第二单元线与角（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

线与角 板块一：考点精讲 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．垂直与平行的特征及性质 【知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 板块二：高频考点 一、选择题 1．军军晚上开始做作业时，钟面上时针在7和8之间，分针刚好指向5。完成作业时，分针正好走了1个平角，那么军军是在（    ）完成作业的。 A．7：55 B．7：50 C．8：25 2．下列说法中，错误的是（    ）。 A．角的两条边是射线 B．在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 C．在梯形里，不平行的一组对边叫作梯形的上底和下底 3．下面图形中是线段的是（  ） A、 B、 C、 4．图中，不互相垂直的是（    ）。 A．线段AB和BC B．线段AB和CD C．线段AF和EF 5．下面说法正确的是（    ）。 A．一条射线长3000米 B．线段有两个端点 C．过一点只能画一条直线 6．用一个5倍的放大镜观察30度的角，这个角是（    ）。 A．30度 B．150度 C．35度 7．不能用一副三角板拼出的角是（    ）。 A．70° B．15° C．135° 二、填空题 8．要把木条固定在墙上至少需要钉( )颗钉子，根据是( )． 9．3时整，时针与分针的夹角是( )度，是( )角。 10．( )直角＝1平角，下图中有( )个直角。 11．比直角小35°的角是( )度，按角分它是( )角。 12．下图中，∠A＝( )度。 13．如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠1＝65°，则∠2＝( )°。 14．一个角是300，在5倍的放大镜下看这个角是( )度． 三、判断题 15．直线是无限长的，线段是有长度的。( ) 16．一个20°的角在放大10倍的放大镜下看是20°。( ) 17．一个角用5倍的放大镜看是100°，这个角实际大小是20°。( ) 18．2：30到2：50，分针走了120°。( ) 19．在同一平面内，过一点只能画一条直线与已知直线平行。( ) 20．一条直线有两个端点。( ) 21．把一张正方形的纸对折两次后展开，得到的折痕可能互相平行，也可能互相垂直。( ) 四、解答题 22．量出如图所示六边形每个角的度数，你能发现什么？ 23．用一张纸照下面的方法对折两次，再打开并压平．看一看几条折痕之间的位置有什么关系？ 24．乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？ 25．图中是两个完全一样的长方形，已知∠1＝50°，那么∠2是多少度？ 26．找出下图中互相平行的直线？ 27．若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数． 28．（1）如图1，已知：∠1=45°，求：∠2 （2）如图2，已知：∠1=90°，∠2=30°求：∠3等于多少度？ （3）如图3，已知：∠1=135°求：∠2、∠3、∠4各等于多少度？ 29．如图∠1＝50°，求∠2、∠3、∠4的度数。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C C B B A A 1．A 【分析】钟面分成12个大格，时针每走一个大格是1小时，分针每过一个大格是5分钟，时针指向7与8之间，说明7时多，分针指向5，说明是5×5＝25分钟，分针刚好走了1个180°角，6×30°＝180°，分针走了6大格，刚好走到11，5×11＝55分钟，由此得解。 【详解】5×5＝25（分）；时针指向7与8之间，分针指向5，此时的时刻为7时25分；完成作业时分针刚好走了1个180°角，分针刚好走到11，5×11＝55（分），军军是7时55分完成作业的。 故答案为：A 【点睛】本题考查的是熟练掌握钟面的认识，关键是明确每一大格的度数是30°。 2．C 【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论。 【详解】A．根据角的含义可知：角的两条边都是射线； B．根据平行线的含义可知：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； C．梯形是只有一组对边平行的四边形，在一组平行线中，较长的一条底边叫做下底，较短的一条底边叫做上底，原题说法错误。 故答案为：C 【点睛】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累。 3．C 【详解】因为C中图形有两个端点，所以是一条线段， 故答案为C. 【分析】根据直线、线段和射线的认识进行解答. 4．B 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，据此即可解题。 【详解】由分析可知： A．线段AB和BC互相垂直； B．线段AB和CD不互相垂直； C．线段AF和EF互相垂直； 所以不互相垂直的是线段AB和CD。 故答案为：B 5．B 【分析】线段的特征：有两个端点，不能向两端延伸，可以量出长度； 直线的特征：没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度； 射线的特征：只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度； 经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线；据此进行解答。 【详解】A．