广东省鹤山市第一中学2024-2025学年高二上学期数学科综练1（第3周）

鹤山一中2026届高二第一学期数学科综练1（第3周） 命题人：黄丽萍 审核：高二数学备课组 使用时间：2024年9月18日 一、单选题，每小题 5 分，共 40 分. 1．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（    ） 32  21  18  34  29  78  64  54  07  32  52  42  06  44  38  12  23  43  56  77  35  78  90  56  42 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68  96  08  04 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77  89  23  45 A．007 B．253 C．328 D．860 2．某工厂生产A，B，C,3种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中A种型号的产品有18件，则样本容量（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 3．给出下列四种说法： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时可使”是不可能事件； ③“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件； ④从装有8个红球，2个白球的袋中任取3球，事件“至少有一个红球”是随机事件； 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（    ） A．20 B．30 C．40 D．45 5．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体中，E为中点，则 异面直线与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的有（    ） A．从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18 D．若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为16 10．若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 11．如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点到直线的距离为定值 D．二面角的大小为 三、填空题。每小题 5 分，共 15 分. 12．为了了解某校学生的体重情况，采用随机抽样 的方法调查．将样本体重数据整理后，得到的 频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右 前三个矩形面积之比为1∶2∶3，第二小组频数 为12，则全校共抽取人数为 ． 13．已知，点是边上一点，若，则 . 14．在平面四边形中，，，，，，以直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，该几何体的体积为 ． 四、解答题 15．（13分）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 16．（15分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图． (1)求的值； (2)根据频率分布直方图，求众数和中位数（保留到小数点后一位）； (3)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在分数段抽取的人数； 17．（15分）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，. (1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积； (2)求该“阳马”的外接球的表面积. 18．（17分）2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中. (1)试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. (2)六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差. 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，，直线与所成的角 的大小为． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 鹤山一中2026届高二第一学期数学科综练1（第3周） 参考答案： 1．A 2．B 3．D 4．A 5、A 6．D 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 7．A 【详解】根据题意，在上的投影向量为：.故选：A 8．D 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得， 所以（或其补角）是异面直线与 所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中， ， 所以异面直线与 所成角的余弦值是.故选：D. 9．AC 【详解】对于A：从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是，故A正确； 对于B：已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则， 这组数据的方差为，B错误； 对于C：这组数据从小到大排列为：11，14，15，17，19，23，26，31，共8个，故其50%分位数为第4个数17和第5个数19的平均数，为18，故C正确； 对于D：若样本数据，，…，的标准差为4，则方差为16，故数据，，…，的方差为，标准差为8.故D错误.故选：AC 10．AD 【详解】对A： ，则，故A正确； 对于C：，故C错误； 对于B：，则向量与的夹角为，故B错误； 对D：在上的投影向量为，故D正确；选：AD 11．ABC 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，到直线的距离等于到的距离，由于为边长为的等边三角形， 故到的距离为，因此到直线的距离为定值，故C正确； 对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面， 故二面角的大小为，故D错误．故选：ABC． 12．48 13． 【详解】由题意，， 所以 .故答案为：. 14． 【详解】如图： 延长AD，过点作，垂足为E，则点到AD所在的直线的距离为CE， 由题设，，所以. 以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体， 可以看成以AE所在的直线为轴，旋转一周形成一个圆台AE，挖去一个圆锥DE的组合体， 其体积为圆台AE的体积减去圆锥DE的体积，分别为圆台上下底面的面积， 所以 .故答案为：. 15．【详解】（1），， ；（3分） （2）由，知与夹角的余弦值为；（6分） （3），（8分） 由与垂直，则，解得.（13分） 16．【详解】（1）由题意可得， 解得；（3分） （2）根据频率分布直方图可知，众数为75，（5分） 设中位数为，，得；（9分） （3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为． 又在分数段共有（人）， 因此在分数段抽取的人数是（人）．（15分） 17．【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形， 所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面， 所以四棱锥是一个“阳马”。（5分） 其体积；（8分） （2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，因为，. 长方体的对角线长为，则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为.（15分） 18．【详解】（1），， 所以，（3分） 所以满意度得分的平均值为，（6分） 因为，， 所以第百分位数位于第三个区间内， 所以第百分位数为分.（10分） （2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，则总样本平均数，（13分） 由方差的定义，样本总方差为： 所以， 所以总样本的平均数为，方差为.（17分） 19．【详解】（1）连接，设与相交于点，连接. 四边形是菱形，为的中点. 是棱的中点，.（3分） 又平面平面，平面.（5分） （2） 直线与所成的角为，且， 就是直线与所成的角或其补角. ，，，（7分） 在中，由正弦定理得，，即，解得. ，即，（11分） 从而. 四边形是菱形，且，, 是等边三角形，从而. 又，. ，从而.（15分） 又平面平面， 平面.（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$