精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期中检测题

2023-2024学年沪科版数学八年级下学期 期中检测题 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 使有意义的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，据此列不等式求解 【详解】解：当时有意义， 得 故选A 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、是最简二次根式，故选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 把一元二次方程x2﹣6x+1=0配方成（x+m）2=n的形式，正确的是（　　） A. （x+3）2=10 B. （x﹣3）2=10 C. （x+3）2=8 D. （x﹣3）2=8 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法进行求解即可. 【详解】解：移项可得：x2-6x=-1， 两边加9可得：x2-6x+9=-1+9， 配方可得：（x-3）2=8， 故选D. 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的过程是解题的关键. 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A、，故与不能合并，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故与不能合并，故C不符合题意； D、，故与能合并，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 5. 设a、b为x2＋x﹣2021＝0两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ） A. 2024 B. ﹣2024 C. 2021 D. ﹣2021 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到a2=−a+2021，再用a表示a3，得到a3=2022a−2021，所以原式变形为2024(a+b)，再根据一元二次方程根与的关系得到a+b=−1，利用整体代入法计算，即可求得． 【详解】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根， ∴a2+a﹣2021＝0， 即a2＝﹣a+2021， ∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021， ∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b）， ∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用方程的解求代数式的值，熟练掌握和运用等式的恒等变式和一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 6. 下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a：b：c＝3：4：5 B. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C. ∠A+∠B＝∠C D. a：b：c＝1：2： 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；B、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；D、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状. 【详解】A、因为a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，故为直角三角形，故A选项不符合题意； B、因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形，故B选项符合题意； C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形，故C选项不符合题意； D、因为a：b：c=1：2：，所以设a=x，b=2x，c=x，则x2+（x）2=（2x）2，故为直角三角形，故D选项不符合题意， 故选B. 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 7. 欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果． 【详解】解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为个，根据主干、支干和小分支总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目个， 依题意，得：， 解得： （舍去），． 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 9. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意由方程得： 整理得： 根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根． 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，由“SAS”可证△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值为D'C，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC ∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP ∴△BPD≌△BPD'（SAS） ∴DP＝D'P ∴CP+DP＝CP+D'P ∴PC+PD的最小值为D'C， ∵BD＝6，CD＝2 ∴BC＝8， ∴D'C＝ ∴PC+PD的最小值为10 故选：D． 【点睛】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股定理的应用． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 的平方根是______；的算术平方根是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的性质求解即可. 【详解】的平方根是，的算术平方根是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根，掌握以上知识解题的关键. 12. 若有意义，则的取值范围是________________________． 【答案】且且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和零次幂有意义的条件列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得， 解得且且． 故答案为：且且． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和零次幂有意义的条件，解题的关键是不忽略每一个部分． 13. 阅读下列材料： 早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172． 由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000． 所以（x+17）2 = 71000 + 172． 所以（x+17）2 = 71289． 直接开方可得正根x = 250． 依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中例题及配方法求解即可得． 【详解】解：第一步：“构造” 内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； 第二步：“推理” ， ∵，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键． 14. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即． 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则的坐标是， 设直线的解析式是， 把代入得：， 即直线的解析式是， 组成方程组 解得： 点，， 故答案为：，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 计算： 【答案】（1）;（2）;（3）;（4） 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （3）先算乘除再算加减，同级运算从左到右依次进行； （4）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简，及同类二次根式的合并． 16. ▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，若AB＝4，AC＝10，.求BD的长． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AO=CO． ∵AC=10， ∴AO=5． ∵AB⊥BD，AB=4， ∴BO=． ∴BD=2BO=6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17. 将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，连接， 首先说明再用两种方法表示出四边形的面积，化简即可，运用两种方法表示四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵两个三角形全等， ∴四边形的面积为： ． 18. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数值，方程总有实数根； （2）当时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长． 