射线不能量出长度，所以原题的说法错误； B．线段有两个端点，此说法正确； C．经过一点可以画无数条直线，所以原题的说法错误。 故答案为：B 6．A 【分析】角的大小与边的长短没有关系，与两条边叉开的大小有关，用放大镜看角，放大后两边叉开的大小不变，因此度数也不变。 【详解】据分析可知： 用一个5倍的放大镜观察30度的角，这个角仍然是30度。 故答案为：A 7．A 【分析】一副三角尺中的角有：45°、45°、90°；60°、30°、90°。一副三角尺拼成的角有：45°＋60°＝105°；45°＋30°＝75°；45°＋90°＝135°；90°＋60°＝150°；90°＋30°＝120°；90°＋90°＝180°；45°－30°＝15°；据此解答。 【详解】A．不能拼成70°的角； B．45°－30°＝15°，能拼成15°的角； C．90°＋45°＝135°，能拼成135°的角。 故答案为：A 【点睛】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，能用一副三角尺画出的角都是15°的整数倍。 8． 2 两点确定一条直线 【详解】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 9． 90 直 【分析】钟面上有12个大格，每个大格的度数是：360度÷12＝30度，然后根据时针与分针之间的格子个数计算即可，根据角的度数就能知道是什么角。 【详解】3点整，时针指向3，分针指向12，此时时针与分钟之间夹角的格子数为3。 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30度。 3×30度＝90度，而直角＝90度。 因此3时整分针与时针的夹角是90度，是直角。 【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角大小。在此类问题中，可画出钟表图，根据时针和分针的位置快速判断。 10． 2 2 【分析】直角等于90度，平角等于180度，1平角等于2直角；观察上图可知，图形中有2个直角。 【详解】2直角＝1平角，下图中有2个直角。 【点睛】本题主要考查学生对角的分类知识的掌握和灵活运用。 11． 55 锐 【分析】直角等于90度，利用直角的度数减去35度即可，锐角小于直角，据此解答。 【详解】90°－35°＝55° 55°的角是一个锐角。 比直角小35°的角是55度，按角分它是锐角。 12．75 【分析】从上图可知：15度加上90度再加上∠A等于180度，则∠A等于（180－15－90）度。 【详解】180－15－90 ＝165－90 ＝75（度） ∠A＝75度。 【点睛】解决此类问题时，要善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角），以及它与各角之间的关系，利用已知角，求出未知角。 13．50 【分析】如图： 动手操作更直观一些，折叠后，我们发现新标的∠3和∠1合起来是一个平角，并且还发现∠3＝∠1＋∠2，已知∠1＝65°，那么∠3＝180°－65°＝115°，因此∠2＝115°－65°＝50°。 【详解】根据图示： 可知：∠3＋∠1＝180° ∠3＝∠1＋∠2 ∠1＝65° ∠3＝180°－65°＝115° ∠2＝115°－65°＝50° 【点睛】本题根据平角的定义和折叠的性质可得到结论。 14．30 【详解】试题分析：角的大小跟两条边张开的夹角的大小有关，所以用一个5倍的放大镜看一个30度的角，只是把角的两条边的长度放大了，度数不变，仍然是30度． 解：由分析知：一个5倍放大镜看一个30度的角，这个角是30度． 故答案为30． 点评：解答此题应根据角的意义和特征进行解答． 15．√ 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点，是有限长的。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点，是无限长的。据此判断即可。 【详解】根据直线和线段的定义，直线是无限长的，线段是有长度的。 故答案为：√。 【点睛】直线没有端点，是无限长的。线段有两个端点，是有限长的。 16．√ 【分析】根据角的大小和边长无关，和放大的倍数无关，只和两条边张开的度数有关来解答此题。 【详解】放大镜放大的只是角的两边长，但角的大小与它的边长大小无关，所以一个20°的角在放大10倍的放大镜下看还是20°； 故答案为：√ 【点睛】此题关键是记住角的大小和边长无关，更和放大无关，这是解答此题的关键。 17．× 【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角两边的开口大小，而角的大小由角两边的开口大小决定，据此解答。 【详解】一个角用5倍的放大镜看是100°，这个角实际大小是100°。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查角的度量，解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变边的长度，而不能改变角的两边叉开的大小。 18．√ 【分析】根据经过时间＝结束时间－开始时间，可知从2：30到2：50，经过了20分钟。时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。经过20分钟则分针走4个大格，共走了4×30°。 【详解】2时50分－2时30分＝20（分钟） 4×5＝20（分钟） 4×30°＝120° 则2：30到2：50，分针走了120°。 故答案为：√ 【点睛】本题考查钟表问题，明确钟面上每个大格是30°，是解决本题的关键。 19．× 【分析】平行线的平行公理是：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线相互平行。