第五章 一元一次方程 同步练 2024—2025学年人教版数学七年级上册

一元一次方程 (90分钟 100分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1下列各式中,是一元一次方程的是( ) A.1+2t B.1-2m=0 C.x2+x=1 D.+1=3 2关于x的方程2x-kx+1=5x-2的解为x=-1,则k的值为( ) A.10 B.-4 C.-6 D.-8 3下列运用等式的性质对等式进行的变形中,错误的是( ) A.若a=b,则ac=bc B.若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b C.若a=b,则= D.若x=y,则x-3=y-3 4(2023·重庆九龙坡区期末)如图,将一个长方形剪去一个宽为4的长条,再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形,若增加的与剪去的两个长条的面积相等,则这个相等的面积是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 5(2023·南充中考)《孙子算经》记载:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”(尺、寸是长度单位,1尺=10寸).意思是,现有一根长木,不知道其长短.用一根绳子去度量长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再度量长木,长木还剩余1尺.问长木长多少?设长木长为x尺,则可列方程为( ) A.(x+4.5)=x-1 B.(x+4.5)=x+1 C.(x-4.5)=x+1 D.(x-4.5)=x-1 6下列方程变形中,正确的是( ) A.方程3x-2=x+1,移项得3x-x=-1+2 B.方程4-x=3-2(x-1),去括号得4-x=3-2x+2 C.方程x=,系数化为1得x=1 D.方程-=1,整理得3(x-1)-2x=1 7(2024·阳泉期末)某电器商场购进一批冰箱,每台进价为2 000元,为了促进销售,商场决定所有商品按标价八折再减80元销售,若想按这种方式销售每台冰箱仍能获利10%,该冰箱的标价应是( ) A.2 280 B.2 850 C.2 880 D.3 000 8(2024·无锡期末)定义一种新运算:a⊕b=2a+b,a※b=a2b,则方程(x+1)⊕2=(3※x)-2的解是( ) A.x= B.x=-1 C.x= D.x=2 9(2024·天津期末)某城市按以下规定收取每月的煤气费,用气不超过60立方米,按每立方米0.8元收;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收,已知小明家某月共缴纳煤气费72元,那么他家这个月共用________立方米的煤气( )  A.90 B.78 C.98 D.80 10有一列数a1,a2,…,a1 000,其中任意三个相邻数的和都是4,其中a2=-4,a100=x-1,a900=2x,可得x的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(每小题4分,满分24分) 11已知方程(a-3)x|a|-2+1=0是关于x的一元一次方程,则关于y的方程ay+6=0的解是 .  12(2024·昭通期末)当x= 时,代数式x-2的值与1互为相反数.  13明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中记载了这样一道数学题:“八万三千短竹竿,将来要把笔头安,管三套五为期定,问君多少能完成?”用现代的话说就是:有83 000根短竹,每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个,怎样安排笔管或笔套的短竹的数量,使制成的笔管与笔套正好配套?设用于制作笔管的短竹数为x,则可列方程为 .  14若x=3是方程a-bx=4的解,则-6b+2a+2 023的值为 .  15小王在解关于x的方程2-=3a-2x时,误将-2x看作+2x,得方程的解x=1.此方程正确的解是 .  16一列火车匀速行驶,从车头进入隧道到车尾离开隧道需要45 s的时间,隧道长900 m,隧道的顶部有一盏灯在火车上垂直照射的时间为15 s,则火车的长为 m.  三、解答题(共46分) 17(8分)解方程 (1)5(x-5)-2(x+1)=3; (2)3x+=1-. 18(8分)如果关于x的方程=8-的解与方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解相同,求a的值. 19(8分)一项工程,甲队单独完成需40天,乙队单独完成需50天,现甲队单独做4天后两队合作. (1)求甲、乙合作多少天才能把该工程完成. (2)在(1)的条件下,甲队每天的施工费用为2 500元,乙队每天的施工费用为3 000元,求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元. 20(10分)(2024·连云港质检)如图,点A,B在数轴上表示的数分别为-12和8,两只蚂蚁M,N分别从A,B两点同时出发,相向而行.M的速度为2个单位长度/秒,N的速度为3个单位长度/秒. (1)运动 秒钟时,两只蚂蚁相遇在点P;点P在数轴上表示的数是 ;  (2)若运动t秒钟时,两只蚂蚁的距离为5,求出t的值(写出解题过程). 21(12分)某市公路自行车世界巡回赛开赛,有来自全国各地的多支顶级车队参赛,在本次赛事上,组委会把若干翻译志愿者分配给各车队.若每支车队分配3人,则多出10人,若每支车队分配4人,则还缺8人. (1)请问一共有多少支车队参赛? (2)组委会给每位参赛车手提供两张号码布和一个电子计时芯片,现有两家供应商提供了如下报价: ①若有a名选手参赛,请用含a的式子分别表示甲、乙两家供应商所需的费用; ②请你通过计算说明组委会选择哪个供应商比较省钱. 