专题02 一元二次方程（考题猜想，压轴必刷56题8种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题02 一元二次方程（压轴必刷56题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的解 题型二 配方法的应用 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 换元法 题型五 韦达定理 题型六 一元二次方程的应用 题型七 一元二次方程新定义问题 题型八 一元二次方程综合 一．一元二次方程的解（共5小题） 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程的根也是方程的根，则 ． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 5．（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 二．配方法的应用（共7小题） 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海·期中）多项式的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）如果，则 ． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．    5．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 7．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    三．根据一元二次方程根的情况求参数（共9小题） 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知a、b、c满足，，，则 ． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值等于 ． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 6、（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； (4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 9．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 四．换元法（共6小题） 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ． 4．（23-24八年级下·浙江舟山·阶段练习）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+2＝0的两根分别为 . 5．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 五．韦达定理（共7小题） 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 3、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 6．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 7．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若是方程的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：， ∴． 根据上面材料，解答下列问题： (1)已知是方程的两根，则 ， ． (2)设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②． (3)关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 六．一元二次方程的应用（共9小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？    2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）综合与运用 如图，在矩形中，，．点从点出发沿以的速度向点运动；同时点从点出发沿以的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点、的运动时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是______； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    4．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形． 探究方程是否存在常数根． 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：　 　．    参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　； （2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　． 5．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D 运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点 B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒    (1)t为何值时，四边形为矩形． (2)t为何值时，． (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形？ 6．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 7．（2022·重庆·二模）某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 8．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 9．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 七．一元二次方程新定义问题（共6小题） 1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（23-24九年级上·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 5．（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 6．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 八．一元二次方程综合（共7小题） 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程” 当时，该全整根方程的“最值码”是__________． 若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”． (3)若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 3、（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)直线与轴的交点坐标为________； (2)矩形的顶点分别轴，轴上． ①当，时，求矩形的面积； ②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围． 4．（2023·云南·模拟预测）若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理． 如：，是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；，， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值． 5．（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中． (1)求证此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根是，，且，求． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 7．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题02 一元二次方程（压轴必刷56题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一元二次方程的解 题型二 配方法的应用 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 换元法 题型五 韦达定理 题型六 一元二次方程的应用 题型七 一元二次方程新定义问题 题型八 一元二次方程综合 一．一元二次方程的解（共5小题） 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程的根也是方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系． 设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 3．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 【答案】2020 【分析】由题意可得出，可变形为，．再由，将代入化简得，再将代入求值即可． 【详解】∵m是方程式的根， ∴， ∴，． ， 将代入，得：， 再将代入，得：． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键． 4．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为 ． 【答案】0 【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案． 【详解】解：设这个相同的实数根为t， 把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得： a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0 相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0， （a+b+c）（t2+t+1）＝0， ∵t2+t+1＝（t）20， ∴a+b+c＝0， 故答案是：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 5．（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵，分别满足，，且， ∴， ∴和可看作方程的两根， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 二．