精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期中达标测试卷

第二学期期中学情评估 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 对于任意实数x，多项式值是（ ） A. 负数 B. 非正数 C. 正数 D. 无法确定正负的数 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的最小整数值为（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. －2 5. 、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形 C. 以c为斜边的直角三角形 D. 以c为底边的等腰三角形 7. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A B. C. ，， D. ， 9. 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 5 C. 16 D. 12 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 7 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如果最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则______. 12. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____． 13. 一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少长_____米． 14. 已知：直角三角形两边长分别是6和8，那么这个直角三角形的另一条边的长是_____． 三、解答题（共70分） 15. 计算题：（1） （2） 16. 选择合适的方法解方程： （1） （2） 17. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积． 18. 若规定两数a，b通过运算得，即※．例如2※． （1）求※的值； （2）求x※※※中x的值． 19. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是___________； A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 （2）已知，求的值； （3）解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令） 20. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 21. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）若有两个相等的正实数根，请你判断这个方程是否为“凤凰”方程？ （2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数，求整数m的值． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二学期期中学情评估 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：要使有意义，则被开方数要为非负数， 即， ∴， 故选：B． 2. 如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为15和6， ∴两个小正方形的边长为，， ∵大正方形的边长为：+， ∴阴影部分的面积＝（+）2﹣6﹣15 ＝15+2××+6﹣6﹣15 ＝6（cm2）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键． 3. 对于任意实数x，多项式的值是（ ） A. 负数 B. 非正数 C. 正数 D. 无法确定正负的数 【答案】C 【解析】 【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况． 【详解】解：∵， ∴多项式的值是正数， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法应用和非负数的性质．熟练掌握配方法是解决此类问题的关键． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的最小整数值为（ ） A. 1 B. 0 C. －1 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式用含有m的式子将表示出来，再根据有实数根，则可知，列出不等式即可解决问题． 【详解】解：， ， 有实数根， ， ， 最小整数值0． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解决本题的关键是熟记根的情况与判别式的关系． 5. 、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数轴确定出a,b的正负，进而确定出的正负，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】由数轴可知 ∴ ∴原式= 故选：B． 【点睛】本题主要结合数轴考查绝对值性质及二次根式的性质，掌握绝对值的性质及二次根式的性质是解题的关键． 6. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则是（ ） A. 以a为斜边的直角三角形 B. 以b为斜边的直角三角形 C. 以c为斜边的直角三角形 D. 以c为底边的等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数的性质列方程，求出a、b、c的值，然后利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：由题意得，a−12=0，b−13=0，c−5=0， 解得a=12，b=13，c=5， ∵， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，还考查了勾股定理逆定理．关键是由非负数的性质，求出三角形三边之长． 7. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意； B、，故和是同类二次根式，符合题意； C、，故和不是同类二次根式，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 8. 满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理即可判断A、B、D；根据勾股定理的逆定理即可判断C． 【详解】解：A、设，∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，符合题意； B、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴∴是直角三角形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180度，三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键． 9. 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形的边长为4，正方形的边长为3，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 5 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质证，推出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵根据正方形的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， 则正方形B的面积为25． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出的长． 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，则，整体代入计算即可； 【详解】∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 则的值是； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 如果最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义可得到3a-8=7，然后解方程即． 【详解】有题意得 3a-8=7， ∴a=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 12. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】k＞-2且k≠0##k≠0且k＞-2 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．注意：二次项系数不等于零． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=（-4）2-4×（-2）k＞0， 解得k＞-2， ∵k≠0， ∴k的取值范围k＞-2且k≠0， 故答案是：k＞-2且k≠0． 【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 13. 一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少长_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 根据长方形的性质可得木条的长度等于长方形的长和宽的平方和的算术平方根． 【详解】解：木条的长为（米）． 故答案：． 14. 已知：直角三角形的两边长分别是6和8，那么这个直角三角形的另一条边的长是_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 分两种情况：当6和8都是直角边时；当8是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 【详解】当6和8都是直角边时，第三边长为：； 当8是斜边长时，第三边长为：； 故答案是：10或． 三、解答题（共70分） 15. 计算题：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算即减法运算求解即可； （2）直接利用平方差公式、完全平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法及减法、平方差公式、完全平方差公式的运用，解题的关键是掌握相关的运算法则． 16. 选择合适的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 ，， ∴ ∴ 解得，． 17. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积． 【答案】；10 【解析】 【分析】根据直角坐标系的特点及勾股定理即可求出各边的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，即可求出周长与面积． 【详解】解：∵A（0，2），B（4，0），C（6，4）， ∴AB＝，BC＝，AC＝， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++2＝4+； ∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°， ∴△ABC的面积＝． 【点睛】此题主要考查直角坐标系的应用，解题的关键是熟知勾股定理和逆定理进行求解． 18. 若规定两数a，b通过运算得，即※．例如2※． （1）求※的值； （2）求x※※※中x的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，结合二次根式性质计算即可； （2）根据新定义，得出关于的一元二次方程，利用因式分解法求出或． 【小问1详解】 解：※， ※； 【小问2详解】 解：※， x※※※， ， ∴， 或． 【点睛】本题考查新定义题型，根据题中新定义，结合所学知识转化，熟练掌握二次根式性质和一元二次方程求解方法是解决问题的关键． 19. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）对偶式与之间的关系是___________； A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 （2）已知，求的值； （3）解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令） 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简x，y，求出的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）令，则两边同乘以，得，求出t，根据①，②，解得，即可求出x值，检验即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B； 【小问2详解】 由题意得，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 令，则两边同乘以，得 ， 解得， ∵①，②， ∴①+②，得， 两边同时平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键． 20. 某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． （1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ （2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 【答案】（1）当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元 （2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元 【解析】 【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可； （2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可． 【小问1详解】 解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得， ， 即 解得：， 答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元 【小问2详解】 解：， 即 ∵，原方程无解， ∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”． 21. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． （1）若有两个相等的正实数根，请你判断这个方程是否为“凤凰”方程？ （2）已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数，求整数m的值． 【答案】（1）这个方程是“凤凰”方程； （2）整数m的值为0或2或4或6． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式和求根公式可得，a，b异号，则，，进而根据“凤凰”方程的定义进行判断； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【小问1详解】 解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵这两个相等的实数根为正数， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，即， ∴这个方程是“凤凰”方程； 【小问2详解】 解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴整数m的值为0或2或4或6． 【点睛】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可画出三边长分别为的三角形即可； （2）根据题意及勾股定理即可画出边长为、、的直角三角形； （3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形． 【小问1详解】 如图1，三角形为所求； 【小问2详解】 如图2，三角形为所求； 【小问3详解】 如图3，正方形为所求． 【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$