第六章 6.2.2　线段的比较与运算 同步练 2024-2025学年 人教版数学七年级上册

6.2.2　线段的比较与运算 第1课时　比较线段的长短 知识点1　线段的长短比较 1如图,用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短,结论正确的是( ) A.A'B'>AB B.A'B'=AB C.A'B'<AB D.没有刻度尺,无法确定 2(2024·萍乡期末)点A,B,C在直线l上的位置如图所示,下列结论中,不正确的是( ) A.AB>AC B.AB>BC C.AC>BC D.AC+BC=AB 知识点2　尺规作图 3[教材再开发·P165例1拓展]已知线段a,b如图所示,根据下列要求,依次画图或计算. (1)根据下列步骤画图,并用含有a,b的式子表示线段OA. ①作出射线OP; ②在射线OP上依次截取OB=BC=CD=a; ③在线段DO上截取DA=b. (2)若a=2,b=3,M是线段OA的中点,求线段OM的长. 知识点3　线段的中点及和、差、倍、分 4如果点B在线段AC上,那么下列式子中: ①AB=AC,②AB=BC,③AC=2AB,④AB+BC=AC,能表示B是AC中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5(2024·吉安期末)如图,下列关系式中与图不符合的式子是( ) A.AD-CD=AB+BC B.AC-BC=AD-BD C.AC-BC=AC+BD D.AD-AC=BD-BC 6(2024·镇江期末)已知线段AB长为10 cm,点E是AB中点,则AE= cm.  7(2024·晋中期末)如图,点C是线段AB的三等分点,且AC>CB,点M是AB的中点,若线段AB=9 cm,则线段MC= cm.  8如图,C是线段AB上一点,Q是AC的中点,P是BC的中点. (1)若AQ=1,BC=4,求QP的长度. (2)若AB=6,求QP的长度. 练易错　因点的位置不确定出现漏解 9已知线段AB=10 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,AC的长为 .  10已知线段AB,CD,AB<CD,如果移动AB,使点A与点C重合,AB与CD叠合,这时点B的位置必定是( ) A.点B在线段CD上(C,D之间) B.点B与点D重合 C.点B在线段CD的延长线上 D.点B在线段DC的延长线上 11如图,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,则下列式子不正确的是( ) A.CD=AC-DB　 B.CD=AD-BC C.CD=AB-BD　 D.CD=AB 12(2024·重庆质检)已知点A,B,C位于直线l上,其中线段AB=4,且2BC=3AB,若点M是线段AC的中点,则线段BM的长为( ) A.1　　B.3　　C.5或1　　D.1或4 13(2024·秦皇岛期末)如图,已知线段AB=16 cm,点M在AB上,AM∶BM=1∶3,P,Q分别为AM,AB的中点,则PQ的长为 .  14已知线段AB,延长AB至点C,使BC=AB.若点D为线段AC的中点,点E为线段AB的中点,且DE=1 cm,则线段AB= cm.  15(2024·威海期末)如图,已知线段AB,a,b. (1)请用尺规按下列要求作图:(不要求写作法,但要保留作图痕迹) ①延长线段AB到C,使BC=a; ②反向延长线段AB到D,使AD=b. (2)在(1)的条件下,如果AB=8 cm,a=6 cm,b=10 cm,且点E为CD的中点,求线段AE的长度. 16新趋势·运算能力、模型观念 如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M,N分别是AC,BC的中点. (1)求线段MN的长; (2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?并说明理由; (3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.2　线段的比较与运算 第1课时　比较线段的长短 知识点1　线段的长短比较 1如图,用圆规比较两条线段AB和A'B'的长短,结论正确的是(C) A.A'B'>AB B.A'B'=AB C.A'B'<AB D.没有刻度尺,无法确定 2(2024·萍乡期末)点A,B,C在直线l上的位置如图所示,下列结论中,不正确的是(C) A.AB>AC B.AB>BC C.AC>BC D.AC+BC=AB 知识点2　尺规作图 3[教材再开发·P165例1拓展]已知线段a,b如图所示,根据下列要求,依次画图或计算. (1)根据下列步骤画图,并用含有a,b的式子表示线段OA. ①作出射线OP; ②在射线OP上依次截取OB=BC=CD=a; ③在线段DO上截取DA=b. 【解析】(1)如图,OA即为所求; OA=a+a+a-b=3a-b. (2)若a=2,b=3,M是线段OA的中点,求线段OM的长. 【解析】(2)由(1)可知OA=3a-b, 因为a=2,b=3, 所以OA=3, 因为M为OA的中点, 所以OM=OA=1.5. 