配方法的应用（共7小题） 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由,得，点P到原点O的距离为，逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可. 【详解】解：由,得， ∴点P到原点O的距离为： ， 故选: B. 【点睛】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键. 2．（23-24七年级上·上海·期中）多项式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51 =x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15 =(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15 =(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15 ∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0， ∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）如果，则 ． 【答案】36 【分析】先将变形成，进而求得a、b的值，然后再对因式分解即可解答． 【详解】解： ，解得：； ． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、因式分解法的应用、非负数的性质等知识点，掌握完全平方公式的结构并配方成平方和等于零的形式是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为，然后作辅助线构建三垂直全等三角形，证明，设点，利用全等三角形的性质可得，根据两点间的距离公式可得与m的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴、所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点D的坐标为， 过点E作轴于点H，作于点G，则四边形是矩形，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，∴， ∴， ∴， 设点，则，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是（当时取得最小值）； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标系中两点间的距离和配方法的应用等知识，构建平面直角坐标系和全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】(1)， (2) (3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 7．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)2； (2)y最小值为4； (3)25． 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为2． 故答案为：2； （2）由， ， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，y最小值为4； （3）设，已知， 则由等高三角形可知： ， 四边形面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 三．根据一元二次方程根的情况求参数（共9小题） 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出的取值范围，再代入方程即可求解． 【详解】解：变形得，， ∵为正整数， ∴存在正整数，使得①， ∴，即， ∴②， 设关于的方程为③，方程有两个正整数解， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值为，可证为时方程③无正整数根， ∴当时，方程得，，解得，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知a、b、c满足，，，则 ． 【答案】3 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值． 【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得： ， 即， ∴， ∴a=3,b=-1,c=1， ∴a+b+c=3-1+1=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】利用配方法将已知等式转化为的形式，由非负数的性质求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 则，， 所以，， 所以． 故答案是：． 【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键． 【详解】∵方程和方程都有实数解， ∴，， ∴，， ∵，是正实数， ∴， ∴，即， ∴， 故的最小值为， 又∵， 则当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 6、（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， 根据根与系数的关系可得，，且为正整数， ∴， ∵为完全平方数且为正整数， ∴或或， 解得或6或13， 即满足条件的共有3个， 故答案为：3． 7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； (4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． （4）如图，由，，过作于，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． （4）如图，∵，，过作于， ∴，，D在线段上，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴关于x的一元二次方程必有实数根． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，配方法的应用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 9．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 四．换元法（共6小题） 1．（23-24八年级下·上海·单元测试）用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 设，则，然后代入原方程，再将分式方程化为整式方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母，得， 移项，得， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方程中的相当于第1个方程中的x，从而得到和，解方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中，， ，， ，， 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】 设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】 解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 4．（23-24八年级下·浙江舟山·阶段练习）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+2＝0的两根分别为 . 【答案】 【分析】根据两个方程的系数、结构相同得到1、2也是关于的方程的两个根，计算即可； 【详解】两个方程的系数、结构相同， 1、2也是关于的方程的两个根 ∴或， 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、整体思想，属于中档难度的计算题．解题的关键是将做为一个整体，并利用整体思想． 5．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【答案】（1）①，，；②，；（2） 【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可； （2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题． 【详解】（1）①将变形为， ∴， ∴， ∴， . 或. 解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为， ∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于， ∴， ， ，， ， 当时， 原式 ． 五．韦达定理（共7小题） 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【详解】解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用根与系数的关系得出两个方程根之间的关系． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵，∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵，∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 3、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ． 【答案】-3或29 【分析】设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，根据题意列出式子，再进行变形即可求出． 【详解】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得 ， 两式相加得， 即， 所以或 解得或 又因为 所以；或者， 故或29． 故答案为-3或29 【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键； 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 【答案】 4； -3 【分析】利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值． 【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为， ∴， 展开，， 可得，， ∴； ∵，， ∴， ∵方程（）有两个根为、， ∴，且， ∴， 设（），得， ∵方程有正数解， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为：4，-3． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键． 6．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程进行验证，从而判断③． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 7．（24-25九年级上·湖南怀化·开学考试）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若是方程的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：， ∴． 根据上面材料，解答下列问题： (1)已知是方程的两根，则 ， ． (2)设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②． (3)关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 【答案】(1)，2 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数、完全平方公式的应用和一元二次方程根的分布情况，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据给定的算法代入即可求得； （2）先根据给定根与系数关系找到对应的关系，再将①；②代入求解即可； （3）根据题意列出和，求得，结合有两个根得，解得，当时，求得；当时，求得，找到满足要求得即可． 【详解】（1）解：是方程的两根， 则，， 故答案为：，2； （2）解：是方程的两个根， 则，， ①； ②； （3）∵方程的两实数根， ∴， ， ， ， 解得，， 当时，，即，解得，； 当时，，即，解得，， ∵， ∴方程无实根 ∴k的值为． 六．一元二次方程的应用（共9小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？    【答案】或 【分析】以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：①当时，作于，可证四边形是矩形，得到，利用等腰三角形的性质和得到，解方程即可；②当时，作于，可证四边形是矩形，用表示出，，，利用勾股定理建立方程解之即可；③当时，作于，可证四边形为矩形，用表示出，，，利用勾股定理建立方程，方程无解，综上即可得到答案． 【详解】解：①如图1，当时，作于，    ， 四边形是矩形 解得：． ②如图2，当时，作于    同①可证四边形是矩形 ，，， ，， 在中，，即，解得：． ③如图3，当时，作于，    同①可证四边形为矩形， ，，，， ，，， ， 在中，，即 整理得：， ，故方程无解． 综上所述，或时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，根据题意分情况讨论是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）综合与运用 如图，在矩形中，，．点从点出发沿以的速度向点运动；同时点从点出发沿以的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点、的运动时间为秒． (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件得到，，，，在中，根据勾股定理计算即可； （2）根据列出关于的一元二次方程关系式，解答即可； （3）根据勾股定理得：，列出关于的一元二次方程关系式，解答即可． 【详解】（1）解：点、的运动时间为，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，，， ，，，， 四边形是矩形， 、、都是直角三角形， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，， 当或时，； （2）解：由（1）知，，，，、为直角三角形， 当时，即， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积是面积的一半； （3）解：由（1）知，，，，、、都是直角三角形， 在中，根据勾股定理得：，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 要使是以为斜边的直角三角形，只需满足， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，图形中的动点问题，解一元二次方程等知识点，本题的关键是根据题意正确列出关系式． 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是______； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    【答案】(1)，， (2)； (3)AP的长为4m 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得和，然后再根据列方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以或或， ，，； （2）解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）解：因为四边形是矩形， 所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）阅读下面材料： 小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形． 探究方程是否存在常数根． 小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是． 请回答：　 　．    参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　； （2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　． 【答案】阅读下面材料：1（1）（2）36 【分析】由四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证明，从而，即，有，即，故关于的一元二次方程有一个根是，即； （1）在中，，可得，从而可解得正方形的关联方程为； （2）由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为6，正方形的面积为36． 【详解】解：阅读下面材料： 如图：    ∵四边形是正方形， ∴， ∵把绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴共线，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴关于的一元二次方程有一个根是， ∴． 故答案为：1； （1）如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由阅读材料知，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 而， ∴正方形的关联方程为， 化简整理，可得． 故答案为：； （2）如图：    由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根， ∴， 解得， ∴正方形的关联方程是， ∴，，， 设正方形的边长为， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴正方形的边长为6， ∴正方形的面积为36． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及内容包括旋转变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程、新定义、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是证明． 5．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D 运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点 B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为t秒    (1)t为何值时，四边形为矩形． (2)t为何值时，． (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形是菱形？若存在，请你求出t的值；若不存在，请你改变Q点的运动速度，使四边形在某一时刻t为菱形？ 【答案】(1)秒时，四边形是矩形 (2)秒，秒 (3)不存在，某一时刻t，使四边形使菱形，当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形 【分析】（1）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）过P作于M，过D作于N，用勾股定理定理求出，根据，列方程求解即可； （3）设Q的速度为vcm/s，根据当时，四边形是平行四边形，得到，再根据当时，是菱形，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，， 当时四边形是矩形． 又∵，， ∴， ∴秒时，四边形是矩形 （2）过P作于M，过D作于N，    则：四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ∵， ∴ ∴秒，秒； （3）不存在，某一时刻t，使四边形是菱形；理由如下： 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴不存在，某一时刻t，使四边形是菱形； 设Q的速度为vcm/s， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 当时，是菱形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当Q的速度为，在第15秒这一时刻，四边形是菱形． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及勾股定理解三角形． 6．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价3元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 7．（2022·重庆·二模）某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 【答案】(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； (2)4900 【分析】（1）设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据“用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．”