第10讲 逆命题和逆定理 （1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第10讲 逆命题和逆定理 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 题型强化 题型一．命题与定理 1．（2022秋•东阳市期中）在说明命题“若，则”是假命题的反例中，的值可以是 　　． 2．（2023秋•温州月考）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是　　 A． B． C． D．1 3．（2023秋•萧山区校级月考）如图，是的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①；②；③平分． （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“”的形式一一书写出来； （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 题型二、写出命题的逆命题 4．（2023八年级上·浙江·专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果，那么 C．若，则 D．相等的角是对顶角 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 6．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”． （1）请写出它的逆命题； （2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明． 分层练习 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 2．下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的形状相同 3．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．直角三角形的两锐角互余 4．下列各命题都成立，其中逆命题也成立的是（    ） A．若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．平行四边形的两组对边分别相等 5．下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．正方形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 6．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有 （  ） ①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a=b，则；⑤等腰三角形两底角相等. A．①② B．①⑤ C．③④ D．④⑤ 7．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的对应角相等 D．两条直线平行，同位角相等 8．下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A．两直线平行，同位角相等 B．等腰三角形两底角相等 C．两三角形全等，三对对应边相等 D．相反数的绝对值相等 9．下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等 B．如果a2=9，那么a=3 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 10．给出如下四个命题，其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） ①若，，则；    ②若，则； ③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④线段的垂直平分线上的点到线段两端点距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．命题“互为相反数的两个数之和等于0”的逆命题是 ． 12．命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是 ． 13．命题“末位数字是5的数，能被5整除”的逆命题是 ． 14．命题：“如果，那么”的逆命题是 ，如果，那么，该命题是 命题（填真或假）． 15．把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是 ，它是一个 命题（填“真”或“假”） 16．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 ；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ． 三、解答题 17．写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． (1)如果，，那么； (2)两直线平行，同旁内角互补． 18．请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．） 19．写出命题“等腰三角形底边上的角平分线与中线互相重合”的逆命题，并用推理的方法证明你所写的这个逆命题是真命题. 逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 证明： 20．求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 21．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 22．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 23．已知：如图，在中，AB=2AC，过点C作，交的平分线于点D．求证：． 24．小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． (2)补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 逆命题和逆定理 （1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 题型强化 题型一．命题与定理 1．（2022秋•东阳市期中）在说明命题“若，则”是假命题的反例中，的值可以是 　（答案不唯一）．　． 【分析】根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则解答． 【解答】解：当时，，而， “，则”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 2．（2023秋•温州月考）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是　　 A． B． C． D．1 【分析】能说明原命题是假命题的反例要满足，但不满足． 【解答】解：当时，满足，但不满足， 所以能说明原命题是假命题的反例是． 故选：． 【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3．（2023秋•萧山区校级月考）如图，是的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①；②；③平分． （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“”的形式一一书写出来； （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明． 【解答】解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：①②③；命题2：①③②；命题3：②③①． （2）解：选择命题2：①③②． 证明：，，． 平分，． ． 【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质，本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力． 题型二、写出命题的逆命题 4．（2023八年级上·浙江·专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角互补 B．如果，那么 C．若，则 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】写出每个命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，故A不符合题意； 如果，那么的逆命题是如果，那么，逆命题是真命题，故B不符合题意； 若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，故C符合题意； 相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，逆命题是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，，而， 故答案为：假． 6．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”． （1）请写出它的逆命题； （2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明． 【答案】（1）底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；（2）该逆命题是真命题，证明见解析． 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】（1）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；据此写出逆命题即可； （2）由（1）中写出的逆命题判断其真假，根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程即可． 【详解】（1）原命题的条件是：三角形是等腰三角形；结论是：底边上的高线和顶角的角平分线重合， ∴逆命题是：底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形． （2）该逆命题是真命题，证明如下： 如图，已知：△ABC中，AD是BC边的高线也是顶角∠BAC的角平分线． 求证：AB=AC． ∵AD是BC边的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△BAD和△CAD中，， ∴AB=AC． 【点睛】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分层练习 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】先写出逆命题，后结合对顶角的性质，平行线的性质和判定，乘方的运算，三角形的内角和定理，逐一判断正误即可． 【详解】解：A．逆命题：内错角相等，两直线平行， 该逆命题是真命题，故A符合题意； B．逆命题：若，则， ∵若，则， ∴该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．逆命题：三角形中有两个锐角的三角形是钝角三角形， 该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．逆命题：相等的角是对顶角，是假命题； ∴该逆命题是假命题，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 2．