12.1　幂的运算 课件2024—2025学年华东师大版 数学八年级上册

第12章　整式的乘除 12.1　幂的运算 第1课时　同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法法则 am · an ＝ （ m 、 n 为正整数），即同底数幂相 乘， 不变，指数 ⁠. 同底数幂的乘法法则的推广： am · an · ap ＝ （ m 、 n 、 p 为正整数）. 2. 同底数幂的乘法法则的逆用 am＋ n ＝ （ m 、 n 为正整数）. am＋ n 　 底数　 相加　 am＋ n＋ p 　 am · an 　 知识导航 注意：①公式中的底数可以是单项式，也可以是多项 式，只要保证同底就可使用同底数幂的乘法法则.如： （ a － b ）3·（ a － b ）2＝（ a － b ）5； 知识导航 ②当底数不同时，要化成同底才可以，此时往往要注意 符号变化，在幂的运算中，经常用到以下变形： （－ a ） n ＝ （ a － b ） n ＝ 知识导航 题型一　同底数幂的乘法法则的运用　 计算： （1） a5· a2· a ； 解：原式＝ a5＋2＋1＝ a8. （2）100×104×1 000； 解：原式＝102×104×103 ＝102＋4＋3 ＝109. 典例导思 （3）－ a3·（－ a ）2·（－ a4）； 解：原式＝－ a3· a2·（－ a4） ＝ a3＋2＋4 ＝ a9. （4）（ x －2 y ）2·（2 y － x ）5. 解：原式＝（2 y － x ）2·（2 y － x ）5 ＝（2 y － x ）2＋5 ＝（2 y － x ）7. 典例导思 1. （2023·温州）计算 a4·（－ a ）3的结果是（　D　） A. a12 B. － a12 C. a7 D. － a7 2. 计算： （1）－ x3· x2＝ ⁠； （2）1 000×102×100＝ ⁠； （3） x3·（－ x ）2＝ ⁠； （4） a ·（－ a4）·（－ a5）＝ ⁠； （5）（ a － b ）·（ a － b ）3·（ b － a ）4＝ ⁠. D － x5　 107　 x5　 a10　 （ a － b ）8 典例导思 题型二　 同底数幂的乘法的综合运用 计算： （1）2 a3· a4＋ a5· a2－2 a6· a ； 解：原式＝2 a3＋4＋ a5＋2－2 a6＋1 ＝2 a7＋ a7－2 a7 ＝ a7. （2） a3 m · am－1＋（－ a ）2 m · a2 m－1； 解：原式＝ a4 m－1＋ a4 m－1 ＝2 a4 m－1. 典例导思 （3）（ x ＋ y ） n ·（ x ＋ y ） n＋1·（ x ＋ y ） m－1＋（ x ＋ y ）2 n＋1·（ x ＋ y ） m－1. 解：原式＝（ x ＋ y ） n＋ n＋1＋ m－1＋（ x ＋ y ）2 n＋1＋ m－1 ＝（ x ＋ y ）2 n＋ m ＋（ x ＋ y ）2 n＋ m ＝2（ x ＋ y ）2 n＋ m . 典例导思 （1）（2023·扬州）若2×23×22 n ＝210，则 n ＝ ⁠； （2）若 m ＋ n －3＝0，则2 m ·2 n ＝ ⁠. [方法总结] 混合运算时要注意运算顺序，还要正确地运 用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整 式的加减法的运算法则.在例2的第（3）小题中把“ x ＋ y ”看成一个整体. 3　 8　 典例导思 3. 计算下列各题： （1） an＋2· a · a2－ an · a3· a2； 解：原式＝ an＋5－ an＋5＝0. （2）（－ p ）·（－ p ）4－（－ p ）2· p3. 解：原式＝－ p5－ p5＝－2 p5. 典例导思 题型三　同底数幂的乘法法则逆用 （1）已知 am ＝2， an ＝5，求 am＋ n 的值； 解：（1）∵ am ＝2， an ＝5， ∴ am＋ n ＝ am · an ＝2×5＝10. 典例导思 （2）已知 xm ＝8， xm＋ n ＝120，求 xn 的值. 解：（2）∵ xm＋ n ＝ xm · xn ＝120，且 xm ＝8， ∴8· xn ＝120， ∴ xn ＝15. [思维点拨] 涉及含字母的幂的指数和的运算问题，一般 考虑逆用同底数幂的乘法法则，将指数和变成同底数幂 的乘积，整体代入解决. 