单元教学设计1 基于单位圆的三角函数大单元-高中数学单元教学设计

001 << 石家庄二中实验学校  梁平 单元教学设计 1    基于单位圆的三角函数大单元 一、单元内容及其解析 （一）单元内容 人教 A 版高中数学必修第一册第五章“三角函数”，从现实世界中的循环往复、 周而复始的现象入手，利用周期运动这一常见的周期变化现象引入单位圆，在单位 圆中展开一系列深入抽象的研究．所以单位圆成了本单元的重要情境，也贯穿了整 个三角函数的研究过程，下面就基于单位圆的大单元主题展开讨论，进行以单位圆 为主线的三角函数大单元教学设计． （二）内容解析 三角函数的本质是刻画周期现象的数学模型，圆周运动是其较简单、较直观的 几何表达，单位圆是圆中最简单的情形，所以单位圆是整个三角函数单元从头到尾 >> 002 　高中数学单元教学设计　 串联知识及思想方法的问题情境．任意角用单位圆上点的圆周运动刻画，任意角的 三角函数是研究单位圆上点的坐标与角的关系的，诱导公式是单位圆对称性的代数 刻画，而正余弦函数图象的绘制也一改之前单纯地用代数来刻画点的坐标的方法， 而引入几何描点法，将点的绘制与单位圆上点的运动建立起深入联系，这个难点只 靠某节课的单纯教学是不能突破的，只有放在大单元的整体情境中才能突破，所以 单元视角不仅仅是单元知识的整合，更是数学素养的单元培养． 由此确定本单元的教学重点：以单位圆为研究线索，理解任意角的弧度制及诱 导公式的推导，能够以单位圆为工具突破正弦函数图象绘制过程中的几何描点法的 难点，能够准确绘制无理数对应点的坐标位置．进一步体会单位圆在三角函数中的 应用，并引导学生对如何利用单位圆解决三角函数问题展开更加深入的研究． 二、单元目标及其解析 （一）单元目标 （1）理解三角函数是刻画周期变化现象的函数，而单位圆上点的圆周运动是刻 画周期变化现象的重要方法． （2）掌握弧度制中单位圆的应用． （3）掌握用单位圆上点的坐标求三角函数的方法，会利用单位圆中的三角函 数线比较三角函数的大小，并能通过三角函数线直观地研究三角函数的增减性和对 称性． （4）会在单位圆中利用几何描点法绘制正弦函数的图象． （二）目标解析 （1）地位分析：单位圆是刻画周期变化现象的直观工具，是学习三角函数的一 条主线，在三角函数的各节内容中都有非常重要的应用，是几何直观的重要体现， 贯穿整个三角函数的教学活动． 　单元教学设计 1 基于单位圆的三角函数大单元　 003 << （2）内容分析：第五章的知识结构框图如图所示． y A sin ωx φ 单位圆在三角函数主线各部分内容中都有体现，具体分析如下： ①在现实世界中普遍存在着周而复始的现象，对这些现象中的变量关系和规律 的抽象形成了本章的研究对象—三角函数，因此对本章的学习可以有力地促进学 生数学抽象素养的发展，而单位圆与三角函数各节之间的关系成了素养的培养载体． 本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，以及函数的一般研究 过程． ②在“5.1 任意角和弧度制”的教学中，教材首先从借助角的大小变化刻画圆周 运动出发，将角扩展到任意角，利用几何直观有利于抽象概念的理解．本节充分利 用单位圆使学生了解任意角和弧度制，结合单位圆和直角坐标系等工具，引导学生 数形结合地认识与刻画周期现象． ③在“5.2 三角函数的概念”教学中，三角函数的定义有两种途径，一种是在 直角三角形中将锐角的三角函数进行推广，而另一种是直接从建立周期变化现象的 数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后建立它与锐角三角函数 的联系．教材采用第二种途径，直接从描述周期变化现象的需求出发，自然地借助 单位圆抽象三角函数的定义，确定三角函数的研究内容，探寻研究方法，特别是可 以借助单位圆，从圆的性质（特别是对称性）得到三角函数研究的启发，引导学生 通过数形结合的方法展开研究，借助单位圆记忆三角函数的性质和众多的三角公式， 从而发展学生数学抽象、直观想象等素养． ④在“5.3 诱导公式”这部分内容中，教材以探究为引导，依据单位圆的对称 性，让学生自主发现单位圆上的点分别关于原点、坐标轴、直线 y=x 对称时，对应 的终边与角 α 的终边的关系，进而利用三角函数的定义，将这种对称关系代数化， 得到诱导公式．