【答案】（1）证明见解析； （2）等腰三角形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先计算根的判别式得到然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法解方程得到再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定等腰三角形腰长为3，底边为1，然后计算三角形的周长． 【小问1详解】 证明：， ∴无论a何值，原方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当时，方程化为： ∴ ∴或 当等腰三角形腰长为1，底边长为3时，，不符合三角形三边的关系，舍去； 当等腰三角形腰长为3，底边为1，它的周长为： 19. （为正整数） 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了乘方的运算，根据的偶次幂为1，奇次幂为，进行分类计算即可，找出数字规律是解题的关键． 【详解】解：当偶数时， ， 当奇数时， ， 20. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17． （1）连接BC，求BC的长； （2）判断△BCD的形状，并说明理由． 【答案】（1）BC=15；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理得出BC的长； （2）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案． 【详解】解：（1）∵∠A＝90°， ∴BC＝＝＝15； （2）△BCD是直角三角形， 理由：∵BC2＝152＝225， BD2＝82＝64， CD2＝172＝289， ∴BC2+BD2＝CD2＝289， ∴△BCD是直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理是解题关键． 21. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料． （1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2； （2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？ 【答案】（1）15m；（2）不能围成，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），即可求解； （2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，即可求解． 【详解】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25， 则（40﹣x）x＝150， 解得：x＝10或30（舍去30）， 故x＝10（m）； ∴AB＝15（m）． 答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2； （2）由题意得：则（40﹣x）x＝210， 化简得：x2﹣40x+420＝0， △＝1600﹣4×420＜0， 故不能围成矩形花园面积为210m2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 22. 已知：在中，，点D在上，连接AD，且 （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点F，G，H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查三角形综合应用，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积及线段和差等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定定理． （1）由知因所以 ，可得， 而，即得； （2）过B作交于M，由，可证，得，从而又，点E为的中点，可证，得，即得； （3）连接，由，得，而，即得，有，故 ，结合已知得即得 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 证明： 过B作交于M，如图： 由已知得：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图： 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ． 23. 某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，该商品单价每件涨价1元，每星期可少卖10件． （1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为 　　元； （2）在一个星期内要想获利6090元的利润，该商品每件应涨价多少元． 【答案】（1）；（2）1元或9元 【解析】 【分析】（1）已知该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为元； （2）设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件，利用销售该商品一个星期内获得的利润每件的利润每星期的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）该商品每件涨价5元，一个星期可获利为： （元）， 故答案为：； （2）设每件涨价元，则每件的利润为元，每星期可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该商品应涨价1元或9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用问题中的销售问题，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科版数学八年级下学期 期中检测题 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 使有意义的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 把一元二次方程x2﹣6x+1=0配方成（x+m）2=n的形式，正确的是（　　） A. （x+3）2=10 B. （x﹣3）2=10 C. （x+3）2=8 D. （x﹣3）2=8 4. 下列二次根式中，能与合并是（ ） A B. C. D. 5. 设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（ ） A. 2024 B. ﹣2024 C. 2021 D. ﹣2021 6. 下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A. a：b：c＝3：4：5 B. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C ∠A+∠B＝∠C D. a：b：c＝1：2： 7. 欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A. B. C. D. 9. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 的平方根是______；的算术平方根是______． 12. 若有意义，则的取值范围是________________________． 13. 阅读下列材料： 早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172． 由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000． 所以（x+17）2 = 71000 + 172． 所以（x+17）2 = 71289． 直接开方可得正根x = 250． 依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ． 14. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算： 16. ▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，若AB＝4，AC＝10，.求BD的长． 17. 将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 18. 已知关于x一元二次方程． （1）求证：无论a取任何实数值，方程总有实数根； （2）当时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长． 19. （为正整数） 20. 如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17． （1）连接BC，求BC的长； （2）判断△BCD的形状，并说明理由． 21. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料． （1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2； （2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？ 22. 已知：在中，，点D在上，连接AD，且 （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点F，G，H，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，求的面积． 23. 某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，该商品单价每件涨价1元，每星期可少卖10件． （1）若该商品每件涨价5元，则一个星期的获利为 　　元； （2）在一个星期内要想获利6090元利润，该商品每件应涨价多少元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$