2．1 直线的倾斜角与斜率（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 4 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 5 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 6 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 7 题型五：直线平行 8 题型六：直线垂直 8 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 9 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·河北保定·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1-1】（2024·高二·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【变式1-2】（2024·高二·广西·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高三·湖南长沙·开学考试）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·河北张家口·开学考试）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【典例3-2】（2024·高二·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式3-1】（2024·高二·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【变式3-2】（2024·高二·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【变式3-3】（2024·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【变式3-4】（2024·高二·新疆和田·期中）已知点，点，且过、两点直线斜率，则 . 【变式3-5】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则 ． 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【典例4-2】（2024·高二·江西上饶·开学考试）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式4-1】（2024·高一·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式4-2】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：直线平行 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【典例5-2】（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ． 【方法技巧与总结】 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【变式5-1】（2024·高二·广西桂林·开学考试）直线：，：，若，则 . 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线与直线平行，则的值为 ． 【变式5-3】（2024·高二·湖南岳阳·期末）已知直线，若，则 . 题型六：直线垂直 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 . 【方法技巧与总结】 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式6-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【变式6-3】（2024·高二·福建福州·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 【变式6-4】（2024·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线：上有一点Q，，若，则点Q的坐标为 ． 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例7-1】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【方法技巧与总结】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 【变式7-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．1 直线的倾斜角与斜率 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 4 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 6 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 9 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 11 题型五：直线平行 14 题型六：直线垂直 15 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 17 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 知识点四：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则． 知识点五：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 知识点诠释： 1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·河北保定·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 【答案】A 【解析】对于A，两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行，A正确； 对于B，当时，直线不存在斜率，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：A 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1-1】（2024·高二·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 【变式1-2】（2024·高二·广西·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选:A 【变式1-3】（2024·高三·湖南长沙·开学考试）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 【变式1-4】（2024·高二·河北张家口·开学考试）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为． 故选：B． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 【典例2-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 【变式2-2】（2024·高二·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 【变式2-3】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【变式2-4】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【答案】3 【解析】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 【典例3-2】（2024·高二·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 故答案为: 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式3-1】（2024·高二·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 【变式3-3】（2024·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【解析】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 【变式3-4】（2024·高二·新疆和田·期中）已知点，点，且过、两点直线斜率，则 . 【答案】 【解析】已知点，点，由斜率公式可得，解得. 故答案为：. 【变式3-5】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知直线l经过两点，，若直线l的方向向量的坐标为．则 ． 【答案】/ 【解析】设直线的斜率为， 因为直线的方向向量坐标是，所以， 因为直线经过和， 所以，解得. 故答案为：. 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 【典例4-2】（2024·高二·江西上饶·开学考试）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，而， 故直线的取值范围为， 故选：A. 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式4-1】（2024·高一·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 【变式4-2】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示． 当直线l与线段相交时，或， 所以斜率k的取值范围是或斜率不存在， 结合选项，选项A、B符合题意． 故选：AB． 【变式4-3】（多选题）（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或. 故选：AB 题型五：直线平行 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【解析】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 【典例5-2】（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ． 【答案】4 【解析】由题意知，当时，直线与直线平行，故满足题意. 故答案为：4. 【方法技巧与总结】 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【变式5-1】（2024·高二·广西桂林·开学考试）直线：，：，若，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以，解得， 当时，，满足， 当时，，，与重合， . 故答案为：2. 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线与直线平行，则的值为 ． 【答案】6 【解析】因为两直线平行， 所以，解得， 此时，经检验符合题意． 故答案为：6 【变式5-3】（2024·高二·湖南岳阳·期末）已知直线，若，则 . 【答案】 【解析】由题设，可得或2， 当，满足题设； 当，两线重合，不满足题设； 所以. 故答案为： 题型六：直线垂直 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【解析】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 . 【答案】0或5 【解析】当直线斜率不存在，直线斜率为0时，满足，此时，解得； 当直线斜率存在时，因为，所以，解得； 综上，或. 故答案为：0或5 【方法技巧与总结】 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式6-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·福建福州·期中）已知直线，，若，则实数的值为 . 【答案】1或-2 【解析】因为直线，，， 所以，即， 解得或， 所以实数的值为或. 故答案为：1或-2. 【变式6-4】（2024·河南·模拟预测）已知O为坐标原点，直线：上有一点Q，，若，则点Q的坐标为 ． 【答案】或 【解析】设，则， 即，解得或， 故或． 故答案为：或. 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例7-1】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【答案】且 【解析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当时，直线与直线平行； 当时，直线与轴平行； 当时，直线，及轴都过原点； 要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且 故答案为：且 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【解析】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【方法技巧与总结】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 【变式7-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】设点．若，则，解得， 点． 若，则，解得，点 【变式7-2】（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2.1 直线的倾斜角与斜率 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点1：直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， 与直线l_____ 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 . x轴正向 向上 0°≤α<180° 知识梳理 知识点1：直线的倾斜角和斜率 2.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .(α≠90°) (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ . 正切值 tan α 知识梳理 知识点3：两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则． 反之，若，则． 知识梳理 知识点4：两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为． 若，则． 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·河北保定·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）下列命题正确的是（　　） A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．若分别为三条直线的倾斜角，则的度数可以大于60° D．若是直线l的倾斜角，且，则 【答案】A 【解析】对于A，两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行，A正确； 对于B，当时，直线不存在斜率，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由，得，D错误． 故选：A 【方法技巧与总结】 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·广西·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为． 故选：A 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则故选：C． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的图象如图所示， 由图可知，当时， 倾斜角的取值范围为．故选：C．  【方法技巧与总结】 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以． 故选：A 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且， 所以． 故选：C． 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 ． 【答案】3 【解析】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得． 故答案为：3． 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】． 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 【方法技巧与总结】 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得． 故答案为： 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是，， 故答案为：， 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·江西上饶·开学考试）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，而， 故直线的取值范围为，故选：A． 【方法技巧与总结】 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是． 故选：D 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 典型例题 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【解析】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 题型五：直线平行 典型例题 【典例5-2】（2024·高三·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 ． 【答案】4 【解析】由题意知，当时，直线与直线平行，故满足题意． 故答案为：4．   【方法技巧与总结】 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 题型五：直线平行 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·广西桂林·开学考试）直线：，：，若，则 ． 【答案】2 【解析】因为，所以，解得， 当时，，满足， 当时，，，与重合， ． 故答案为：2． 题型五：直线平行 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线与直线平行，则的值为 ． 【答案】6 【解析】因为两直线平行， 所以，解得， 此时，经检验符合题意． 故答案为：6 题型五：直线平行 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【解析】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 题型六：直线垂直 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）直线过点，两点，直线过点，两点，若，则 ． 【答案】0或5 【解析】当直线斜率不存在，直线斜率为0时，满足，此时，解得； 当直线斜率存在时，因为，所以，解得； 综上，或． 故答案为：0或5 【方法技巧与总结】 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 题型六：直线垂直 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为： 题型六：直线垂直 典型例题 【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为． 故答案为：． 题型六：直线垂直 典型例题 【典例7-1】（2024·高一·江苏泰州·阶段练习）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 ． 【答案】且 【解析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当时，直线与直线平行； 当时，直线与轴平行； 当时，直线，及轴都过原点； 要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且 故答案为：且 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： ．    【解析】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以．  【方法技巧与总结】 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 典型例题 【变式7-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】设点．若，则，解得， 点． 若，则，解得，点 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））“”是 “直线与直线垂直”的（ ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024年上海市1月春考数学试题）直线的倾斜角 ． 4．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若直线与 直线平行，则 ． A B 45°   $$