专题01 一元二次方程（考题猜想，易错必刷58题17种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题01 一元二次方程（易错必刷58题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的一般形式 题型二 一元二次方程的解 题型三 一元二次方程解的估算 题型四 直接开方法 题型五 配方法 题型六 公式法 题型七 因式分解法 题型八 配方法的应用 题型九 换元法 题型十 根的判别式 题型十一 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十二 韦达定理 题型十三 增长率问题 题型十四 营销问题 题型十五 与图形几何有关的问题 题型十六 动态几何问题 题型十七 一元二次方程新定义计算 一．一元二次方程的一般形式（共3小题） 1．（23-24八年级上·上海·单元测试）一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）关于的一元二次方程化为一般形式后为．求，的值． 二．一元二次方程的解（共3小题） 4．（23-24八年级上·上海·单元测试）如果非零实数，满足，则有一根是1的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 三．一元二次方程解的估算（共3小题） 7．（22-23九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 四．直接开方法（共4小题） 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 五．配方法（共4小题） 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程：． 17．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 六．公式法（共4小题） 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 19．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 20．（2023九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). 21．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； 七．因式分解法（共4小题） 22．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 23．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 24．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 25．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 八．配方法的应用（共3小题） 26．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 27．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 28．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 九．换元法（共3小题） 29．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．无法求解 30．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 31．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 一十．根的判别式（共3小题） 32．（2023·河南商丘·二模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 33．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相同的实数根，则k的取值范围是 ；如果方程有两个相同的实数根，则 ． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 一十一．根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 35．（23-24八年级上·上海·单元测试）关于x的方程有两个实数根，则n的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 36．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 37．（23-24八年级上·上海·单元测试）当k为何值时，关于x的方程． (1)有两个实数根，并求的最大整数值． (2)有两个相等的实数根，并求出这两个根． 一十二．韦达定理（共6小题） 38．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 39．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）若一元二次方程的两个不相等的实数根为，则的值是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 41．（2024·贵州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，若，则a的值为 ． 42．（23-24八年级上·全国·单元测试）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程两实根 满足，求的值． 43．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 一十三．增长率问题（共3小题） 44．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 ． 46．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）据市场调研发现，某工厂今年十月份共生产500个吉祥物，今年十二月份共生产720个吉祥物，若该工厂平均每月生产量增加的百分率相同． (1)求该工厂这两个月的月平均增长率． (2)已知某商店吉祥物平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个吉祥物应降价多少元？ 一十四．营销问题（共3小题） 47．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 48．（2023·江苏苏州·二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 49．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，某超市会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：“我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．”王师傅：“甲商品比乙商品的数量多40件．” (1)请你求出乙商品的进价； (2)超市销售乙商品时，原来定价为每件75元，为尽快清仓，对乙商品连续两次打折，且两次折扣相同，打折后每件仍可获利，则每次打几折？ 一十五．与图形几何有关的问题（共3小题） 50．（2023·贵州遵义·一模）如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ） A． B． C． D． 51．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在长为100，宽为50的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600，则小路的宽是 ．    52．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． (1)若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； (2)若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 一十六．动态几何问题（共3小题） 53．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 54．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    55．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 一十七．一元二次方程新定义计算（共3小题） 56．（22-23九年级上·河南许昌·期末）对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（    ） A．4 B． C． D． 57．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 58．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程” (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则之间的关系为______． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 一元二次方程（易错必刷58题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的一般形式 题型二 一元二次方程的解 题型三 一元二次方程解的估算 题型四 直接开方法 题型五 配方法 题型六 公式法 题型七 因式分解法 题型八 配方法的应用 题型九 换元法 题型十 根的判别式 题型十一 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十二 韦达定理 题型十三 增长率问题 题型十四 营销问题 题型十五 与图形几何有关的问题 题型十六 动态几何问题 题型十七 一元二次方程新定义计算 一．一元二次方程的一般形式（共3小题） 1．（23-24八年级上·上海·单元测试）一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据的二次项系数为，一次项系数为，列式即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ∴方程整理得：． 结果一次项系数为， ， 即． 故选：B 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 根据该方程各项系数之和是，列出方程求出m的值即可． 【详解】解：∵方程的各项系数之和是， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）关于的一元二次方程化为一般形式后为．求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识是解决本题的关键．展开后的系数等于6，常数项等于． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程化为一般式后为， ∴，， ∴． 二．一元二次方程的解（共3小题） 4．（23-24八年级上·上海·单元测试）如果非零实数，满足，则有一根是1的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，把分别代入四个选项中的方程，看是否能够得到即可． 