精品解析：2023-2024学年北师大版九年级上册开学考试数学模拟练习一

2023-2024学年九年级上册开学考试数学模拟练习一（适用北师大版） （时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：八下内容与九上第一章特殊平行四边形 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 把分解因式（　　） A. B. C. D. 4. 当时，对于分式说法正确的是（ ） A. 分式的值为 B. 分式的值为 C. 分式无意义 D. 分式有意义 5. 如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，连接，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 40 7. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 8. 如图，在中，，点，于点，于点，，则（　　） A. B. C. D. 9. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 10. 如图，四边形是菱形，，，于点H．点E是上一点，且，点F是的中点．点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分．） 11. 多项式6a2b-3ab2的公因式是___ 12. 已知，则分式的值为______． 13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是________． 14. 平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD的周长是 _____． 15. 如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，若，则的长为______________． 16. 如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接．若．则______________． 17. 某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产x套，列方程式是______________． 18. 如图，在矩形中，，E，F是对角线上两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）s．若G，H分别是的中点，且，当以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形时，的值为______． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分．） 19 分解因式： （1）4a2－16； （2）2mx2－ 4mxy＋2my2． 20. 解方程： （1）； （2） 21. 如图，是菱形对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点F，使（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 23. 如图，在四边形中，，M、N、P分别是，，中点，，，求的度数． 24. 某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球用于日常训练．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用750元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍． （1）问篮球和足球的单价各是多少元？ （2）根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共80个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过5000元，那么社团最多可以购买篮球多少个？ 25. 在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：． （2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？ （3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）． 26. 如图，正方形的边都在坐标轴上，点B的坐标为，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段BC于点P，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，直线上是否存在点M，使以点A，G，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年九年级上册开学考试数学模拟练习一（适用北师大版） （时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：八下内容与九上第一章特殊平行四边形 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案． 【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心． 2. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，不等式的性质是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：、，，本选项错误，不符合题意； 、，，本选项错误，不符合题意； 、，，本选项错误，不符合题意； 、，，，本选项正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意不等式的性质是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 把分解因式（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，特别注意因式分解必须彻底． 4. 当时，对于分式的说法正确的是（ ） A. 分式的值为 B. 分式的值为 C. 分式无意义 D. 分式有意义 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，当时，分式的分母，根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：由题意，当时，分式的分母， 分式无意义， 故选：． 【点睛】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键． 5. 如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转性质得旋转角为可求解． 【详解】解：∵绕点A按逆时针方向旋转后与重合， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查旋转性质，得到是旋转角是解答的关键． 6. 如图，菱形的对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长． 【详解】解：由菱形对角线性质得：，，且， ∴， 故菱形的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键，难度一般． 7. 下列说法正确的是 （　　） A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可． 【详解】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确； 对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确； 对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确； 对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确； 故选D． 【点睛】考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键． 8. 如图，在中，，点，于点，于点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得，从而得到，根据面积公式，, 变形计算即可． 【详解】解：∵于点D， ∴根据等腰三角形三线合一的性质，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的面积公式，同一个三角形的面积的不同表示法，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键． 9. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简分式方程得，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，，代入即可算出的值，当等式不成立时，使分母为0，则． 【详解】解：， 化简得：， 当分式方程有增根时， 代入得， 当分母为0时，， 的值为-1或1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解． 10. 如图，四边形是菱形，，，于点H．点E是上一点，且，点F是的中点．点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，在上取，由菱形可推知,,，进一步由菱形面积求得，，中，,，所以，故最小值为． 【详解】如图，在上取， ∵四边形菱形，为轴对称图形 ∴,, ， ∴ ∴ ∵ ∴，解得 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ 中，, ∴ 最小值为． 故选：A 【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分．） 11. 多项式6a2b-3ab2的公因式是___ 【答案】3ab. 【解析】 【详解】单项式6a2b与3ab2中，系数的最大公约数是3，含有的相同字母为a，b，其中字母a，b的最低次数都是1，所以它们的公因式是3ab．故本题填3ab. 考点：公因式． 12. 已知，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 分析】先求出，再把代入即可求出． 【详解】∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值，能求出是关键． 13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质得，，根据图形可得． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，， ， ． 故答案为：． 14. 平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD的周长是 _____． 