列出方程组，即可求解； （2）设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意，列出方程，即可求解 【详解】（1）解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得： ，解得：， 答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； （2）解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵规定每辆车月租金不能超过5000元， ∴m=4900， 答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 8．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表： 普通口罩 N95口罩 进价（元/包） 8 20 （1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价； （2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价； （3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元） 【答案】（1）普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32 【分析】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元，建立二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润当日普通口罩销售量的关系，列出并求解方程，即可得到答案； （3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系，列出方程，再结合a的取值范围，求解不等式，即可完成求解． 【详解】（1）设普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 x 元和 y 元 由题意得，，解得， ∴普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元. （2）设普通口罩每包售价降低 a 元 由题意得 解得：a=2，a=-4（舍去） ∴此时普通口罩每包售价为 12-2=10元; （3）设N95口罩每包售价是x元 由题意得 ∴ ∵，∴ ，∴，∴， 即 x=32或33． 当x=33时，a不是整数， ∴N95口罩每包售价是32元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质，从而完成求解． 9．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，，∴， ∴， 当时，，解得：， ∴，∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 七．一元二次方程新定义问题（共6小题） 1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论，是解题关键． ①当时，该方程是；得到方程的根为 ，，得到，该方程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．②错误． 【详解】解：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 2．（23-24九年级上·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论： ①当时，的值为或5； ②对于任意的实数a、b，若，，则有； ③当时，． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，对进行变形，进而根据二次根式的混合运算进行计算，即可判断②，解可化为一元二次方程，再代入化简，即可判断③． 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或，是原方程的解， 故①正确； ② ，， 故②正确； ③即， 即 ∴ ∴ ∴ 故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了解函数的定义，可化为一元二次方程的分式方程，二次根式的混合运算，求分式的值；熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值． 【详解】解：与为同族二次方程． ， ， ∴， 解得：． ， 当时，取最小值为2013. 故选：B. 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围． 【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为： 当时，即时，有， 即：，其根为：是负数， 当时，即，时，有， 即：， 要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解， ∴， ∴， （1）当时，即时，方程只有一个根， ∵当时，， ∴，， ∴此时方程只有一个根符合题意， ∴不符合题意； （2）当时，方程的两个根都符合题题意， ∵当时，， ∴，， ∴方程只有一个根符合题意， ∴当时，恰好有三个不相等的实数根； （3）∵当时，方程的一个根，另外一个根， ∴此时方程只有一个根符合题意， ∵，， ∴当时，方程最多有一个根符合题意， ∴当时不可能有三个不相等的实根； 综上分析可知，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键． 5．（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 6．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 八．一元二次方程综合（共7小题） 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 【答案】(1) 或 2； (2)1； 【分析】（1）当 时，、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ； （2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值； 【详解】（1）解：当 时， ∵实数 、 满足 ，， ∴、 可看作方程 的两根， 原式， 当 ， 则原式 ； 综上所述，原式的值为 或 2 ； （2）∵， ∴将 、 看作是方程得两实数根； 而 即 c的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程” 当时，该全整根方程的“最值码”是__________． 若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”． (3)若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】(1)；或； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，()把代入方程得到方程，根据“最值码”的定义即可求解；根据“最值码”的定义可得方程，解方程可求得的值；（）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可；（）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，代入得， ， ∴，即， 故答案为：； 由题意得，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴不合，舍去， ∴或， 当时，方程化为 ， ∴； 当时，方程化为 ， ∴， ∴方程的“最值码”为或； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． 3、（23-24八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)直线与轴的交点坐标为________； (2)矩形的顶点分别轴，轴上． ①当，时，求矩形的面积； ②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）在中，当时，，即可得出答案； （2）①由题意得，，先求出，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； （2）解：由题意得：，， 将代入得：， 解得：， ∴， 如图所示： ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴矩形的面积为； ②当时，，此时矩形的面积为4的点只有两个； 当时，∵点在直线上， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，即或， ∵矩形的面积为4的点恰好有4个， ∴或， 解得：， 综上所述，若使矩形的面积为4的点恰好有4个，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．（2023·云南·模拟预测）若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理． 如：，是方程的两个根，则、 已知：M、N是方程的两根，记；，， (1)__________， __________；（直接写出答案） (2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值． 【答案】(1)1，3； (2)，证明见解析； 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到，即可得到，然后利用完全平方公式计算出即可； （2）观察（1）的计算结果可得到；由于方程的两根为，则原式，然后根据规律可计算出，从而得到原式的值． 【详解】（1）解：∵M、N是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：1，3； （2）解：，证明如下： ∵M、N是方程的两根， ∴， ∴，， ∴ ； 解方程得， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴， ∴原式． 5．（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中． (1)求证此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根是，，且，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握根与系数关系是解题的关键． （1）先把方程变为一般式，得到，根据勾股定理，即可得出，即可证明结论； （2）由，得出，根据根与系数的关系得出，结合化简得到，再代入得出，即得答案． 【详解】（1）证明：化简一元二次方程得，， ， a，b，c是的三条边， ，， ， 此方程有两个不相等的实数根； （2）方程的两个根是，， ，， ， ， 即， ， ， ， 化简得， ， ， ． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 7．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． $$