12.3　乘法公式 课件 2024—2025学年华东师大版数学八年级上册

第12章　整式的乘除 12.3　乘法公式 第1课时　两数和乘以这两数的差 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）（ x ＋1）（ x －1）＝ ⁠； （2）（ m ＋2）（ m －2）＝ ⁠； （3）（2 x ＋1）（2 x －1）＝ ⁠. 1. 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于 .即 （ a ＋ b ）（ a － b ）＝ ⁠. x2－1　 m2－4　 4 x2－1　 这两数的平方差　 a2－ b2　 知识导航 思考：根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说 明平方差公式吗？ （1）左图中阴影部分的面积为 ⁠； a2－ b2　 知识导航 （2）将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形 的长是 ，宽是 ，面积是 ⁠ ⁠. 温馨提示：（1）公式的特征：左边是两个二项式相 乘，且这两个二项式的一项完全相同，另一项互为相 反数；右边是完全相同项的平方减去互为相反数项的 平方； （2）公式中的 a 、 b 可以是字母，也可以是数字，还可 以是代数式. a ＋ b 　 a － b 　 （ a ＋ b ）（ a － b ）　 知识导航 2. 平方差公式常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如（ a ＋ b ）（－ b ＋ a ）利用加法交 换律可以转化为公式的标准型； （2）系数变化：如（3 x ＋5 y ）（3 x －5 y ）； （3）指数变化：如（ m3＋ n2）（ m3－ n2）； （4）符号变化：如（－ a － b ）（ a － b ）； （5）项数变化：如（ m ＋ n ＋ p ）（ m － n ＋ p ）； （6）连用变化：如（ a － b ）（ a ＋ b ）（ a2＋ b2）（ a4 ＋ b4）. 知识导航 题型一　直接运用平方差公式进行计算　 计算： （1）（3 a ＋2 b ）（3 a －2 b ）； 解：原式＝（3 a ）2－（2 b ）2 ＝9 a2－4 b2. （2）（－2 xy ＋3）（2 xy ＋3）； 解：原式＝32－（2 xy ）2 ＝9－4 x2 y2. 典例导思 （3） ； 解：原式＝ ＝（－2 x ）2－ ＝4 x2－ . 典例导思 （4） . 解：原式＝ ＝ ＝ － ＝ x4－ . 典例导思 1. 下列各式中：①（ a － b ）（ b ＋ a ）；②（ a － b ） （－ a － b ）；③（－ a － b ）（ a ＋ b ）；④（ a － b ） （－ a ＋ b ），能应用平方差公式计算的有（　B　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 典例导思 2. 计算： （1）（2 x ＋3）（2 x －3）＝ ⁠； （2）（－1＋4 b ）（－1－4 b ）＝ ⁠； （3）（－3 a － b ）（3 a － b ）＝ 　 b2－9 a2　； （4）（ x ＋ a ）（ x － a ）（ x2＋ a2）＝ ⁠. 4 x2－9　 1－16 b2　 b2－9 a2　 x4－ a4　 典例导思 题型二　利用平方差公式进行简便计算　 用简便方法计算： （1）199 ×200 ； 解：（1）原式＝（200－ ）（200＋ ） ＝2002－ ＝40 000－ ＝39 999 . 典例导思 （2）99×101×10 001. 解： （2）原式＝（100－1）（100＋1）（10 000＋1） ＝（10 000－1）（10 000＋1） ＝99 999 999. 典例导思 [分析] （1）由199 ＝200－ ，200 ＝200＋ ，可以把 这两数的积变成两数和与两数差的积的形式，然后利用 平方差公式计算；（2）由99＝100－1，101＝100＋1， 10 001＝10 000＋1，可以变成两数和与两数差的积的形 式，再连续用两次平方差公式计算. 典例导思 [思维点拨] 当两个数字因数的平均数是整十、整百时， 可将这两个因数的平均数作为 a ，与 a 之差作为 b ，则数 式变形为（ a ＋ b ）（ a － b ）的形式，再用平方差公式 简化运算. 典例导思 3. （2023·辽宁）如图1，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后排成如图2所示的长方形，通过计算图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　A　） A. a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ） B. a （ a － b ）＝ a2－ ab C. （ a － b ）2＝ a2－2 ab ＋ b2 D. （ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2 （第3题） A 典例导思 4. 用简便方法计算： （1）49.8×50.2； 解：原式＝1. （2）2332－232×234. 解：原式＝2 499.96. 典例导思 题型三　利用平方差公式进行化简求值　 先化简，再求值：（3 x2－2 y2）（－2 y2－3 x2）＋3 （ x2－ y2）（ x2＋ y2），其中 x ＝1， y ＝－2. [分析] 先利用平方差公式将代数式化简，再把 x ＝1， y ＝－2代入代数式的化简结果求值即可. 解：原式＝4 y4－9 x4＋3（ x4－ y4） ＝4 y4－9 x4＋3 x4－3 y4 ＝ y4－6 x4. 当 x ＝1， y ＝－2时， 原式＝（－2）4－6×14＝16－6＝10. 典例导思 5. 先化简，再求值：（2 x ＋1）（1－2 x ）－（1－4 x ） （ x ＋1），其中 x ＝1. 解：原式＝12－（2 x ）2－（－4 x2－3 x ＋1） ＝1－4 x2＋4 x2＋3 x －1 ＝3 x . 