【详解】解：A、当时，则，故本选项不符合题意； B、当时，则，故本选项不符合题意； C、当时，则，故本选项符合题意； D、当时，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 三．一元二次方程解的估算（共3小题） 7．（22-23九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出的解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 8．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为 ． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 四．直接开方法（共4小题） 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 五．配方法（共4小题） 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， ． (2)无实数根 (3) (4)，． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）先将原方程化为，再利用配方法解方程即可； （4）先将原方程，化为，再利用配方法解方程即可． 此题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 配方，得， 即． ∴， ∴，． （2）解： 移项，得． 配方，得， 即， 所以原方程无实数根． （3）解： 原方程可化为． 配方，得， 即． ∴． （4）解： 原方程可化为． 配方，得， 即， 由此可得， ∴，． 16．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：原方程变形为， ， ， 解得：，． 17．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 六．公式法（共4小题） 18．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般式，再计算判别式，最后根据判别式的正负确定解的情况，在有解时，直接代入求解公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由得， ， ， ， ． 19．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)，. (3) 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，即，. （2）移项，得， ∴，，， ∴， ∴，即，. （3）∵，，， ∴， ∴，即. 20．（2023九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)， (3)原方程没有实数根 (4) 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根； （2）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解； （3）根据一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算判别式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根； （4）先化为一般形式，然后根据公式法，即可求解； 【详解】（1） ∴， ∴ 解得： （2） 即， ， 解得：， （3） ∴， ∴原方程没有实数根； （4） 即 ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定的值． 21．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)x1＝，x2＝ (2)x1＝，x2＝ 【分析】本题考查了解一元二次方程—公式法，熟练掌握解一元二次方程—公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程—公式法进行计算即可． （2）根据解一元二次方程—公式法进行计算即可． 【详解】（1）解： 原方程可化为． ，，． ， x1＝，x2＝． （2）解：原方程可化为． ，，． ， x1＝，x2＝． 七．因式分解法（共4小题） 22．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 23．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 24．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 25．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得，或． 所以原方程的解为，． 八．配方法的应用（共3小题） 26．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 27．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 28．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解即可； （2）先配方，再求最值． 【详解】（1）解：． 故答案为：；1． （2）解：， ∵， ∴当即时， 原式有最小值． 【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键． 九．换元法（共3小题） 29．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．无法求解 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解，整体思想的运用，已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解． 【详解】解： ，，是方程的解， 令，，满足方程，即． ，， 方程的解是：，． 故选：B． 30．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．把原方程变形为，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴或， 解得：． 故答案为： 31．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 一十．根的判别式（共3小题） 32．（2023·河南商丘·二模）关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据根的判别，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选A． 33．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相同的实数根，则k的取值范围是 ；如果方程有两个相同的实数根，则 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 先根据一元二次方程的定义得到，再根据一元二次方程的根的判别式，有两个不同的实数根，，有两个相同的实数根这两种情况解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， ． 如果方程有两个不相同的实数根，则其根的判别式 方程有两个不相同的实数根：且， 方程有两个相同的实数根， 故答案为：且，． 34．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)求出方程的根； (3)若方程的两个根都是正整数，求整数的值． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式以及根据一元二次次方程根的情况求出参数等知识． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． （3）利用一元二次次方程根的情况求出参数即可． 【详解】（1）证明：，，， ∴ ， ∴ 方程总有两个实数根 （2） ， ∴或， ∴， （3）由（2）知，， ∵m为整数，方程的两个根都是正整数， ∴必为正整数， ∴或2， ∴或． 一十一．根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 35．（23-24八年级上·上海·单元测试）关于x的方程有两个实数根，则n的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：当时，原方程为，此时不满足方程有两个实数根； 当时，原方程为一元二次方程，则， ∴， ∴； 综上所述，且， 故选：B． 36．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 37．（23-24八年级上·上海·单元测试）当k为何值时，关于x的方程． (1)有两个实数根，并求的最大整数值． (2)有两个相等的实数根，并求出这两个根． 【答案】(1)当时，原方程有两个实数根，且k的最大值为3 (2)当时，原方程有两个相等的实数根，这两个根为 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式： （1）先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可； （2）利用判别式求出k的值，再代入原方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴当时，原方程有两个实数根，且k的最大整数值为3； （2）解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， 解得， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，这两个根为． 一十二．韦达定理（共6小题） 38．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知a，b是方程的两根，则代数式的值是（　　） A．19 B．20 C．14 D．15 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把与分别代入方程得到，，根据根与系数的关系得到，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 故选：C． 39．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）若一元二次方程的两个不相等的实数根为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值；先把式子通分后，利用根与系数的关系整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根为， ∴， ∴； 故选：C． 40．（2024·安徽六安·模拟预测）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 41．（2024·贵州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，若，则a的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则．由、是关于的一元二次方程的两个解，得出，，整理，整体代入求得的数值即可． 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个解， ，， ， ， 即， 解得：， 故答案为：2024 42．