典例导思 4. （2023·上海）在等式 a2·（－ a ）·（　　）＝ a11中， 括号内的代数式应是（　C　） A. a8 B. （－ a ）8 C. － a8 D. （－ a ）9 C 典例导思 5. （1）已知 am ＝3， an ＝5，则 am＋ n ＝ ⁠； （2）已知2 x ＝3，则2 x＋3的值为 ⁠. 15　 24　 典例导思 $$第12章　整式的乘除 12.1　幂的运算 第2课时　幂的乘方 1. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（ am ） n 表示 n 个 am 相乘，读作 a 的 m 次幂的 n 次方. 2. 幂的乘方法则 幂的乘方，底数 ，指数 .用公式表示 为：（ am ） n ＝ （ m 、 n 为正整数）. 不变　 相乘　 amn 　 知识导航 注意：（1）幂的乘方法则中的底数 a 可以是单项式，也 可以是多项式； （2）不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘 方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数 幂的乘法运算是转化为指数的加法运算（底数不变）； （3）幂的乘方法则对多重乘方仍然适用，即 ＝ （ m 、 n 、 p 为正整数）. amnp 　 知识导航 3. 幂的乘方法则的逆用 amn ＝ ＝ （ m 、 n 为正整数）. （ am ） n 　 （ an ） m 　 知识导航 题型一　幂的乘方法则的运用　 计算： （1）（－106）2； 解：原式＝106×2 ＝1012. （2）－ ； 解：原式＝－ y3×2 ＝－ y6. 典例导思 （3） ； 解：原式＝－ x3×3 ＝－ x9. （4） · ； 解：原式＝ a9· a12 ＝ a21. （5）[（ a － b ）2] m＋2·（ b － a ）3（ m 为正整数）. 解：原式＝（ a － b ）2 m＋4·[－（ a － b ）]3 ＝－（ a － b ）2 m＋7. 典例导思 已知9 m ×27 m ＝320，求 m 的值. 解：∵9 m ×27 m ＝（32） m ×（33） m ＝32 m ×33 m ＝35 m ＝320， ∴5 m ＝20， ∴ m ＝4. [误区点拨] 幂的乘方运算容易出现符号错误，计算时要 灵活应用“负数的奇次幂为负，偶次幂为正；互为相反 数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数”. 典例导思 1. 下列各式中计算正确的是（　C　） A. （ x4）3＝ x7 B. [（－ a ）2]5＝－ a10 D. （－ a2）3＝（－ a3）2＝－ a6 C 典例导思 2. （1）若2 m ＋3 n －4＝0，则4 m ×8 n 的值为 ⁠； （2）若3 x ＋5 y －3＝0，则8 x ·32 y ＝ ⁠. 16　 8　 典例导思 3. 计算下列各题： （1） · x2； 解：原式＝ x6· x2 ＝ x6＋2 ＝ x8. （2） · ； 解：原式＝ x3×4·（－ x4×3） ＝－ x12· x12 ＝－ x24. 典例导思 （3）[（－ a － b ）2]3·[（ a ＋ b ）3]2. 解：原式＝（ a ＋ b ）6·（ a ＋ b ）6 ＝（ a ＋ b ）12. 典例导思 题型二　幂的乘方法则的逆用　 填空： （1）若 x2 n ＝3，则 x10 n ＝ ⁠； （2）若10 m ＝2，10 n ＝3，则104 m＋3 n ＝ ⁠； （3）若（8 x ）4＝236，则 x ＝ ⁠； （4）若 x3 n ＝2（ n 为正整数），则（3 x3 n ）2＋（－2 x2 n ）3＝ ⁠. [方法点拨] 根据幂的乘方的逆运算，可把指数是积的形 式的幂写成幂的乘方，然后整体代入求值. 