知识点3　线段的中点及和、差、倍、分 4如果点B在线段AC上,那么下列式子中: ①AB=AC,②AB=BC,③AC=2AB,④AB+BC=AC,能表示B是AC中点的有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5(2024·吉安期末)如图,下列关系式中与图不符合的式子是(C) A.AD-CD=AB+BC B.AC-BC=AD-BD C.AC-BC=AC+BD D.AD-AC=BD-BC 6(2024·镇江期末)已知线段AB长为10 cm,点E是AB中点,则AE=　5　cm.  7(2024·晋中期末)如图,点C是线段AB的三等分点,且AC>CB,点M是AB的中点,若线段AB=9 cm,则线段MC=　1.5　 cm.  8如图,C是线段AB上一点,Q是AC的中点,P是BC的中点. (1)若AQ=1,BC=4,求QP的长度. 【解析】(1)因为P是BC的中点,Q是AC的中点,AQ=1,BC=4,所以CP=2,AQ=CQ=1, 所以QP=QC+CP=3. (2)若AB=6,求QP的长度. 【解析】(2)因为Q是AC的中点,P是BC的中点,AB=6,所以PQ=QC+CP=AB=3. 练易错　因点的位置不确定出现漏解 9已知线段AB=10 cm,直线AB上有一点C,且BC=6 cm,AC的长为　4 cm或 16 cm　.  10已知线段AB,CD,AB<CD,如果移动AB,使点A与点C重合,AB与CD叠合,这时点B的位置必定是(A) A.点B在线段CD上(C,D之间) B.点B与点D重合 C.点B在线段CD的延长线上 D.点B在线段DC的延长线上 11如图,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,则下列式子不正确的是(D) A.CD=AC-DB　 B.CD=AD-BC C.CD=AB-BD　 D.CD=AB 12(2024·重庆质检)已知点A,B,C位于直线l上,其中线段AB=4,且2BC=3AB,若点M是线段AC的中点,则线段BM的长为(C) A.1　　B.3　　C.5或1　　D.1或4 13(2024·秦皇岛期末)如图,已知线段AB=16 cm,点M在AB上,AM∶BM=1∶3,P,Q分别为AM,AB的中点,则PQ的长为　6 cm　.  14已知线段AB,延长AB至点C,使BC=AB.若点D为线段AC的中点,点E为线段AB的中点,且DE=1 cm,则线段AB=　6　cm.  15(2024·威海期末)如图,已知线段AB,a,b. (1)请用尺规按下列要求作图:(不要求写作法,但要保留作图痕迹) ①延长线段AB到C,使BC=a; ②反向延长线段AB到D,使AD=b. 【解析】(1)①如图所示,线段BC即为所求, ②如图所示,线段AD即为所求; (2)在(1)的条件下,如果AB=8 cm,a=6 cm,b=10 cm,且点E为CD的中点,求线段AE的长度. 【解析】(2)因为AB=8 cm,a=6 cm,b=10 cm, 所以CD=8+6+10=24(cm), 因为点E为CD的中点, 所以DE=DC=12 cm, 所以AE=DE-AD=12-10=2(cm). 16新趋势·运算能力、模型观念 如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M,N分别是AC,BC的中点. (1)求线段MN的长; 【解析】(1)因为点M,N分别是AC,BC的中点,AC=8 cm,CB=6 cm, 所以CM=AC=4 cm,CN=BC=3 cm, 所以MN=CM+CN=4+3=7(cm), 即线段MN的长是7 cm; (2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?并说明理由; 【解析】(2)MN=a,理由: 因为点M,N分别是AC,BC的中点,AC+CB=a cm, 所以CM=AC,CN=BC, 所以MN=CM+CN=AC+BC=(AC+BC)=a cm, 即线段MN的长是a cm; (3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?并说明理由. 【解析】(3)如图: MN=b, 理由:因为点M,N分别是AC,BC的中点,AC-CB=b cm, 所以CM=AC,CN=BC, 所以MN=CM-CN=AC-BC=(AC-BC)=b cm,即线段MN的长是b cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　线段的基本事实及两点间的距离 知识点1　线段的基本事实 1如图所示,由A到B的四条路线中,最短的路线是( ) A.① B.② C.③ D.④ 2西成高铁是中国首条穿越秦岭的高速铁路,大大减少了人们从西安到四川成都的时间,实现了人们“早上游大雁塔,晚上逛宽窄巷”的美好愿望.建造直隧道的目的可以用数学知识解释为 .  3(2024·邯郸期末)如图所示,工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O,并且要求O到A与O到B的距离之和最短,请你在m上确定仓库应修建的O点位置,同时说明你选择该点的理由. 知识点2　两点间的距离 4下列四种说法中,正确的是( ) A.两点间的距离是连接两点的线段的长度 B.连接两点的线段,叫作两点间的距离 C.连接两点的直线,叫作两点间的距离 D.