11.1　平方根与立方根 第1课时　平方根 课件2024-2025学年 华东师大版 数学八年级上册

第11章　数的开方 11.1　平方根与立方根 第1课时　平方根 1. 平方根 （1）平方根的定义 如果一个数的 等于 a ，那么这个数叫做 a 的平 方根. 例如：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2. （2）平方根的性质 一个正数有 个平方根，它们 ；0 的平方根是 ；负数 平方根. 平方　 两　 互为相反数　 0　 没有　 知识导航 （3）平方根的表示方法 正数 a 的平方根，记作± ，读作 ，其 中 a 称为 ⁠. 正负根号 a 　 被开方数　 知识导航 （4）平方根的求法（开平方） 求一个非负数的 的运算，叫做开平方. ⁠ 与开平方互为逆运算. 注意：（1）求一个数的平方根，是指把所有平方之后 等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个 数的平方根，是看这个数平方后是否等于另一个数.二 者含义不同，要求不同，切勿混淆； （2）平方根等于它本身的数只有0. 平方根　 平 方　 知识导航 2. 算术平方根 （1）算术平方根的定义 正数 a 的 叫做 a 的算术平方根，记作 .0的平方根也叫做0的算术平方根，记作 　 　，即 ＝0. 例如：∵22＝4，∴4的算数平方根是2. 正的平方根　 　 知识导航 （2）算术平方根的性质 正数的算术平方根是一个 ，0的算术平方根 是 ，负数 算术平方根. 注意：（1）算术平方根等于它本身的数有0和1； （2）算术平方根 具有双重非负性：①被开方数 a 是 非负数；②算术平方根 本身是非负数. 正数　 0　 没有　 知识导航 题型一　求一个非负数的平方根　 求下列各数的平方根： （1）10 000；　 解：（1）∵1002＝10 000， ∴ ＝100， ∴10 000的平方根为± ＝±100. （2）0.49；　 解：（2）∵0.72＝0.49，∴ ＝0.7， ∴0.49的平方根为± ＝±0.7. 典例导思 （3）2 ；　 解：（3）2 ＝ . ∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ ， ∴2 的平方根为± ＝± . 典例导思 （4）（－4）2. [分析] 因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算 是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的 平方根. 解：（4）∵（－4）2＝16，而（±4）2＝16， ∴（－4）2的平方根为± ＝±4. 典例导思 [方法总结] 在求一个正数的平方根时，如果被开方数是 小数，要注意小数点的位置，也可以先将小数化成分 数，再求它的平方根；如果被开方数是带分数，要先将 带分数化成假分数. 典例导思 1. 下列说法中，正确的有（　B　） ①1的平方根是1；②－1的平方根是－1； ③0的平方根是0；④1是1的平方根. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 典例导思 2. （1）0.01的平方根是 ⁠； （2）一个正数的两个平方根分别是1－2 a 和 a －4，则 这个正数是 ⁠. ±0.1　 49　 典例导思 题型二　求一个非负数的算术平方根　 求下列各数的算术平方根： （1）1；　　　　　 解：（1）∵12＝1， ∴1的算术平方根是1，即 ＝1. （2）900；　　　 解：（2）∵302＝900， ∴900的算术平方根是30，即 ＝30. 典例导思 （3）0.36； 解：（3）∵0.62＝0.36， ∴0.36的算术平方根是0.6，即 ＝0.6. （4） ； 解：（4）∵ ＝ ＝ ， ∴ 的算术平方根是 ，即 ＝ . 典例导思 （5）3 ； 解：（5）∵3 ＝ ， ＝ ， ∴ 的算术平方根是 ，即 ＝ . 典例导思 解：（6）∵1002＝104， ∴104的算术平方根是100，即 ＝100. [思维点拨] 求一个带分数的算术平方根时，应先将带分 数化为假分数，再求其算术平方根. （6）104. [分析] 求一个正数 a 的算术平方根，就是确定一个正数 x ，使得 x2＝ a . 典例导思 3. 下列各式中正确的是（　B　） B 典例导思 4. 的算术平方根是 　 　. 5. 计算： （1） ； （2） ； 解：原式＝4. 解：原式＝0.1. 　 典例导思 （3） ； （4）－ . 解：原式＝ ＝5. 解：原式＝－ ＝－ . 典例导思 题型三　算术平方根非负性的应用　 （1）若 x 、 y 为有理数，且 ＋ ＝0， 则（ x ＋ y ）2 024的值为 ⁠； （2）已知 y ＝ ＋ －3，则2 xy 的值 为 ⁠. [方法总结] 任意一个非负数的算术平方根都是一个非负 数；几个非负数的和为零，则每个非负数都为零.我们 已经学过的非负数有偶次幂、绝对值、算术平方根等. 1　 －15　 典例导思 6. 若（2 x ＋ y －3）2＋ ＝0，则 x － y 的值 是 ⁠. 9　 典例导思 解：由题意，得 a －4＝0，2 b －12＝0，10－ c ＝0， ∴ a ＝8， b ＝6， c ＝10. 由直角三角形的面积相等，可得 ch ＝ ab ， ∴ h ＝4.8. 7. 已知直角三角形 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 ＋ ＋ ＝0，其中 a 、 b 为直角边，求斜 边 c 上的高 h . 典例导思 题型四　根据平方根的意义解方程　 求下列各式中 x 的值： （1） x2－16＝0； 解：∵ x2－16＝0，∴ x2＝16. ∴ x ＝± ＝±4. 典例导思 （2）9（3 x ＋1）2－64＝0. 解：∵9（3 x ＋1）2＝64，∴（3 x ＋1）2＝ . ∴3 x ＋1＝± ＝± . 当3 x ＋1＝ 时， x ＝ ； 当3 x ＋1＝－ 时， x ＝－ . 综上， x ＝ 或 x ＝－ . 典例导思 8. 求下列等式中 x 的值： （1）若 x2＝1.44，则 x ＝ ⁠； （2）若 x2＝169，则 x ＝ ⁠； （3）若 x2＝ ，则 x ＝ 　± 　； （4）若 x2＝（－2）2，则 x ＝ ⁠. ±1.2　 ±13　 ± 　 ±2　 典例导思 9. 求下列各式中 x 的值： （1）9 x2－25＝0； 解： x ＝± . （2）4（ x －2）2－81＝0. 解： x ＝ 或 x ＝－ . 典例导思 $$