22.1.3二次函数y＝a（x﹣h）2的图像和性质　　同步练习　2024—2025学年人教版数学九年级上册

2. 二次函数的图象和性质 训练目标： 1．会画二次函数的图象； 2.知道二次函数与的联系． 3.掌握二次函数的性质，并会应用； 1、 基础巩固（一层） 1. 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ； 在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。 可以看作由向 平移 个单位形成的。 2. 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。 可以看作由向 平移 个单位形成的。 3. 抛物线特点： 当时，开口向 ；当时，开口 ； 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。 4. 抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。 5．抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时， 随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。 6. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。 7. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______； 8. 抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 9. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 10．将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 11．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________． 12. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式。 2、 能力提升（二层） 1．在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x＝2的是（　　） A．y＝2（x﹣2）2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝﹣2x2﹣4 D．y＝2x2﹣4 2．抛物线y（x﹣5）2不经过的象限是（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第三、第四象限 3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 5．已知抛物线y（x﹣1）2的图象上有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　． 6．已知抛物线y＝3（x+3）2与y＝3（x﹣3）2，下列说法正确的是 　 　． ①形状相同，开口方向相反； ②对称轴关于y轴对称； ③顶点关于y轴对称； ④图象关于y轴对称． 7．已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2（填“＜”、“＞”或“＝”） 8．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式． 3、 拓展延伸（三层） 9．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，点B的坐标； （2）过点B平行x轴的直线交抛物线于点C，求四边形OACB的面积； （3）是否存在点P，使以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 1．在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x＝2的是（　　） A．y＝2（x﹣2）2 B．y＝2（x+2）2 C．y＝﹣2x2﹣4 D．y＝2x2﹣4 解：A、y＝2（x﹣2）2的对称轴为x＝2，所以选项A正确； B、y＝2（x+2）2的对称轴为x＝﹣2，所以选项B错误； C、y＝﹣2x2﹣4的对称轴为x＝0，所以选项C错误； D、y＝2x2﹣4对称轴为x＝0，所以选项D错误； 故选：A． 2．抛物线y（x﹣5）2不经过的象限是（　　） A．第一、第二象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第三、第四象限 解：∵y（x﹣5）2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（5，0）， ∴抛物线不经过第三，四象限， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选：D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误； B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确； C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误； D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 5．已知抛物线y（x﹣1）2的图象上有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 　y1＜y2＜y3　． 解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x增大而减小， ∵x1＞x2＞x3＞1， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 6．已知抛物线y＝3（x+3）2与y＝3（x﹣3）2，下列说法正确的是 　②③④　． ①形状相同，开口方向相反； ②对称轴关于y轴对称； ③顶点关于y轴对称； ④图象关于y轴对称． 解：由题意，∵抛物线为y＝3（x+3）2与y＝3（x﹣3）2， ∴形状相同，开口方向相同均向上；y＝3（x+3）2的对称轴是直线x＝﹣3，y＝3（x﹣3）2的对称轴是直线x＝3，对称轴关于y轴对称；y＝3（x+3）2与的顶点为（﹣3，0），y＝3（x﹣3）2，的顶点为（3，0）关于y轴对称． ∴①错误；②③正确． ∵将﹣x代入y＝3（x+3）2得，y＝3（﹣x+3）2＝3（x﹣3）2，故抛物线y＝3（x+3）2与y＝3（x﹣3）2，关于y轴对称， ∴④正确． 综上，正确的有：②③④． 故答案为：②③④． 7．已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2（填“＜”、“＞”或“＝”） 解：∵函数y＝﹣（x﹣1）2， ∴函数的对称轴是直线x＝1，开口向下， ∵函数图象上两点A（2，y1），B（a，y2），a＞2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 8．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式． 解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）． 把P（2，2）代入，得2＝4a， 解得a． 故原抛物线解析式是：yx2． 设平移后的抛物线解析式为：y（x﹣b）2． 把P（2，2）代入，得2（2﹣b）2． 解得b＝0（舍去）或b＝4． 所以平移后抛物线的解析式是：y（x﹣4）2． 9．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． （1）求a的值； （2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由． 解：（1）平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2， 令y＝x2﹣2ax+a2中x＝0，则y＝a2， ∴B（0，a2）． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去）． 故a的值为1． （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示． ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． ∵AD为抛物线的对称轴， ∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形． ∵点B（0，1），抛物线对称轴为x＝1， ∴点C的坐标为（2，1）． S△ABCAB•AC1． 故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S△ABC＝1． 10．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，点B的坐标； （2）过点B平行x轴的直线交抛物线于点C，求四边形OACB的面积； （3）是否存在点P，使以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A， ∴令x＝0， ∴y＝4， ∴B（0，4） ∵二次函数y＝（x+2）2的图象与y轴交于点B， 令y＝0， ∴（x+2）2＝0， ∴x＝﹣2， ∴A（﹣2，0） （2）∵过点B平行x轴的直线交抛物线于点C， ∴4＝（x+2）2 ∴x1＝0，x2＝﹣4， ∴C（﹣4，4）， ∴BC＝4，OB＝4，OA＝2， ∴S四边形OACB（OA+BC）×OB 6×4 ＝12； （3）①BC为边时，有BC＝AP＝4，且点P必在x轴上，设P（m，0）， ∴AP＝|m+2|， ∴|m+2|＝4， ∴m1＝2，m2＝﹣6， ∴P1（2，0），P2（﹣6，0）， ②BC为对角线时，对角线PA和BC互相平分，设P（x，y） 根据中点坐标公式得，﹣2+x＝﹣2×2，0+y＝4×2， ∴x＝﹣2，y＝8， ∴P3（﹣2，8）． 即：满足条件的P点有三个，P1（2，0），P2（﹣6，0），P3（﹣2，8）． 学科网（北京）股份有限公司 $$