（23-24八年级上·全国·单元测试）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程两实根 满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系． （1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，再根据的取值确定m的值． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； （2）∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵方程两实根 ， ∴， ∴， ∴． 43．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式： （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由即可得出，即可得出m的值． 【详解】（1）解：这里，． ∵方程有两个实数根， ∴． ∴． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，同号． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． ∴． 解得：． 所以，m的值为． 一十三．增长率问题（共3小题） 44．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 45．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某商场今年1月盈利12000元，3月盈利14520元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利12000元，3月盈利14520元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 46．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）据市场调研发现，某工厂今年十月份共生产500个吉祥物，今年十二月份共生产720个吉祥物，若该工厂平均每月生产量增加的百分率相同． (1)求该工厂这两个月的月平均增长率． (2)已知某商店吉祥物平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个吉祥物应降价多少元？ 【答案】(1) (2)应降价4元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用， （1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，根据十月份和十二月份的生产量列出等式求解即可； （2）每个吉祥物降价y元，可求得每天销量，根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该工厂平均每月生产量的增长率为． （2）设每个吉祥物降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个吉祥物应降价4元． 一十四．营销问题（共3小题） 47．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）某水果批发商经销一种高档水果，如果将进货价为每千克6元的水果以每千克16元的价格售出，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，出售价每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．若该商场要想保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?（    ） A．10元 B．8元 C．3元 D．5元 【答案】D 【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 48．（2023·江苏苏州·二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 【答案】10 【分析】设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 【详解】解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 故每件应降价10元． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 49．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，某超市会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：“我记得甲商品进价比乙商品进价每件高．”王师傅：“甲商品比乙商品的数量多40件．” (1)请你求出乙商品的进价； (2)超市销售乙商品时，原来定价为每件75元，为尽快清仓，对乙商品连续两次打折，且两次折扣相同，打折后每件仍可获利，则每次打几折？ 【答案】(1)进价40元 (2)八折 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用： （1）设出乙的进货单价为x元/件，则乙的进货数量为件，则甲的数量为件，甲的进货单价为元/件，通过甲的进货价甲的数量甲的总金额，列出分式方程，解出方程即可． （2）设每次打m折，根据“原来定价为每件75元，对乙商品连续两次打折，且两次折扣相同，打折后每件仍可获利，”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙的进货单价为x元/件，则乙的进货数量为件，则甲的数量为件，甲的进货单价为元/件，根据题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：乙商品的进价为40元/件． （2）解：设每次打m折，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， 答：每次打八折． 一十五．与图形几何有关的问题（共3小题） 50．（2023·贵州遵义·一模）如图，某小区计划在一个长，宽的长方形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由小路的宽为，可得出种草的部分可合成长为，宽为的长方形，结合草坪部分的总面积为，可得出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论． 【详解】解：∵小路的宽为， ∴种草的部分可合成长为，宽为的长方形． 根据题意得：， 整理得：． 故选：C． 51．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在长为100，宽为50的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600，则小路的宽是 ．    【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小路的宽是． 故答案为：． 52．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门，设． (1)若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式； (2)若在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． （1）先求出，再根据矩形面积计算公式求解即可； （2）根据题意得到方程，解方程得到或，再由题意得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：能，理由如下： 当养殖场的面积为时，则， 解得或， ∵在直角墙角内点处有一水池，且与墙的距离分别是7米，21米， ∴， ∴， ∴， ∴养殖场的面积能为，此时 ． 一十六．动态几何问题（共3小题） 53．（23-24九年级上·山西阳泉·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示 当运动时间为秒时，，，， 依题意得：， 即， 解得：，． ∴当时，t的值为秒或秒， 故选D．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 54．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．当五边形的面积等于时，t的值为 ．    【答案】3或5/5或3 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， ∵五边形的面积等于， ∴ ， 矩形， ， ， ， ∴3秒或5秒后五边形的面积等于． 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键． 55．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，已知在中，，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．    (1)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． 【答案】(1)或 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用 （1）根据题意，找出等量关系列出方程求解即可． （2）判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 【详解】（1）解：设后，的面积等于． 此时，． 由，得． 即，解得． 当时，的面积等于； 当时，的面积等于． （2）仿（1）得． 整理，得，因为，所以，此方程无解． 所以的面积不可能等于． 一十七．一元二次方程新定义计算（共3小题） 56．（22-23九年级上·河南许昌·期末）对于实数a，b，定义新运算：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 而关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 57．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的定义，可判定“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，然后求出m、n的值，即可． 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴ “和谐”方程的一个根为1， ∵一元二次方程满足， ∴“美好”方程的一个根为， ∵一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ∴一元二次方程的根为1和， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 58．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程” (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则之间的关系为______． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) (4)0 【分析】（1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可． 【详解】（1）解： 解得： ∵ ∴该方程不是“倍根方程” 故答案为：不是 （2）解：设方程的两个根分别为： ∴ 解得： 故答案为：2 （3）解：设方程的两个根分别为： 则由根与系数的关系可得： 消去得： 故答案为： （4）解：方程的两个根为： ∴或 当时，； 当时， 故： 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． $$