这样会使诱导公式（数）与单位圆（形）紧密结合形成一个整体， >> 004 　高中数学单元教学设计　 不仅大大简化了诱导公式的推导过程，缩短了认识理解诱导公式的时间，还有利于 学生对公式的记忆，减轻了学生的记忆负担． ⑤“5.4 三角函数的图象与性质”结合之前研究函数的一般路径，确定了三角函 数的研究过程．本节从正弦函数入手，利用单位圆实现了几何描点法，借助单位圆 得到了正弦曲线，利用函数间的联系得到了余弦函数的图象，最后借助几何直观和 代数运算研究了正弦函数和余弦函数的性质．本节突出了单位圆的作用，充分利用 三角函数周期性和对称性的特点、信息技术画出了足够多的点，得到了正弦函数的 图象，从而使学生对图象有了更直观的认识． 三、课时安排及教学评价 （一）课时安排 1. 任意角和弧度制（2 课时） 第 1 课时：任意角，将 0º ～ 360º 范围的角扩充到任意角，难点是任意角概念 的建构，利用单位圆将角的范围推广到任意角，在直角坐标系中表示角，并研究象 限角的性质—终边相同的角的代数特征，建立“背景—定义—度量—运算—性质” 的研究路径． 第 2 课时：弧度制，弧度与角度的互换，难点是弧度的概念的理解和终边相同 的角的表示；通过类比体会不同单位制度量角的问题．给出用弧长与半径的比值度 量圆心角的弧度制，学会换算，建立角度与实数的一一对应关系． 2. 三角函数的概念（3 课时） 第 1 课时：通过单位圆上的点 P 以 A 为起点逆时针旋转建立一个数学模型，用 点的横、纵坐标定义三角函数，引导学生用定义研究三角函数的定义域、函数值的 符号． 第 2 课时：研究同角三角函数的基本关系（诱导公式一），本节的研究路径为 “明确研究对象—对应关系的特点分析—定义—性质”． 　单元教学设计 1 基于单位圆的三角函数大单元　 005 << 第 3 课时：习题应用，进一步体会同角三角函数的关系的应用． 3. 诱导公式（2 课时） 第 1 课时：利用单位圆中点的对称性探究诱导公式（二、三、四），运用诱导 公式进行简单的三角函数式的化简求值与恒等变形． 第 2 课时：继续学习诱导公式（五、六），进一步体会圆的对称性与三角函数 之间的关系． 4. 三角函数的图象与性质（4 课时） 第 1 课时：利用单位圆得到正弦曲线，利用函数间的联系得到余弦曲线，并学 会五点作图法． 第 2 课时：利用正余弦函数的图象，结合单位圆上点的变化规律得到正余弦函 数的性质，重点是周期性． 第 3 课时：利用性质绘制正切函数的图象，根据诱导公式，先从代数角度获得 正切函数的周期性与奇偶性，将研究范围缩小至     0，π 2  ，再借助单位圆，寻求正切 函数的几何意义即正切线，从而准确把握正切函数图象的形状特征． 第 4 课时：三角函数图象与性质的综合应用，借助单位圆及三角函数图象解决 三角函数图象与性质的综合问题． （二）教学评价 评价目标 评价类型 评价标准 A 评价标准 B 评价标准C 教学难点 任意角与 弧度制 表现型 能够准确地利用单位 圆上点的变化来刻画 角的变化，掌握弧度制 与角度制的转化方法， 将角度拓展到实数范 围内并理解角度与实 数的一一对应关系 能够理解并利用 单位圆上点的变 化来刻画角的变 化，基本掌握弧 度制与角度制的 转化方法，将角 度 与 实 数 建 立 一一对应关系 只能从表面上 理解如何将角 度拓展到实数 范围内，不能 熟练运用公式 实现角度与实 数的转化 理 解 弧 度 制的定义， 熟 练 掌 握 弧 度 制 与 角 度 制 的 转化方法 >> 006 续  表 　高中数学单元教学设计　 评价目标 评价类型 评价标准 A 评价标准 B 评价标准C 教学难点 三角函数 的概念与 诱导公式 表现型 能够深刻体会如何利 用单位圆与角的终边 交点的横、纵坐标来 定义三角函数，能够 利用单位圆的对称性 掌握并熟练应用诱导 公式 能够记忆三角函 数的定义，但不 能理解三角函数 在单位圆中定义 