【答案】14或16 【解析】 【详解】由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况（1）当AE=2时，求出AB的长；（2）当AE=3时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∵∠ABC的平分线将AD边分成的两部分的长分别为2和3两部分， 当AE=2时，则平行四边形ABCD的周长是14； （2）当AE=3时，则平行四边形ABCD的周长是16； 故答案为14 或16．  “点睛”此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行.注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现，解题时还要注意分类讨论思想的应用. 15. 如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，若，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线定理，熟知三角形中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．由三线合一定理得到点E是的中点，进而证明是的中位线，则． 【详解】解：∵，， ∴点E是的中点， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接．若．则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等边对等角，平行线的性质，其中两条辅助线的建立是解题的关键．连接，作与交于，得到，从而得到，再通过平行线的性质得到，得到答案． 【详解】解：连接，作与交于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 17. 某厂接受为四川灾区生产活动板房的任务，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，问原计划每天生产多少套板房？设原计划每天生产x套，列方程式是______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设原计划每天生产x套，计划在30天内完成，若每天多生产6套，则25天完成且还多生产10套，据此列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x套， 根据题意可得， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为t（）s．若G，H分别是的中点，且，当以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图所示，连接，当E，G，F，H为顶点的四边形为矩形时，则四边形的对角线相等，结合分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中，，G，H分别是的中点， ∴，， ∵E，F是上的动点，速度均为，运动时间为秒， ∴， 当E，G，F，H为顶点的四边形为矩形时，则， ∴①，解得，； ②，解得，； 综上所述，当为或时，E，G，F，H为顶点的四边形为矩形， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分．） 19. 分解因式： （1）4a2－16； （2）2mx2－ 4mxy＋2my2． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式4，再利用平方差公式进行因式分解即可得； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】（1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【小问1详解】 解：， 两边都乘以，得 ， 解得 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解； 【小问2详解】 解：原方程即为：， 两边都乘以，得， 解得 检验：当时，， ∴是原方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方程需要检验． 21. 如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点F，使（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）45° 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线与的交点即为； （2）利用菱形的性质可得，结合垂直平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点F即为所求． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图以及性质、菱形的性质等．了解点在的垂直平分线上是解题关键． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论； （2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形ACED是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，，M、N、P分别是，，的中点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出，分别是与的中位线，再根据中位线的性质，得出，，，，再根据等量代换，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出答案． 【详解】解：∵在四边形中，M、N、P分别是、、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的性质、等边对等角、平行线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 24. 某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球用于日常训练．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用750元购买足球的数量是用600元购买篮球数量的2倍． （1）问篮球和足球的单价各是多少元？ （2）根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共80个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过5000元，那么社团最多可以购买篮球多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是80元，足球的单价是50元 （2）33个 【解析】 分析】（1）根据题意列分式方程即可； （2）根据题意列一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：篮球的单价是80元，足球的单价是50元． 【小问2详解】 解：设社团购买篮球m个，则购买足球个， 依题意，得， 解得， ∴m的最大正整数是33． 答：社团最多可以购买篮球33个． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确理解题意是关键． 25. 在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：． （2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？ （3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）． 【答案】）（1）见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得； （2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）； （3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）． 【详解】证明：（1）∵，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）． 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3） 理由：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DF=AE，∠EDC=∠ABC， 又∵∠AB=AC， ∴∠ABC=∠C ∴∠EDC=∠C， ∴DE=EC， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 26. 如图，正方形的边都在坐标轴上，点B的坐标为，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段BC于点P，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，直线上是否存在点M，使以点A，G，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）存在两个M点，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据正方形和旋转的性质得，则是直角三角形，是直角三角形，利用即可证明； （2）根据得，根据四边形正方形得，则是直角三角形，根据将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形得，则，可得是直角三角形，利用可证明，则，根据得，即可得； （3）根据题意得，根据得，根据，，得，根据得，则，在中，，设，则，根据勾股定理得，计算得，则，，可得，在中，，，根据勾股定理进行计算即可得； （4）分情况讨论，①延长交y轴于点，根据，得，利用可证明，可得，则为等腰三角形，根据得，则点的坐标为，②延长与的延长线交于点，作于点F，根据得为等边三角形，则垂直平分，根据得，则点的坐标为，综上，即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴直角三角形， ∵将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形， ∴， ∴是直角三角形， 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴是直角三角形， ∵将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形的边都在坐标轴上，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得，， ， ， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问4详解】 存在两个M点， 解：如图所示， ①延长交y轴于点， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ②延长与的延长线交于点，作于点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$