2．1 直线的倾斜角与斜率（七大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 【题型归纳】 2 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 2 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 2 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 3 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 3 题型五：直线平行 3 题型六：直线垂直 4 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 4 【重难点集训】 5 【高考真题】 8 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 1．（2024·高二·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·山东日照·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·湖北·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 5．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 9．（2024·高二·全国·课前预习）直线l上两点，则直线l的斜率为 . 10．（2024·高二·上海·单元测试）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 11．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则 12．（2024·高二·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 13．（多选题）（2024·高二·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 15．（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 16．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 题型五：直线平行 17．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线，若，则 ． 18．（2024·高二·浙江丽水·期末）已知直线和，若，则 . 19．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 20．（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 题型六：直线垂直 21．（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 22．（2024·高二·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 23．（2024·高二·浙江·期中）已知直线：，：，若，则实数 ． 24．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 . 25．（2024·高二·重庆沙坪坝·期末）若直线与直线垂直，则 . 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 26．（2024·高二·全国·课后作业）直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 27．（2024·高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 28．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 29．（2024·高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【重难点集训】 1．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 3．（2024·高二·湖北·阶段练习）直线：与直线：平行，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要 4．（2024·高二·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·高一·全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 7．（2024·高二·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·山东日照·阶段练习）直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高二·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10．（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则（    ） A．的最小值是1 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是4 11．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 12．（2024·高二·全国·期中）直线，，若，则 . 13．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 14．（2024·高二·贵州·开学考试）一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为 . 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值． 16．（2024·高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 17．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 18．（2024·高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 19．（2024·高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【高考真题】 1．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 2．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））“”是“直线与直线垂直”的 A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024年上海市1月春考数学试题）直线的倾斜角 . 5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若直线与直线平行，则 ． 6．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））若三点，，，（）共线，则的值等于 . 7．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（上海））已知与，若两直线平行，则的值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 【题型归纳】 2 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 2 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 3 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 4 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 5 题型五：直线平行 8 题型六：直线垂直 9 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 11 【重难点集训】 13 【高考真题】 22 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 1．（2024·高二·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 2．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 . 故选：B. 3．（2024·高二·山东日照·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，直线l的斜率为， 设直线l的倾斜角为，则， 解得，即直线l的倾斜角为. 故选：A 4．（2024·高二·湖北·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：C. 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 5．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 6．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 7．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 8．（2024·高二·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】作出正切函数在的图象如下图， 如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 9．（2024·高二·全国·课前预习）直线l上两点，则直线l的斜率为 . 【答案】1 【解析】由题意得直线l的斜率为. 故答案为：1. 10．（2024·高二·上海·单元测试）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 11．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则 【答案】/ 【解析】倾斜角为，斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 12．（2024·高二·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【解析】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 13．（多选题）（2024·高二·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设，由题得,所以直线的倾斜角为. 由题得,所以直线的倾斜角为. 由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角. 故选：BC 14．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 15．（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 16．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【解析】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 题型五：直线平行 17．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线，若，则 ． 【答案】0 【解析】①当时，②当时，若，可得与重合，不合题意．故． 故答案为：. 18．（2024·高二·浙江丽水·期末）已知直线和，若，则 . 【答案】2 【解析】直线的斜率为，， 所以直线的斜率，即， 经检验，满足题意. 故答案为：2. 19．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 20．（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 题型六：直线垂直 21．（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 22．（2024·高二·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 23．（2024·高二·浙江·期中）已知直线：，：，若，则实数 ． 【答案】－3或0 【解析】当时，直线：，：，此时显然，符合题意； 当时，整理可得直线：，：， 由，则，解得. 故答案为：－3或0 24．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题得. 所以. 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 25．（2024·高二·重庆沙坪坝·期末）若直线与直线垂直，则 . 【答案】/0.5 【解析】直线：的斜率为，直线：与直线：垂直时， ，解之得， 故答案为：. 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 26．（2024·高二·全国·课后作业）直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 【答案】 【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 故答案为：4＋ 27．（2024·高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【解析】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 28．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解析】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 29．（2024·高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【解析】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 【重难点集训】 1．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 2．（2024·高二·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【解析】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 3．（2024·高二·湖北·阶段练习）直线：与直线：平行，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】当时，有，故或， 当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合； 当时，的方程为，的方程为，符合； 综上，“”是“”的充要条件， 故选：B. 4．（2024·高二·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 故， 则， 故选：D. 5．（2024·高二·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为直线，， 所以当时，，即，即或， 所以“”能推出“”，“”不能推出“”， 所以“”是“”充分不必要条件， 故选：A. 6．（2024·高一·全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【解析】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率， ， ∴， 把代入得， 原式. 故选：C． 7．（2024·高二·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，画出图像，如图所示： 根据图像知：. 故选：D. 8．（2024·高二·山东日照·阶段练习）直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，直线与以点、为端点的线段恒相交时，直线从到， 直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为， 直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为， 综上，的斜率取值范围为， 故选：D 9．（多选题）（2024·高二·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】CD 【解析】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 10．（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则（    ） A．的最小值是1 B．的最小值是 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】BC 【解析】由直线，，且，得，即，又， 对于A，，即，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，， 当且仅当时取等号，因此的最小值是，B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D错误. 故选：BC 11．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【解析】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 12．（2024·高二·全国·期中）直线，，若，则 . 【答案】2 【解析】因为直线，，， 所以且两直线不重合， 解得或， 当时两直线重合，舍去，所以． 故答案为：2． 13．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【解析】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 14．（2024·高二·贵州·开学考试）一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为 . 【答案】 【解析】 由斜率公式，射线的斜率为， 射线的斜率为， 如上图，由题意，一束光射向轴，经轴反射，与线段 始终相交，则射线即与关于对称，射线即 与关于对称， ∴，， ∴这束光所在直线的斜率取值范围为. 故答案为：. 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值． 【解析】方法一 ： 当时，：，：，不平行于； 当时，：，：，不平行于； 当且时，两直线可化为：，：， 则当时，有， 解得， 综上可知，当时，． 方法二：对于两直线， 当它们平行时，有  ， 所以对于直线：和直线：， 当时，则， 则， 可得，故当时，． 16．（2024·高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 17．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 【解析】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或. 18．（2024·高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率， 因为两条直线相交，则，即，故可以取外的所有整数． （2）位于直线上的点，其坐标代入后，其值必为0． 位于直线同侧的点，其坐标代入后，其值必同号． 而位于直线两侧的点，其坐标代入后，其值必异号． 直线与线段相交，则点和或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上． 于是将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0， 即，解得．因此符合条件的整数可以是或1． （3）由问题（2）的分析知，当位于直线的两侧，将点的坐标分别代入后，其值必异号， 则乘积必小于0，即，解得，因此符合条件的正整数不存在． 19．（2024·高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【高考真题】 1．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可得，， 故选：C 2．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】当时，直线和直线平行且不重合，故充分； 当直线和直线平行且不重合时， 则，解得或-2，故不必要； 故选：A 3．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））“”是“直线与直线垂直”的 A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为直线与直线垂直， 则，即，解得或； 因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选B 4．（2024年上海市1月春考数学试题）直线的倾斜角 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 易知直线的斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若直线与直线平行，则 ． 【答案】 【解析】直线的斜率为3 直线的斜率即 故答案为：. 6．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））若三点，，，（）共线，则的值等于 . 【答案】/0.5 【解析】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知. 由得：，即，又， ∴. 故答案为： 7．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（上海））已知与，若两直线平行，则的值为 【答案】 【解析】两直线平行则斜率相等，所以，解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$