243　 432　 3　 4　 典例导思 4. y3 n＋1可写成（　C　） A. （ y3） n＋1 B. （ yn ）3＋1 C. y ·（ yn ）3 D. （ yn ）2 n＋1 5. （1）若3 n ＝2，则 ＝ ⁠； （2）已知 ＝3，则（ ）4的值为 ⁠； （3）已知 am ＝5， an ＝3，则 的值为 ⁠. C 72　 729　 675　 典例导思 $$第12章　整式的乘除 12.1　幂的运算 第3课时　积的乘方 1. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如（ ab ） n . 2. 积的乘方法则 积的乘方，把积的每一个因式 ，再把 ⁠ 相乘. 用公式表示为：（ ab ） n ＝ （ n 为正整数）. 分别乘方　 所 得的幂　 anbn 　 知识导航 注意：（1）公式中的 a 、 b 可以是单项式，也可以是多 项式； （2）在进行积的乘方运算时，应把底数的各因式分别 乘方，防止出现类似于（ ab ） n ＝ abn 的错误； （3）三个或三个以上的因式的积的乘方，也满足该法 则.如（ abc ） n ＝ （ n 为正整数）. anbncn 　 知识导航 3. 积的乘方法则的逆用 指数相同、底数不同的幂的乘积可转化为底数的积的乘 方形式，即 anbn ＝ （ n 为正整数）. 注意：逆用积的乘方法则的关键是将两个因式的指数化 为相同的数，再将底数相乘，然后乘方. （ ab ） n 　 知识导航 题型一　积的乘方法则的运用　 计算： （1）（－2 x2）3； 解：原式＝－8 x6. （2）（3×102）2； 解：原式＝32×（102）2＝9×104. 典例导思 （3）[－ a2· ]3； 解：原式＝－ · ＝－ a6·（－ a36）· b27 ＝ a42 b27. （4）（ anb3 n ）2＋（ a2 b6） n ； 解：原式＝（ an ）2·（ b3 n ）2＋（ a2） n ·（ b6） n ＝2 a2 nb6 n . 典例导思 （5）（3 m2 n ）2·（－2 m2）4·（－ n2）5； 解：原式＝9 m4 n2·16 m8·（－ n10） ＝－144 m12 n12. （6）（－3 a3）2－3 a5· a －（－2 a2）3. 解：原式＝9 a6－3 a6＋8 a6 ＝14 a6. 典例导思 1. （2023·江苏）计算（－ ab2）3的结果是（　D　） A. a3 b2 B. － a3 b2 C. a3 b6 D. － a3 b6 2. （1）若 a2 n ＝ ， bn ＝3，则（ ab ）4 n ＝ 　 　； （2）（－3×106）2＝ ⁠. D 　 9×1012　 典例导思 3. 计算： （1）（－6 x2）2＋（－3 x ）3· x ； 解：原式＝36 x4－27 x3· x ＝36 x4－27 x4 ＝9 x4. （2）（－ a3 b6）2－（－ a2 b4）3. 解：原式＝ a6 b12－（－ a6 b12） ＝ a6 b12＋ a6 b12 ＝2 a6 b12. 典例导思 题型二　积的乘方法则的逆用　 计算：（1） × ； 解：（1）原式＝ × × ＝（－1）99× ＝－ . 典例导思 （2）（－0.125）12× ×（－8）13× . 解： （2）原式＝ × ×（－8）13× ＝ ×（－8）× × × ＝（－8）× ＝－ . 典例导思 [分析] （1）先将－2 化成假分数，可看出－2 的相 反数与 互为倒数，再逆用积的乘方法则进行计算； （2）先将－0.125化成分数，－1 化成假分数，可看 出－0.125与－8、－1 与－ 互为倒数，再逆用同底 数幂的乘法法则将互为倒数的两数的指数化为相同， 则可逆用积的乘方法则 anbn ＝（ ab ） n ，转化成底数 为1的幂计算. 典例导思 4. （1） ×22 024＝ 　－ 　； （2） ×67× ＝ ⁠. 5. （1）若 x3＝－ a12 b6，则 x ＝ ⁠； （2）若2 x＋3·3 x＋3＝62 x－4，则 x ＝ ⁠. － 　 －18　 － a4 b2　 7　 典例导思 6. 用简便方法计算： （1） ×162 024； 解：原式＝－4. （2）0.259×0.220×259×643； 解：原式＝ . （3）（－0.125）2 024·（22 024）3· . 解：原式＝ . 典例导思 $$第12章　整式的乘除 12.1　幂的运算 第4课时　同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数 ，指数 .