两点间的连线的长度,叫作两点间的距离 5如图,线段AB=8,延长AB到C,若AB=2BC,则A,C两点之间的距离为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 6如图,直线上顺次三个点A,B,C,已知AB=14 cm,BC=6 cm,D是AC的中点,M是AB的中点,则MD之间的距离为 cm.  7(2024·金华期末)已知P为线段AB的中点,Q为线段AB上一点,AQ与QB的长度之比为2∶3,若PQ=1 cm,分别求AB,AQ的长. 8(2024·盐城期末)有下列生活、生产现象: ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上. ②从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设. ③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线. ④把弯曲的公路改直,就能缩短路程. 其中能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 9(2024·天津期末)如果A,B,C三点在同一条直线上,且AB+BC=AC,AB=BC,BC= 4 cm,若M,N分别为AB,BC的中点,那么M,N两点之间的距离为( ) A.5 cm B.1 cm C.5 cm或1 cm D.无法确定 10已知线段AB,在AB的延长线上取一点C,使BC=2AB,再在BA的延长线上取一点D,使DA=AB,则线段AC与线段AD的数量关系是( ) A.AC=AD B.AC=2AD C.AD=AC D.AC=3AD 11 (2024·潍坊期中)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分(如图),发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是 .  12(2024·青岛期末)如图,有两根木条,一根木条AB长为80 cm,另一根木条CD长为130 cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M,N(圆孔直径忽略不计,M,N视为两个点),将这两根木条的一端重合,放置在同一条直线上,此时这两根木条的小圆孔之间的距离MN是 cm.  13在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学住在A,B,C三个住宅区,如图所示(A,B,C在同一条直线上),且AB=60米,BC=100米,他们打算合租一辆接送车去上学,由于车位紧张,准备在周围只设一个停靠点,为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小,你认为停靠点应该设在哪里?并说明理由. 14(2024·邵阳期末)已知线段AC和线段BC在同一直线上,若AC=12 cm,BC=8 cm,线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,试求M,N两点之间的距离. 15新趋势·推理能力、应用意识 在数轴上,表示数m与n的点之间的距离可以表示为|m-n|.例如:在数轴上,表示数-3与2的点之间的距离是5=|-3-2|,表示数-4与-1的点之间的距离是3=|-4-(-1)|.利用上述结论解决如下问题: (1)若|x-5|=3,求x的值; (2)点A,B为数轴上的两个动点,点A表示的数是a,点B表示的数是b,且|a-b|=6(b>a),点C表示的数为-2,若A,B,C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点,求a,b的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　线段的基本事实及两点间的距离 知识点1　线段的基本事实 1如图所示,由A到B的四条路线中,最短的路线是(C) A.① B.② C.③ D.④ 2西成高铁是中国首条穿越秦岭的高速铁路,大大减少了人们从西安到四川成都的时间,实现了人们“早上游大雁塔,晚上逛宽窄巷”的美好愿望.建造直隧道的目的可以用数学知识解释为　两点之间,线段最短　.  3(2024·邯郸期末)如图所示,工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O,并且要求O到A与O到B的距离之和最短,请你在m上确定仓库应修建的O点位置,同时说明你选择该点的理由. 【解析】如图,连接AB交直线m于点O, 则O点即为所求的点. 理由如下:根据连接两点的所有线中,线段最短,所以OA+OB最短. 知识点2　两点间的距离 4下列四种说法中,正确的是(A) A.两点间的距离是连接两点的线段的长度 B.连接两点的线段,叫作两点间的距离 C.连接两点的直线,叫作两点间的距离 D.两点间的连线的长度,叫作两点间的距离 5如图,线段AB=8,延长AB到C,若AB=2BC,则A,C两点之间的距离为(D) A.4 B.6 C.8 D.12 6如图,直线上顺次三个点A,B,C,已知AB=14 cm,BC=6 cm,D是AC的中点,M是AB的中点,则MD之间的距离为　3　cm.  7(2024·金华期末)已知P为线段AB的中点,Q为线段AB上一点,AQ与QB的长度之比为2∶3,若PQ=1 cm,分别求AB,AQ的长. 