平行公理是平行线的存在性与唯一性，即过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，由此解答。 【详解】在同一平面内，没有强调过直线外一点，如果这点和这条直线重合，则不可以作已知直线的平行线。 故答案为：× 【点睛】本题考查平行线，掌握平行公理是解题的关键。 20．× 【分析】根据线段、射线和直线的特点：线段有2个端点，不能向两端延伸，可以测量长度；射线有一个端点，只能向一端无限延伸，不能测量长度；直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能测量长度；进行解答即可。 【详解】直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能测量长度，所以原题的说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查线段、射线和直线的特点，要熟练掌握。 21．√ 【分析】如果两次都朝一个方向折叠，折痕互相平行；如果两次都朝两个方向折叠即先上下折，然后再左右折，折痕互相垂直，据此解答。 【详解】根据分析画图如下： 所以把一张正方形纸对折再对折，打开后两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直。 故答案为：√ 【点睛】本题最好的解决办法是找一张纸亲自动手操作一下，问题就能迎刃而解。 22．120°；如果组成平面图形的边都相等，则它的内角都相等． 【详解】试题分析：依据用量角器测量角的方法，即可分别量出六边形每个角的度数，进而发现：正六边形的内角都相等，即等边对等角． 解：量得六边形每个角的度数都是120°； 可以发现：如果组成平面图形的边都相等，则它的内角都相等． 点评：此题主要考查用量角器测量角的方法，以及依据结论总结规律的能力． 23．2条折痕互相垂直. 【详解】解：2条折痕，这两条折痕互相垂直. 答：2条折痕互相垂直. 对折一次有一条折痕，再对折一次又有一次折痕，所以有2条折痕，这两条折痕相交成直角，所以2条折痕互相垂直. 24．160°；钝角 【分析】根据题意可知，用乐乐组成角的度数乘4后，再加12°，即可得到欢欢组成角的度数，依此计算并根据角的分类标准解答即可。 【详解】37°×4＋12° ＝148°＋12° ＝160° 160°是一个钝角。 答：这个角是160°，是钝角。 25．∠2是140° 【详解】∠2＝50°＋90°＝140° 答：∠2是140°． 26．直线L1与直线L3互相平行；直线L2和L6互相平行；直线L4、直线L5和直线L7互相平行 【分析】要想找出图中互相平行的直线，可以通过平移的方法用一把尺子和一个三角尺来解决。具体操作过程是先把三角尺的一条直角边与直线L1重合，然后把尺子紧靠三角尺的另一条直角边，尺子固定不动，把三角尺沿着尺子平移。在平移的过程中发现：三角尺上最初与直线L1重合的那条直角边与直线L3重合，说明直线L1与直线L3互相平行。同理可找到其余几组平行线。 【详解】由分析可知：直线L1与直线L3互相平行；直线L2和L6互相平行；直线L4、直线L5和直线L7互相平行。 【点睛】此题主要考查了平行线的定义，关键是注意两点：①在同一平面内；②不相交的两条直线。 27．60° 【详解】试题分析：利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的4倍”作为相等关系列方程求解即可． 解：设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x） 余角为（90°﹣x），由题意得： 180°﹣x=4（90°﹣x）， 180°﹣x=360°﹣4x， 4x﹣x=360°﹣180°， 3x=180°， x=60°． 答：这个角的度数为60°． 点评：主要考查了利用余角和补角的定义和一元一次方程的应用．解此题的关键是能准确的从题中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度． 28．135°；60°；135°，45°，45° 【详解】试题分析：（1）∠1和∠2组成的是平角， （2）∠1、∠2和∠3组成的是平角， （3）∠1和∠3组成平角，∠1和∠4组成的是平角，∠2和∠3组成的是平角． 解：（1）∠2=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°． （2）∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180﹣90°﹣30°=60°． （3）∠3=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°， ∠4=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°， ∠2=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°， 点评：本题的关键是根据图找出哪两两个角组成的是平角，再根据平角是180度进行求解． 29．∠2＝130°；∠3＝50°；∠4＝130° 【详解】∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130° ∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣130°＝50° ∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣50°＝130° 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$