用公式 表示为： am ÷ an ＝ （ a ≠0， m 、 n 为正整 数，且 m ＞ n ）. 注意：（1）底数 a 不能为0，否则除数为0，除法没有意 义；单独的一个字母，指数是1，而不是0； （2）几个同底数幂相除，可以类似计算，即 am ÷ an ÷ ap ＝ （ a ≠0， m 、 n 、 p 为正整数，且 m ＞ n ＋ p ）； 不变　 相减　 am－ n 　 am－ n－ p 　 知识导航 （3）同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算， 应用时，不要混淆，但可以互相验算. 知识导航 2. 同底数幂的除法法则的逆用 指数相减的幂，可以转化为同底数幂的除法，即 am－ n ＝ （ a ≠0， m 、 n 为正整数，且 m ＞ n ）. am ÷ an 　 知识导航 题型一　同底数幂的除法法则的运用　 计算： （1） a5÷ a2； 解：原式＝ a5－2＝ a3. （2）（－ a ）8÷（－ a5）； 解：原式＝ a8÷（－ a5）＝－ a8－5＝－ a3. 典例导思 （3）（ a － b ）10÷（ b － a ）3÷（ b － a ）3； 解：原式＝（ b － a ）10÷（ b － a ）3÷（ b － a ）3 ＝（ b － a ）10－3－3 ＝（ b － a ）4. （4）（ a4）3·（ a3）5÷（－ a4）2； 解：原式＝ a12· a15÷ a8＝ a12＋15－8＝ a19. 典例导思 （5） x4· x5·（－ x ）7＋5 － ÷ x5. 解：原式＝ x4· x5·（－ x7）＋5 x16－ x21÷ x5 ＝－ x16＋5 x16－ x16 ＝3 x16. 典例导思 [方法总结] 应用同底数幂的除法法则进行计算的前提条 件是底数相同的幂相除.若底数不相同，则必须转化为 底数相同的幂，转化时，一定要注意符号，负数的奇次 幂为负，负数的偶次幂为正. 典例导思 1. 下列计算错误的有（　C　） ① a6÷ a3＝ a2；② y5÷ y2＝ y7；③ a3÷ a ＝ a3；④（－ c ）3÷（－ c ）＝－ c2；⑤ x10÷（ x4÷ x2）＝ x8. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 典例导思 2. 填空： （1）（ m － n ）8÷（ n － m ）3＝ ⁠； （2）（ x2 y ）6÷（ x2 y ）3＝ ⁠； （3） am＋ n ÷ ＝ am＋2； （4）16 n ÷4 n ＝ ⁠. （ n － m ）5　 x6 y3　 an－2　 4 n 　 典例导思 3. 计算： （1）（－ ab ）5÷（－ ab ）2； 解：原式＝（－ ab ）5－2 ＝（－ ab ）3 ＝－ a3 b3. （2）（ x －2 y ）10÷（2 y － x ）5÷（ x －2 y ）4； 解：原式＝（2 y － x ）10÷（2 y － x ）5÷（2 y － x ）4 ＝（2 y － x ）10－5－4 ＝2 y － x . 典例导思 （3）（－2 a ）3＋（ a4）2÷（－ a ）5. 解：原式＝－8 a3＋ a8÷（－ a5） ＝－8 a3－ a3 ＝－9 a3. 典例导思 题型二　同底数幂的除法法则的逆用　 已知 am ＝5， an ＝2，求 a2 m－3 n 的值. [分析] 逆用同底数幂的除法法则，可得 a2 m－3 n ＝ a2 m ÷ a3 n ，而 a2 m ＝ ， a3 n ＝ ，把 am ＝5， an ＝2代入求值即可. 解：原式＝ a2 m ÷ a3 n ＝ ÷ . 将 am ＝5， an ＝2代入上式，得 原式＝52÷23＝ . 典例导思 [误区点拨] 逆用同底数幂的除法法则时，不要出现 am－ n ＝ am － an 这种错误. 典例导思 4. （2023·辽宁）若10 m ＝5，10 n ＝3，则102 m－3 n 的值为 （　D　） A. B. C. 675 D. 5. （1）已知 am ＝16， am－ n ＝2，则 an ＝ ⁠； （2）若2 m ＝3，4 n ＝8，则 ＝ ⁠. D 8　 　 典例导思 $$