22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象和性质 第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式 温故知新 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ 2. 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1) 设：解析式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程(组) (4) 还原：写出解析式 知识点1： 用一般式法求二次函数的解析式 探究新知 问题：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 例1.下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 3个 3个 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式. 解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c=-3， 解得 a=-1， b=-4， c=-3. ∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3. 一般式法求二次函数的解析式 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设：设函数解析式为y=ax2+bx+c； ②代：代入三个点的坐标得到三元一次方程组； ③解：解方程组得到a,b,c的值； ④还原：把待定系数用求得的值换掉，写出函数解析式. 归纳总结 1.如果一个二次函数的图象经过 (−1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求出这个二次函数的解析式. 课堂练习 2.已知一个二次函数的图象过A(-1,0), B(4,5), C(0,-3)三点，求这个函数的解析式. 1.解：设所求二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c. 由函数图象经过 (−1，10 )，(1，4)，(2，7) 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组 故所求二次函数解析式为 y = 2x2 − 3x + 5. 2.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. 知识点2： 用顶点法求二次函数的解析式 探究新知 例2 . 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式. 分析：题目中有顶点坐标，则解析式设为顶点式. 1.设：顶点式 解：∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，∴ 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9. 2.代：坐标代入 由其图象经过点 (0，1)， 可得 1 = a(0 - 8)2 + 9. 3.解：方程(组) 4.还原：写出解析式 课堂练习 3. 已知一个二次函数有最大值 4，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过点 (2，1)，求该函数的解析式． 解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为 (5，4)， 设解析式为 y = a(x − 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4， 总结：当题目中有最值、对称轴等条件时，可由此得出顶点坐标，利用顶点式求解析式. 顶点式法求二次函数的解析式 这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法.其步骤是： ①设：设函数解析式是y=a(x-h)2+k； ②代：先代入顶点坐标，得到只含参数a的解析式；将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值； ③还原：将a用求得的值换掉，写出函数解析式. 归纳总结 知识点3： 交点法求二次函数的解析式 探究新知 例3.已知抛物线上三个点的坐标：(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出对应的二次函数的解析式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的解析式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 4. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2. 解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2， ∴ 图象经过另一点 (3，0). 故可设该二次函数的解析式为 y = a(x − 1)(x − 3). 将点 (0，−3)代入，得 −3 = a(0 − 1)(0 − 3)， 解得 a = −1. ∴ 该二次函数的解析式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3. 课堂练习 归纳总结 交点式法求二次函数的解析式 这种已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 其步骤是： ①设：设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②代：先把两交点的横坐标x1, x2代入解析式中，得到只含参数a的解析式；将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值； ③还原：将a用求得的值换掉，写出函数解析式. 知识点4：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 探究新知 例4. 已知二次函数的图象上有 A(1，1)，B(3，1) 两点，且与 y 轴交于点 C (0，4)，求这个二次函数的解析式. 分析：A(1，1)，B(3，1) 两点纵坐标 相同，为 1， ∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于 (1，0)，(3，0) 两点的二次函数 y = a(x-1)(x-3)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-1)(x-3)+1. x y O 4 5 2 1 3 -1 2 3 1 4 1.设：解析式 设这个抛物线解析式为 y = a(x - 1)(x - 3) + 1. 2.代：坐标代入 再把点 (0，4) 代入上式得 ∴ a(0 - 1)(0 - 3) + 1 = 4， 3.解：方程(组) 解得 a = 1. 4.还原：写出解析式 ∴ 二次函数的解析式是 y = (x - 1)(x - 3) + 1， 即 y = x2 - 4x + 4. 还有其他的方法吗？ 5. 已知二次函数的图象经过点(-1，3)， (1，3)，(2，6)， 求这个二次函数的解析式. 解：设其解析式为 y = a(x + 1)(x - 1) + 3， 又图象经过点 (2，6)， ∴ 6 = a(2 - 1)(2 + 1) + 3， 解得 a = 1. ∴二次函数解析式为 y = (x - 1)(x + 1) + 3， 即 y = x2 + 2. 课堂练习 根据已知条件选设函数解析式： 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； ②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式； ④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）. 归纳总结 1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2 【变式】已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 . D y=-7(x-3)2+4 　2.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 图象经过原点 8=4a-2b， 5=a-b， ∴{ 解得a=-1,b=-6. ∴ y=-x2-6x. 解： （1）选用一般式求解析式： （2）选用交点式求解析式： 3. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的解析式； 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c， 得 16－4b＋c ＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3， 即 b＝6. ∴ c＝5. ∴ 抛物线的解析式是 y ＝ x2＋6x＋5. x y O x = -3 A B (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称． ∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵ 点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为 12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28. x y O x = -3 A B 当堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与 x轴的两个交点 已知条件 选择适当的方法 用一般式法：y = ax2+bx+c 用顶点法：y = a(x - h)2 +k 用交点法：y = a(x -x1)(x -x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 ④已知抛物线上纵坐标相同的两点 顶点法或交点法平移纵坐标 $$