的优势，能够记 忆诱导公式，但 不能灵活运用单 位圆的对称性 不能熟练记忆 三角函数的定 义，不能牢记 诱导公式，做 不到灵活运用 公式解决问题 深 刻 理 解 如 何 利 用 单 位 圆 定 义 三 角 函 数， 如 何 利 用 单 位 圆 的 对 称 性 掌 握 诱 导公式 三角函数 的图象与 性质 综合型 通过之前的学习，能够 自然准确地利用单位 圆绘制正弦函数图象 上的任意一点，能够 利用三角函数的关系 绘制余弦函数的图象， 能够熟练利用单位圆 与三角函数的图象研 究三角函数的性质 通过引导能够理 解利用单位圆绘 制正弦函数图象 上任意一点的方 法，能够用三角 函数的图象研究 三角函数的性质 不能准确掌握 几 何 描 点 法， 不能熟练掌握 并灵活运用三 角函数的性质 理 解 几 何 描 点 法 的 理论依据， 利 用 弧 度 制 实 现 角 度 与 长 度 的转化 四、课时典例分析 第1课时  正弦函数与余弦函数的图象 （一）教学内容 “正弦函数与余弦函数的图象”是人教 A 版高中数学必修第一册第五章第四节 第 1 课时的知识内容，其教学重点是弧度制的概念．本节内容起着承上启下的作用， 在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定了基 础，三角函数的定义为图象的绘制提供了条件，图象又为后期研究函数的性质提供 了方法和依据． 　单元教学设计 1 基于单位圆的三角函数大单元　 007 << （二）教学目标 （1）理解角度作为自变量与实数是一一对应的，找到角度的几何意义，利用定 义画出任意一点 T x x( sin )0 0， ，利用角度的周而复始的性质，在区间 [0 2π， ] 上通过等 分点及信息技术绘制正弦函数的图象；掌握五点作图法的原理；利用正余弦函数的 关系绘制余弦函数的图象，灵活运用五点作图法绘制简图． （2）将本节数学知识作为载体，为渗透类比思想、化归思想、数形结合思想， 以及提高数学推理论证能力、几何直观能力、代数运算能力提供了很好的契机． （3）在探究点的确定与选取过程中，树立善于思考、严谨求实的科学精神；系 统地思考如何将定义在单位圆中的三角函数利用几何直观与代数运算绘制到平面直 角坐标系下，体会几何图形在精确处理无理数时的应用，体会问题处理的必要性、 合理性、优越性；同时，利用五点作图法培养学生简化数学问题的能力，在五点作 图法中学生能体会点的对应在函数以及函数图象上的重要地位，通过正余弦函数的 内在联系绘制余弦函数的图象体现了化归的数学思想，培养了学生自主学习的习惯， 增强了同学间相互交流，使他们能够取长补短，形成良好的课堂学习氛围，实现主 动、全面、健康的发展． （三）教学重点、难点 学生经历了函数研究的一般过程，又具备了弧度制、三角函数的定义，以及诱 导公式等知识基础，在研究函数时迫切需要将图象作为研究依据．学生经过高中以 来的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的 内容都在学生的最近发展区内． 取点、描点绘制图象教学是重点也是难点，力求引导到位，让学生自然生成研 究思路与处理手段．通过小组讨论、操作解决困难并实现绘制，学生体会到函数之 间的内在联系，实现了知识的化归与迁移． 教学重点：正余弦函数的图象． 教学难点：利用单位圆绘制正弦函数图象上任意一点． 本节课采用问题驱动式教学模式，将学生探究与教师讲授相结合，并用多媒体 辅助教学，围绕如图所示的问题链展开． >> 008 　高中数学单元教学设计　 引发学生在问题的发现与解决中进行思维活动，使学生在思考、讨论、交流中 经历每个问题的产生和解决过程． （四）教学过程设计 1. 活动 1：概念的引入 观察现实世界中的周而复始现象，比如沙漏在重力的作用下在铅锤面内做周期 摆动，此时如果匀速地拉动纸板，纸板上就会留下一条连续光滑的曲线，这条曲线 从侧面反映了沙漏的摆动特征．三角函数是描述周期变化现象的一类特殊的函数模 型，那么它与这条连续光滑的曲线是否存在某种内在联系呢？带着这个问题，我们 开始继续研究三角函数． 