【解析】因为P为线段AB的中点, 所以AP=PB=AB, 因为AQ与QB的长度之比为2∶3, 所以AQ=AB,BQ=AB, 所以PQ=AP-AQ=AB-AB=AB, 因为PQ=1 cm, 所以AB=10 cm,AQ=×10=4(cm). 8(2024·盐城期末)有下列生活、生产现象: ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上. ②从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设. ③植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线. ④把弯曲的公路改直,就能缩短路程. 其中能用“两点之间,线段最短”来解释的现象有(C) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 9(2024·天津期末)如果A,B,C三点在同一条直线上,且AB+BC=AC,AB=BC,BC= 4 cm,若M,N分别为AB,BC的中点,那么M,N两点之间的距离为(A) A.5 cm B.1 cm C.5 cm或1 cm D.无法确定 10已知线段AB,在AB的延长线上取一点C,使BC=2AB,再在BA的延长线上取一点D,使DA=AB,则线段AC与线段AD的数量关系是(D) A.AC=AD B.AC=2AD C.AD=AC D.AC=3AD 11 (2024·潍坊期中)某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分(如图),发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是　两点之间,线段最短　.  12(2024·青岛期末)如图,有两根木条,一根木条AB长为80 cm,另一根木条CD长为130 cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M,N(圆孔直径忽略不计,M,N视为两个点),将这两根木条的一端重合,放置在同一条直线上,此时这两根木条的小圆孔之间的距离MN是　25或105　cm.  13在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学住在A,B,C三个住宅区,如图所示(A,B,C在同一条直线上),且AB=60米,BC=100米,他们打算合租一辆接送车去上学,由于车位紧张,准备在周围只设一个停靠点,为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小,你认为停靠点应该设在哪里?并说明理由. 【解析】停靠点设在B点时,三位同学步行到停靠点的路程之和最小, 是60+100=160(米), 理由如下:小明、小红步行的距离之和为A,C两点间的距离,不变, 所以小伟步行的距离是0米时,三位同学步行到停靠点的路程之和最小. 14(2024·邵阳期末)已知线段AC和线段BC在同一直线上,若AC=12 cm,BC=8 cm,线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,试求M,N两点之间的距离. 【解析】设线段AC的中点为M,线段BC的中点为N, (1)当B点在C点左侧时, 因为点M是AC的中点,点N是BC的中点, 所以AM=MC=6 cm,BN=CN=4 cm, 所以MN=MC-NC=6-4=2(cm); (2)当B点在C点右侧时, 因为点M是AC的中点,点N是BC的中点, 所以AM=MC=6 cm,BN=CN=4 cm, 所以MN=MC+CN=6+4=10(cm); 综上,M,N两点之间的距离为2 cm或10 cm. 15新趋势·推理能力、应用意识 在数轴上,表示数m与n的点之间的距离可以表示为|m-n|.例如:在数轴上,表示数-3与2的点之间的距离是5=|-3-2|,表示数-4与-1的点之间的距离是3=|-4-(-1)|.利用上述结论解决如下问题: (1)若|x-5|=3,求x的值; 【解析】(1)因为|x-5|=3,所以在数轴上,表示数x的点与数5的点之间的距离为3,x-5=3或x-5=-3. 解得x=8或x=2. (2)点A,B为数轴上的两个动点,点A表示的数是a,点B表示的数是b,且|a-b|=6(b>a),点C表示的数为-2,若A,B,C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点,求a,b的值. 【解析】(2)因为|a-b|=6(b>a), 所以在数轴上,点B与点A之间的距离为6,且点B在点A的右侧. ①当点C为线段AB的中点时, 如图1所示,AC=BC=AB=3. 因为点C表示的数为-2, 所以a=-2-3=-5,b=-2+3=1. ②当点A为线段BC的中点时, 如图2所示,AC=AB=6. 因为点C表示的数为-2, 所以a=-2+6=4,b=a+6=10. ③当点B为线段AC的中点时, 如图3所示,BC=AB=6. 因为点C表示的数为-2, 所以b=-2-6=-8,a=b-6=-14. 综上,a=-5,b=1或a=4,b=10或a=-14,b=-8. 学科网（北京）股份有限公司 $$