项公式，想一想它们与哪些熟悉的函数相似，作 出它们在不同情况下的图象． 设计意图：让学生认识等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的 关系，并讨论两种数列在不同首项和公差、公比下的图象，建立不同情境下的变 化模型，以利于学生在不同情境下应用这两种数列． 师生互动：学生展示不同条件下两种数列的图象，教师引导学生观察其单调性 和对称性． 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 027 << 4. 活动 4 通过以上观察，我们已经得到了等差数列和等比数列的一些性质，下面请同学 们进一步观察通项公式、图象或由具体的等差数列和等比数列，找一找它们还有什 么性质，并在组内讨论交流． 设计意图：由于等差数列和等比数列的性质较多，活动 4 的问题有一定的开 放性，一是为了提高学生的观察能力和数学抽象能力，二是为了在不同学生的多 层次和多角度视角下尽可能充分地发现与总结等差数列和等比数列的性质．课上 教师可根据学生的发现情况进行总结． 学生展示与回答： （1）等差数列的性质： ① a dn a dn = + −1 为一次函数． ② 若 m n p q+ = + ，则 a a a am n p q+ = + ． ③ 若 2m p q= + ，则 2a a am p q= + ． ④ 由间隔相等的项构成的数列还是等差数列． （2）等比数列的性质： ① a qn = ⋅ a q 1 n 为类指数函数． ② 若 m n p q+ = + ，则 a a a am n p q= ． ③ 若 2m p q= + ，则 a a am p q 2 = ． ④ 由间隔相等的项构成的数列还是等比数列． 5. 活动 5 请同学们应用所学知识独立思考和解决下列问题． 例1：（1）若等差数列 {an}的第 3 项和第 7 项分别为 48 和 12，求 {an}的第 5 项； （2）若等比数列 {an}的第 3 项和第 7 项分别为 48 和 12，求 {an}的第 5 项． 比较等差数列和等比数列性质的异同． >> 028 　高中数学单元教学设计　 设计意图：本例是等差中项和等比中项的应用，是为了引导学生注意等比数 列中奇数项与偶数项同号的属性． 学生回答： （1）由性质 2 60a a a5 3 7= + = ，得 a5 = 30 ． （2）由性质 a a a5 3 7 2 = ⋅ = × =48 12 576 ，得 a5 = ± = ±576 24 ． 教师追问：这个结论是否正确？如果 a5 = −24 ，那么 a4 和 a6 分别为多少？你又 能得到什么结论？ 学生发现问题： a a q5 3= ⋅ > 2 0 ，所以等比数列中奇数项与偶数项同号． 6. 活动 6 请同学们应用所学知识独立思考和解决下列问题． 例 2 ：（1）已知等差数列 {an}的公差为 d ，试用 {an}的第 m 项 am 表示 an ； （2）已知等比数列 {an}的公比为 q ，试用 {an}的第 m 项 am 表示 an ． 试分析等差数列和等比数列中任意两项与公差、公比的关系，它们有什么相似 之处？ 设计意图：引导学生认识等差数列和等比数列中任意两项的关系，给出由任 意两项求公差和公比的方法． 学生回答： a a n m dn m= + −( ) ， a a qn m= ⋅ n m− ⇒ = =d q a a a n m a n m n − − ， n m− m ．等比数 列的性质是等差数列的性质的高一阶运算结果． 7. 活动 7 请同学们应用所学知识独立思考和解决下列问题． 例 3 ：已知数列 {an}的首项 a1 = 3 ． （1）若 {an}为等差数列，公差 d = 2 ，证明数列 {3an }为等比数列； 　单元教学设计 2 基于函数思想的数列大单元　 029 << （2）若 {an}为等比数列，公比 q = 1 9 ，证明数列 {log3 an}为等差数列． 已知 b > 0 且 b ≠1 ，如果数列 {an}是等差数列，那么数列 {ban }是否一定是等比 数列？如果数列 {an}是各项均为正数的等比数列，那么数列 {logb na }是否一定是等 差数列？ 设计意图：引导学生认识等差数列和等比数列的关系． 学生展示与讨论． 8. 小结及反思 请你归纳本节课所学的知识和方法，梳理思维导图，提出你的疑惑与不解，在 组内交流或找老师交流．