项目 号码布设计费 号码布制作费 电子计时芯片费用 甲供应商 300元 2.5元/张 45元/个 乙供应商 免费设计 3元/张 50元/个(购买数量超过60个时,超出部分打八折) 【附加题】(10分) 阅读理解: A,B,C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是【A,B】的好点,如图1,点C到点A的距离是2,点C到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点,但点C不是【B,A】的好点. 知识运用: (1)如图1.点A 【C,D】的好点.(请在横线上填“是”或“不是”)  (2)如图2.M,N,E为数轴上三点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.若点M是【N,E】的好点,则点E所对应的数是多少? 拓展提升: (3)如图3,A,B为数轴上两点,点A所表示的数为-20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以每秒5个单位长度的速度向左移动.当经过几秒时,点P、点A和点B中有一个点为其余两点的好点? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元一次方程 (90分钟 100分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1下列各式中,是一元一次方程的是(B) A.1+2t B.1-2m=0 C.x2+x=1 D.+1=3 2关于x的方程2x-kx+1=5x-2的解为x=-1,则k的值为(C) A.10 B.-4 C.-6 D.-8 3下列运用等式的性质对等式进行的变形中,错误的是(C) A.若a=b,则ac=bc B.若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b C.若a=b,则= D.若x=y,则x-3=y-3 4(2023·重庆九龙坡区期末)如图,将一个长方形剪去一个宽为4的长条,再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形,若增加的与剪去的两个长条的面积相等,则这个相等的面积是(B) A.6 B.8 C.10 D.12 5(2023·南充中考)《孙子算经》记载:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”(尺、寸是长度单位,1尺=10寸).意思是,现有一根长木,不知道其长短.用一根绳子去度量长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再度量长木,长木还剩余1尺.问长木长多少?设长木长为x尺,则可列方程为(A) A.(x+4.5)=x-1 B.(x+4.5)=x+1 C.(x-4.5)=x+1 D.(x-4.5)=x-1 6下列方程变形中,正确的是(B) A.方程3x-2=x+1,移项得3x-x=-1+2 B.方程4-x=3-2(x-1),去括号得4-x=3-2x+2 C.方程x=,系数化为1得x=1 D.方程-=1,整理得3(x-1)-2x=1 7(2024·阳泉期末)某电器商场购进一批冰箱,每台进价为2 000元,为了促进销售,商场决定所有商品按标价八折再减80元销售,若想按这种方式销售每台冰箱仍能获利10%,该冰箱的标价应是(B) A.2 280 B.2 850 C.2 880 D.3 000 8(2024·无锡期末)定义一种新运算:a⊕b=2a+b,a※b=a2b,则方程(x+1)⊕2=(3※x)-2的解是(C) A.x= B.x=-1 C.x= D.x=2 9(2024·天津期末)某城市按以下规定收取每月的煤气费,用气不超过60立方米,按每立方米0.8元收;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收,已知小明家某月共缴纳煤气费72元,那么他家这个月共用________立方米的煤气(D)  A.90 B.78 C.98 D.80 10有一列数a1,a2,…,a1 000,其中任意三个相邻数的和都是4,其中a2=-4,a100=x-1,a900=2x,可得x的值为(D) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(每小题4分,满分24分) 11已知方程(a-3)x|a|-2+1=0是关于x的一元一次方程,则关于y的方程ay+6=0的解是　y=2　.  12(2024·昭通期末)当x=　1　时,代数式x-2的值与1互为相反数.  13明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中记载了这样一道数学题:“八万三千短竹竿,将来要把笔头安,管三套五为期定,问君多少能完成?”用现代的话说就是:有83 000根短竹,每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个,怎样安排笔管或笔套的短竹的数量,使制成的笔管与笔套正好配套?设用于制作笔管的短竹数为x,则可列方程为　3x=5(83 000-x)　.  14若x=3是方程a-bx=4的解,则-6b+2a+2 023的值为　2 031　.  15小王在解关于x的方程2-=3a-2x时,误将-2x看作+2x,得方程的解x=1.此方程正确的解是　x=-2　.  16一列火车匀速行驶,从车头进入隧道到车尾离开隧道需要45 s的时间,隧道长900 m,隧道的顶部有一盏灯在火车上垂直照射的时间为15 s,则火车的长为 　450　m.  三、解答题(共46分) 17(8分)解方程 (1)5(x-5)-2(x+1)=3; 【解析】(1)去括号得5x-25-2x-2=3,移项合并得3x=30,解得x=10. (2)3x+=1-. 【解析】(2)去分母得18x+3x-3=6-4x+2,移项合并得25x=11,解得x=. 18(8分)如果关于x的方程=8-的解与方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解相同,求a的值. 