第六章 6.3.3　余角和补角 同步练 2024-2025学年 人教版数学七年级上册

6.3.3　余角和补角 知识点1　余角和补角 1若∠A=40°,则∠A的余角是( ) A.50° B.60° C.140° D.160° 2(2022·连云港中考)已知∠A的补角为60°,则∠A= °.  3如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角?哪些角互为补角? 知识点2　互余与互补的性质 4若∠α=∠β且∠α+∠1=180°,∠β+∠2=180°,则∠1与 ∠2的大小关系是 ,理由是 .  5已知∠α=59°20',若∠α与∠β互余,且∠β与∠γ互余,则∠γ的度数为 .  知识点3　与方向角有关的计算 6(2024·榆林质检)如图,射线OB表示的方向是北偏东76°,射线OC表示的方向是北偏西46°,射线OA在射线OB和射线OC之间,且∠AOB=32°.求∠AOC的度数. 练易错　因角的位置不明确而出错 7已知:如图,OC是∠AOB的平分线. (1)当∠AOB=60°时,求∠AOC的度数; (2)在(1)的条件下,∠EOC=90°,请在图中补全图形,并求∠AOE的度数; (3)当∠AOB=α时,∠EOC=90°,直接写出∠AOE的度数.(用含α的式子表示) 8 (2023·北京中考)如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为( ) A.36° B.44° C.54° D.63° 9一个锐角的补角比它的余角大( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 10如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是( ) 11已知∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则有下列式子:①90°-∠β;②∠α-90°; ③(∠α+∠β);④(∠α-∠β);⑤(∠α-90°),其中表示∠β的余角的式子有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12(2024·武汉期末)如图,货轮在O处观测到岛屿B在北偏东75°方向,岛屿C在南偏西20°方向,则∠BOC的大小是 .  13[教材再开发·P188T13变式]如图,将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,EF,EG为折痕,点A落在A',点B落在B',点A',B',E在同一直线上,则∠FEA'与∠GEA'的关系是 .  14(2024·六安期末)如图,点O是直线AB上的一点,OC是任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC. (1)图中∠BOC的补角为 .  (2)若∠BOC=60°,求∠AOE的度数. (3)∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系? 15新趋势·运算能力、几何直观 已知∠AOB=90°,射线OC在∠AOB内部,作 ∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE. (1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数; (2)在图①中,当射线OC在∠AOB内绕点O旋转,∠DOE的大小是否发生变化?若不变化,求∠DOE的度数;若变化,说明理由; (3)当射线OC绕点O旋转到∠AOB外部,且OB,OC都在直线OA的右侧时,请在图②中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE,并猜想∠DOE的大小是否发生变化.如果不变,直接写出∠DOE的度数.如果变化,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.3　余角和补角 知识点1　余角和补角 1若∠A=40°,则∠A的余角是(A) A.50° B.60° C.140° D.160° 2(2022·连云港中考)已知∠A的补角为60°,则∠A=　120　°.  3如图,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角?哪些角互为补角? 【解析】因为点A,O,B在同一条直线上, 所以∠AOD与∠BOD,∠AOC与∠BOC,∠AOE与∠BOE分别互为补角. 因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠COD=∠AOD=∠AOC,∠COE=∠BOE=∠BOC. 所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°. 所以∠AOD与∠COE互为余角,∠AOD与∠BOE互为余角,∠COD与∠COE互为余角,∠COD与∠BOE互为余角; ∠COD与∠BOD互为补角,∠AOE与∠COE互为补角. 综上:∠AOD与∠BOD,∠AOC与∠BOC,∠AOE与∠BOE,∠COD与∠BOD, ∠AOE与∠COE分别互为补角; ∠AOD与∠COE,∠AOD与∠BOE,∠COD与∠COE,∠COD与∠BOE分别互为余角. 知识点2　互余与互补的性质 4若∠α=∠β且∠α+∠1=180°,∠β+∠2=180°,则∠1与 ∠2的大小关系是　∠1=∠2　,理由是　等角的补角相等　.  