设计意图：让学生体会三角函数在现实生活中的实例特征，初步感知图象变 化，自然引出函数图象的研究． 2. 活动 2：概念的形成 （1）类比指对幂函数的研究经验．我们在定义给出之后，可以画出函数图象， 通过观察图象的特征，可以获得函数性质的一些结论．在三角函数中，我们发现单 位圆上任意一点旋转一周后又回到原来的位置，利用这一特征可以简化三角函数图 　单元教学设计 1 基于单位圆的三角函数大单元　 009 << 象与性质的研究过程． （2）正弦函数与余弦函数的图象．利用类比函数的研究思路，自然引出这节课 的重点内容，熟悉函数研究的一般路径．在研究之初就强调三角函数周而复始的特 征，为所有三角函数的研究提供简化的依据． 问题导入： 问题 1 ：首先来看正弦函数，我们用角的终边与单位圆交点的纵坐标来定义正 弦函数．通过观察我们发现单位圆上任意一点旋转一周后又回到原来的位置，这一 现象可以用诱导公式一 sin( 2π) sinα α+ = 来表示，这说明自变量每增加或减少 2π后 三角函数的函数值重复出现，这一特征对绘制正弦函数在整个定义域 R 上的图象有 什么帮助呢？ 生：不必画出整个定义域上的图象，只需要画出 [0 2π]， 上的图象即可． 问题 2 ：那请同学们试着画出 y x= sin ，x∈[0 2π]， 的图象，体会它与以往函数图 象的绘制有何不同？ 生：选取特殊点，但是在绘制时会出现无理数，不容易绘制准确位置． 设计意图：引起研究冲突，由于正弦函数图象上点的坐标基本是无理数，在 绘制过程中大都是近似值，加之作图的误差，很难精确作出正弦函数的图象，认 识新函数y x= sin 图象的真实面貌，代数无法解决准确绘制的问题，只能从几何 入手． 问题 3 ：如何在直角坐标系内，精确画出正弦函数图象上任意一点？先从一个 具体点开始研究．以点       π π 3 3 ，sin 为例，对于横坐标，代数无法解决准确绘制的问 题，需要从哪个方向入手解决？ 生：利用几何回归定义，利用单位圆解决． 设计意图：培养学生遇到问题首先回归定义寻找突破口的意识，然后观察 自变量及函数值的几何意义，借助单位圆，确定正弦函数图象上任意一点的几何 转化． >> 010 　高中数学单元教学设计　 问题 4 ： π 3 在单位圆中是一个角度，在直角坐标系下是一个长度，如何将角度 转化为长度？ 生：利用弧度制进行转化． 问题 5 ：有了具体一点的绘制，如何绘制任意一点 T x x( sin )0 0， ，我们在 x 轴上 任取一点 x0 ，如何找到它的纵坐标 sin x0 的准确位置？ 生：实际动手操作． 设计意图：观察自变量及函数值的几何意义，借助单位圆，确定正弦函数图 象上任意一点T x x（ ， ）0 0sin ，学生的难点在于理解在直角坐标系下x0是一个点的 横坐标，但在单位圆中它是一个弧度制的角，这两者无法建立联系，我们可以从 各自的几何意义入手寻找解决途径．给一些工具，让学生充分发挥自己的主观能 动性，体会单位圆中正弦函数的定义，体会正弦函数图象上任意一点的绘制方法 和数形结合思想的重要应用，更加深入地理解点与三角函数的定义的内在联系和 转化． 3. 活动 3：概念的深化 问题 6 ：我们已经学会了绘制正弦函数图象上的某一个点，你能制订一个方案， 画出 y x= sin 在 [0 2π]， 上的图象吗？ 生 1 ：找一些特殊点，利用上面的方法逐一描点，然后连线． 生 2 ：我把单位圆进行了等分，将横坐标轴上的线段进行了对应等分，再平移 纵坐标轴描点． 生 3 ：我找了     0，π 2 上的一些特殊点，画出      0，π 2 上的图象，然后利用单位圆的 对称性得到了各个区间上的图象． 设计意图：让学生充分体验取点作图的过程，从中感受正弦函数在单位圆中 的对称性，简化作图过程． 师：可以用信息技术，在 [0 2π]， 上取足够多的点，并将这些点用光滑的曲线连 　单元教学设计 1 基于单位圆的三角函数大单元　 011 << 接起来，得到比较精确的函数 y x= sin 在 [0 2π]， 上的图象． 设计意图：信息技术可以实现点动成线的直观效果，使学生进一步理解任意 一点与整体图象之间的关系，理解图象形成的内在原理． 