当 x ＝1时，原式＝3. 典例导思 $$第12章　整式的乘除 12.3　乘法公式 第2课时　两数和（差）的平方 探究：计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（ p ＋1）2＝（ p ＋1）（ p ＋1）＝ ⁠ ⁠； （2）（ m ＋2）2＝ ⁠； （3）（ p －1）2＝（ p －1）（ p －1）＝ ⁠ ⁠； （4）（ m －2）2＝ ⁠. p2＋2 p ＋ 1　 m2＋4 m ＋4　 p2－2 p ＋ 1　 m2－4 m ＋4　 知识导航 1. 完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于这两数的 ⁠加上 （或减去）它们的 .即（ a ± b ）2＝ ⁠ ⁠. 2. 完全平方公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方； 平方和　 积的2倍　 a2±2 ab ＋ b2　 知识导航 （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是 公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项 式中两项乘积的2倍. 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右 边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数 之积的2倍.以下是常见的变形： a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2－2 ab ＝（ a － b ）2＋2 ab ， （ a ＋ b ）2＝（ a － b ）2＋4 ab ， （ a ＋ b ）2－（ a2＋ b2）＝2 ab . 知识导航 题型一　运用完全平方公式进行计算　 计算： （1）（3＋5 p ）2； 解：原式＝9＋30 p ＋25 p2. （2）（－2 x ＋3 y ）2； 解：原式＝9 y2－12 xy ＋4 x2. （3）（－2 a －5）2； 解：原式＝4 a2＋20 a ＋25. 典例导思 （4） ； 解：原式＝ x4－ x2 y ＋ y2. （5）（ x －2 y －3）2. 解：原式＝ x2－4 xy ＋4 y2－6 x ＋12 y ＋9. 典例导思 [方法总结] （1）计算时，要观察题目是否符合公式的 条件，若不符合，要先变形为符合公式条件的形式，再 运用公式计算；若不能变为符合公式条件的形式，则应 用乘法法则进行计算；（2）计算时，不能出现（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2或把乘积项“2 ab ”中的2丢掉等错误. 典例导思 1. 下列各式计算正确的是（　D　） A. （ x ＋3）2＝ x2＋9 B. （－2 a ＋ b ）2＝4 a2＋4 ab ＋ b2 C. （ a －2 b ）2＝ a2－2 ab ＋4 b2 D. ＝ x2－ x ＋ D 典例导思 2. 计算： （1） ＝ 　4 m2－ mn ＋ n2　； （2）（2 x －1）2－（3 x ＋1）2＝ ⁠； （3）（ x －2 y ＋3z ）（ x ＋2 y －3z ）＝ ⁠ ⁠. 4 m2－ mn ＋ n2　 －5 x2－10 x 　 x2－4 y2＋12 yz －9 z2　 典例导思 题型二　运用完全平方公式解决问题　 已知 x2－4 x －1＝0，求代数式（2 x －3）2－（ x ＋ y ）（ x － y ）－ y2的值. 解：（2 x －3）2－（ x ＋ y ）（ x － y ）－ y2 ＝4 x2－12 x ＋9－（ x2－ y2）－ y2 ＝3 x2－12 x ＋9 ＝3（ x2－4 x ＋3）. ∵ x2－4 x －1＝0，∴ x2－4 x ＝1. ∴原式＝3×（1＋3）＝12. 典例导思 [误区点拨] 本题化简过程涉及减数是多项式，容易出现 符号错误，在计算（ x ＋ y ）（ x － y ）时，先将结果放 入括号内，再打开括号，可以避免此类错误的发生. 典例导思 3. 如图，根据计算正方形 ABCD 的面积，可以说明下列 哪个等式成立（　B　） A. （ a － b ）2＝ a2－2 ab ＋ b2 B. （ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2 C. （ a ＋ b ）（ a － b ）＝ a2－ b2 D. a （ a － b ）＝ a2－ ab （第3题） B 典例导思 4. （1）运用乘法公式简便计算： ①2012＝ ⁠； ②99.82＝ ⁠； 40 401　 9 960.04　 （2）若16 x2＋2（ m －4） x ＋25是完全平方式，则 m 的 值等于 ⁠. 24或－16　 典例导思 题型三　运用完全平方公式的变式解决问题 已知（ a ＋ b ）2＝9，（ a － b ）2＝5，求 ab ， a2＋ b2的值. 解：∵（ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2＝9， （ a － b ）2＝ a2－2 ab ＋ b2＝5， ∴（ a ＋ b ）2－（ a － b ）2＝4 ab ＝4， （ a ＋ b ）2＋（ a － b ）2＝2 a2＋2 b2＝14， ∴ ab ＝1， a2＋ b2＝7. 典例导思 [思维点拨] 已知（ a ＋ b ）2、（ a － b ）2、 a2＋ b2、 ab 四者之二，则可求其他. 典例导思 5. 已知 x2＋ y2＝13， xy ＝6，则 x ＋ y 的值是（　A　） A. ±5 B. ±1 C. 5 D. 1 6. （1）已知 a －2 b ＝2， ab ＝2，则 a2＋4 b2＝ ⁠； （2）已知 x － ＝6，则 x2＋ 的值为 ⁠； （3）若 a ＋ b ＝2， ab ＝－ ，则3 a ＋（ a － b ）2＋3 b ＝ ⁠. A 12　 40　 　 典例导思 $$