5已知∠α=59°20',若∠α与∠β互余,且∠β与∠γ互余,则∠γ的度数为　59°20'　.  知识点3　与方向角有关的计算 6(2024·榆林质检)如图,射线OB表示的方向是北偏东76°,射线OC表示的方向是北偏西46°,射线OA在射线OB和射线OC之间,且∠AOB=32°.求∠AOC的度数. 【解析】如图,由题意可得:∠BON=76°,∠CON=46°, 所以∠BOC=∠BON+∠CON=122°, 因为∠AOB=32°, 所以∠AOC=∠BOC-∠AOB=90°. 练易错　因角的位置不明确而出错 7已知:如图,OC是∠AOB的平分线. (1)当∠AOB=60°时,求∠AOC的度数; 【解析】(1)因为OC是∠AOB的平分线, 所以∠AOC=∠AOB. 因为∠AOB=60°, 所以∠AOC=30°. (2)在(1)的条件下,∠EOC=90°,请在图中补全图形,并求∠AOE的度数; 【解析】(2)因为∠EOC=90°, 如图1, ∠AOE=∠COE+∠COA=90°+30°=120°. 如图2, ∠AOE=∠COE-∠COA=90°-30°=60°. (3)当∠AOB=α时,∠EOC=90°,直接写出∠AOE的度数.(用含α的式子表示) 【解析】(3)∠AOE=90°+α或∠AOE=90°-α. 8 (2023·北京中考)如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为(C) A.36° B.44° C.54° D.63° 9一个锐角的补角比它的余角大(C) A.45° B.60° C.90° D.120° 10如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是(A) 11已知∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则有下列式子:①90°-∠β;②∠α-90°; ③(∠α+∠β);④(∠α-∠β);⑤(∠α-90°),其中表示∠β的余角的式子有(B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12(2024·武汉期末)如图,货轮在O处观测到岛屿B在北偏东75°方向,岛屿C在南偏西20°方向,则∠BOC的大小是　125°　.  13[教材再开发·P188T13变式]如图,将长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,EF,EG为折痕,点A落在A',点B落在B',点A',B',E在同一直线上,则∠FEA'与∠GEA'的关系是　互余　.  14(2024·六安期末)如图,点O是直线AB上的一点,OC是任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC. (1)图中∠BOC的补角为∠AOC.  【解析】(1)∠BOC的补角为∠AOC; (2)若∠BOC=60°,求∠AOE的度数. 【解析】(2)因为∠BOC=60°,所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-60°=120°, 因为OE平分∠AOC, 所以∠AOE=∠AOC=×120°=60°; (3)∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系? 【解析】(3)因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC, 所以∠COD=∠BOC,∠EOC=∠AOC, 所以∠COD+∠EOC=(∠BOC+∠AOC)=×180°=90°, 所以∠COD与∠EOC互余. 15新趋势·运算能力、几何直观 已知∠AOB=90°,射线OC在∠AOB内部,作 ∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE. (1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数; 【解析】(1)因为OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COE=∠COB=35°,∠COD=∠AOC=×(90°-70°)=10°, 所以∠DOE=∠COE+∠COD=45°; (2)在图①中,当射线OC在∠AOB内绕点O旋转,∠DOE的大小是否发生变化?若不变化,求∠DOE的度数;若变化,说明理由; 【解析】(2)∠DOE的大小不变,为45°, 理由:因为OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠DOE=∠COE+∠DOC=∠COB+∠AOC=(∠COB+∠AOC) =∠AOB=45°; (3)当射线OC绕点O旋转到∠AOB外部,且OB,OC都在直线OA的右侧时,请在图②中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE,并猜想∠DOE的大小是否发生变化.如果不变,直接写出∠DOE的度数.如果变化,请说明理由. 【解析】(3)∠DOE的大小不变,为45°, 理由:如图②,因为OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠DOE=∠DOC-∠COE=∠AOC-∠COB=(∠AOC-∠COB) =∠AOB=45°. 故∠DOE的大小不变,为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$