【解析】解方程=8-,得x=10, 由题意,得4x-(3a+1)=6x+2a-1的解也为x=10, 代入得4×10-(3a+1)=6×10+2a-1.解得a=-4. 19(8分)一项工程,甲队单独完成需40天,乙队单独完成需50天,现甲队单独做4天后两队合作. (1)求甲、乙合作多少天才能把该工程完成. 【解析】(1)设甲、乙合作x天才能把该工程完成, 根据题意得×4+x=1, 解得x=20. 答:甲、乙合作20天才能把该工程完成. (2)在(1)的条件下,甲队每天的施工费用为2 500元,乙队每天的施工费用为3 000元,求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元. 【解析】(2)甲队的费用为2 500×(20+4)=60 000(元), 乙队的费用为3 000×20=60 000(元),60 000+60 000=120 000(元). 答:完成此项工程需付给甲、乙两队共120 000元. 20(10分)(2024·连云港质检)如图,点A,B在数轴上表示的数分别为-12和8,两只蚂蚁M,N分别从A,B两点同时出发,相向而行.M的速度为2个单位长度/秒,N的速度为3个单位长度/秒. (1)运动4秒钟时,两只蚂蚁相遇在点P;点P在数轴上表示的数是-4;  【解析】(1)设M,N运动的时间是t秒,则M表示的数是-12+2t,N表示是数是8-3t, 两只蚂蚁相遇在点P时,-12+2t=8-3t, 解得t=4,所以点P在数轴上表示的数是-12+2t=-12+2×4=-4, (2)若运动t秒钟时,两只蚂蚁的距离为5,求出t的值(写出解题过程). 【解析】(2)根据题意得:|(-12+2t)-(8-3t)|=5, 所以5t-20=5或5t-20=-5,解得t=5或t=3,所以t的值是5或3. 21(12分)某市公路自行车世界巡回赛开赛,有来自全国各地的多支顶级车队参赛,在本次赛事上,组委会把若干翻译志愿者分配给各车队.若每支车队分配3人,则多出10人,若每支车队分配4人,则还缺8人. (1)请问一共有多少支车队参赛? 【解析】(1)设一共有x支车队参赛, 依题意,得3x+10=4x-8,解得x=18. 答:一共有18支车队参赛. (2)组委会给每位参赛车手提供两张号码布和一个电子计时芯片,现有两家供应商提供了如下报价: ①若有a名选手参赛,请用含a的式子分别表示甲、乙两家供应商所需的费用; ②请你通过计算说明组委会选择哪个供应商比较省钱. 项目 号码布设计费 号码布制作费 电子计时芯片费用 甲供应商 300元 2.5元/张 45元/个 乙供应商 免费设计 3元/张 50元/个(购买数量超过60个时,超出部分打八折) 【解析】(2)①甲供应商所需费用:300+2×2.5a+45a=(50a+300)元, 乙供应商所需费用:当0<a≤60时,2×3a+50a=56a(元); 当a>60时,2×3a+50×60+(a-60)×50×0.8=(46a+600)元. 答:甲供应商所需的费用为(5a+300)元,当0<a≤60时,乙供应商所需的费用为56a元, 当a>60时,乙供应商所需的费用为(46a+600)元. ②当0<a≤60时,甲、乙供应商所需费用相等,则50a+300=56a,解得a=50, 所以50<a≤60时,甲供应商所需费用小于乙供应商所需费用; 0<a<50时,乙供应商所需费用小于甲供应商所需费用. 当a>60时,甲、乙供应商所需费用相等,则50a+300=46a+600,解得a=75, 所以60<a<75时,甲供应商所需费用小于乙供应商所需费用; a>75时,乙供应商所需费用小于甲供应商所需费用. 答:当a=50或a=75时选择甲供应商或者乙供应商都可以; 当50<a<75时,选择甲供应商比较省钱; 当0<a<50或a>75时,选择乙供应商比较省钱. 【附加题】(10分) 阅读理解: A,B,C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是【A,B】的好点,如图1,点C到点A的距离是2,点C到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点,但点C不是【B,A】的好点. 知识运用: (1)如图1.点A是【C,D】的好点.(请在横线上填“是”或“不是”)  【解析】(1)因为点A到点C的距离是2,点A到点D的距离是1, 所以点A是【C,D】的好点. (2)如图2.M,N,E为数轴上三点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.若点M是【N,E】的好点,则点E所对应的数是多少? 【解析】(2)设点E表示的数为x,依题意,得|-2-4|=2|-2-x|, 即-4-2x=6或4+2x=6,解得x=-5或x=1. 答:点E所对应的数是-5或1. 拓展提升: (3)如图3,A,B为数轴上两点,点A所表示的数为-20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以每秒5个单位长度的速度向左移动.当经过几秒时,点P、点A和点B中有一个点为其余两点的好点? 【解析】(3)当运动时间为t秒时,点P所表示的数为40-5t,则PB=|40-5t-40|=5t,AB=|-20-40|=60,AP=|-20-(40-5t)|=|60-5t|. 当点P为【A,B】的好点时,|60-5t|=2×5t,解得t=4或t=-12(不合题意,舍去); 当点P为【B,A】的好点时,5t=2|60-5t|,解得t=8或t=24; 当点A为【P,B】的好点时,|60-5t|=2×60,解得t=36或t=-12(不合题意,舍去); 当点A为【B,P】的好点时,60=2|60-5t|,解得t=6或t=18; 当点B为【P,A】的好点时,5t=2×60,解得t=24; 当点B为【A,P】的好点时,60=2×5t,解得t=6. 综上所述:经过4秒、6秒、8秒、18秒、24秒或36秒时,点P、点A和点B中有一个点为其余两点的好点. 学科网（北京）股份有限公司 $$