问题 7 ：根据正弦函数在 [0 2π]， 上的图象，你能得到正弦函数在整个定义域上 的图象吗？你的依据是什么？ 设计意图：从[0 2π]， 到实数集的延伸，是从有限到无限的推广过程，引导学 生进行逻辑推理与直观想象． 师：图象完全一致，所以我们就可以不断将函数图象向左向右无限延伸． 这就是正弦函数的图象，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条波浪起伏的连 续光滑曲线． 问题 8 ：对于函数的研究，快速又准确地作出其简图，往往起到重要的作用， 你能抓住哪些关键点确定正弦函数在 [0 2π]， 上的简图？ 设计意图：在精度要求不高的前提下，关键点的选取和对应是关键．我们选 取最大值点、最小值点、图象与x轴的交点，有了这些点就可以得到图象的大致 形状了． 问题 9 ：由正弦函数的图象，你能得到余弦函数的图象吗？ 设计意图：正弦函数在单位圆中的定义是纵坐标，余弦函数是横坐标．当纵 坐标变成横坐标时，图象就不那么容易绘制了，引导学生通过正弦函数和余弦函 数的内在联系，实现化归与转化． 师：当然有些同学想到再用定义去绘制余弦函数的图象非常好，但是绘制的难 度会增大，所以在解决一个新的问题时我们不仅需要回归定义，更要利用已有的知 识解决新的问题，这种化归思想在数学问题的解决中起到了非常重要的作用． 问题 10 ：你能用点的坐标，解释这种平移变换吗？ >> 012 　高中数学单元教学设计　 设计意图：从代数形式上用点的坐标变换解释图象变换，学生发现图象平移 的本质是点的平移． 问题 11 ：类似于五点作图法作正弦函数的图象，如何作出余弦函数的简图，选 取哪个区间比较合理，取哪些关键点呢？ 设计意图：通过类比学生掌握了余弦函数图象的特征，并再次体会了五点作 图法作图． 4. 活动 4：概念的巩固与应用 例 1 ：画出下列函数的简图． （1） y x= +sin 1 ；（2） y x= −cos ． 设计意图：利用已有知识研究新函数图象的绘制，可以巩固五点作图法和图 象变换． 5．小结及反思 本教学设计按照教材的研究思路进行，体现了本单元的整体架构，并且通过层 层递进的问题串，引导学生在获得三角函数图象与性质的同时，积累了活动经验， 感悟到其中所蕴含的数形结合、化归等数学思想，发展了直观想象、逻辑推理、数 学运算等核心素养．本教学设计还充分发挥了单位圆的作用，突出了三角函数的本 质特点．正弦函数的定义是借助单位圆给出的，因此单位圆自然就要在作图中发挥 载体的作用，在利用单位圆和几何描点法的过程中，学生不但可以发现单位圆定义 法的好处，感悟定义与图象之间的内在联系，还能发现只要会画图象上的任意一点 就掌握了所有点的作图原理，这为今后正切函数的研究提供了思路． 在教学过程中由于时间关系，将研究的重点放到了手工绘制的环节上，在信息 技术的应用上就显得比较仓促，下节课可以将信息技术与教学相融合，借助信息技 术实现动态的转化、平移、描点和连线，为学生提供观察、分析、归纳的机会，这 有利于培养学生直观想象的能力，更有利于矫正学生不严谨的思维，帮助学生从数 与形的角度理解结论．后期的学习还可以更加注重利用单位圆研究函数的性质，引 　单元教学设计 1 基于单位圆的三角函数大单元　 013 << 导学生从不同的角度研究和理解三角函数的图象与性质． 6. 作业 作业 1 ：想一想函数 y x= sin 与 y x= sin 的图象及其关系． 作业 2 ：根据正弦曲线，求满足 sin x x≥ ∈ 2 3 ， [0 2π， ]的 x 的取值范围． 作业 3 ：教材第 200 页练习第 4 题． 作业 4 ：教材第 213 页习题 5．4 第 1 题． 作业 5 ：整理正余弦函数图象的绘制过程，熟练掌握五点作图法，理解五点作 图法中点的对应关系． 7. 板书设计 5.4.1 正弦函数与余弦函数的图象 1．研究函数的一般过程 2．正弦函数图象上任意一点 T x x( sin )0 0， 的准确绘制 例 1 ： 3．正弦函数的图象 图示： 4 五点作图法 5．余弦函数的图象 图示：