下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的对应角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．全等三角形的形状相同 【答案】C 【分析】根据逆命题的规则将每个命题改为逆命题，再根据命题的判定方法，全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：、逆命题为：面积相等的两个三角形全等，面积相等，不能判定两个三角形全等，故错误； 、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，三个角对应相等，不能判定两个三角形全等，故错误； 、逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，三条边对应相等，可以判定两个三角形全等，故正确； 、逆命题为：形状相同的两个三角形全等，形状相同，大小不同，不能判定两个三角形全等，故错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的逆命题的改写方法，真假命题的判定方法，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 3．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【分析】根据选项中的命题写出其逆命题，然后判断命题真假即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为如果两个角相等，则这两个角为对顶角，是假命题，不符合题意； B、全等三角形的对应角相等的逆命题为如果两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形全等，是假命题，不符合题意； C、如果，那么的逆命题为如果，那么，是假命题，不符合题意； D、直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，属于真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键． 4．下列各命题都成立，其中逆命题也成立的是（    ） A．若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．平行四边形的两组对边分别相等 【答案】D 【分析】分别找到各选项的逆命题进行判断即可. 【详解】A.的逆命题为若a+b＞0,则a＞0，b＞0，明显错误,没有考虑b为负数且绝对值小于a的情况, B. 的逆命题为相等的角都是对顶角,明显错误, C. 的逆命题为对应角相等的三角形为全等三角形,这是相似三角形的判定方法,故错误, D. 的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形,这是平行四边形的判定,正确. 故选D. 【点睛】本题考查了真假命题的判定,属于简单题,找到各命题的逆命题是解题关键. 5．下列命题的逆命题成立的是（　　） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．正方形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质、锐角三角形的定义、正方形的性质及平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、逆命题为相等的角是对顶角，不成立； B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立； C、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立； D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立， 故选D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 6．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的有 （  ） ①两直线平行，同旁内角互补；②等边三角形是锐角三角形；③两个图形关于某直线成轴对称，则这两个图形是全等图形；④若a=b，则；⑤等腰三角形两底角相等. A．①② B．①⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】B 【分析】分别写出各个命题的逆命题，判断真假即可． 【详解】解：①的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题； ②的逆命题是：锐角三角形是等边三角形，是假命题； ③的逆命题是：如果两个图形全等，那么这两个图形关于某直线成轴对称，是假命题； ④的逆命题是：若则a＝b，是假命题； ⑤的逆命题是：两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题． 故选：B. 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的对应角相等 D．两条直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】先写出各命题的逆命题，再根据对顶角、平方根、三角形全等的判定、平行线的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：相等的角是对顶角， 因为相等的角不一定是对顶角， 所以此逆命题不成立，不符合题意； B、逆命题：若，则， 因为，则， 所以此逆命题不成立，不符合题意； C、逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形， 因为对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形， 所以此逆命题不成立，不符合题意； D、逆命题：同位角相等，两条直线平行， 此逆命题成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了逆命题、对顶角、平方根、三角形全等的判定、平行线的判定，正确写出逆命题是解题关键． 8．下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A．两直线平行，同位角相等 B．等腰三角形两底角相等 C．两三角形全等，三对对应边相等 D．相反数的绝对值相等 【答案】D 【分析】根据各选项的逆命题进行判断即可． 【详解】A．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； B．等腰三角形两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题； C．两三角形全等，三对对应边相等的逆命题是三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； D．相反数的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个数是相反数，是假命题． 故选：D． 【点睛】本题考查了判断假命题的问题，掌握逆命题和假命题的定义以及性质是解题的关键． 9．下列命题中逆命题是假命题的是（ ） A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等 B．如果a2=9，那么a=3 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题； B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题； C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题； D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题． 故选C． 【点睛】此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可． 10．给出如下四个命题，其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） ①若，，则；    ②若，则； ③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④线段的垂直平分线上的点到线段两端点距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用不等式的性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的结论. 【详解】若,则,原命题正确,逆命题:如果,那么不一定正确,故不合题意; 若,则原命题错误,逆命题正确; 角的平分线上的点到角的两边的距离相等,原命题正确；逆命题为“到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，不一定正确，要加前提：在角的内部.所以逆命题错误. 线段的垂直平分线上的点到线段两端点距离相等,原命题与逆命题均正确. 故选A. 【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解不等式的性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质,难度不大. 二、填空题 11．命题“互为相反数的两个数之和等于0”的逆命题是 ． 【答案】和为0的两个数互为相反数 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两个数互为相反数”，结论是“和为0”， 故其逆命题是：和为0的两个数互为相反数， 故答案为：和为0的两个数互为相反数． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 12．命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题． 【详解】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”． 故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等； 【点睛】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 13．命题“末位数字是5的数，能被5整除”的逆命题是 ． 【答案】能被5整除的数，末位数字是5 【详解】试题分析：逆命题就是将原命题的条件作为逆命题结论，将原命题的结论作为逆命题的条件. 考点：逆命题 14．命题：“如果，那么”的逆命题是 ，如果，那么，该命题是 命题（填真或假）． 【答案】如果，那么；假 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的条件是“”，结论是“”， 故逆命题是如果，那么，该命题是假命题， 故答案为：如果，那么；假． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 15．把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是 ，它是一个 命题（填“真”或“假”） 【答案】 相等的两个角是对顶角 假 【分析】命题“对顶角相等”的条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，根据题意，把结论与题设互换即可． 【详解】把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是：相等的两个角是对顶角，是一个假命题， 故答案为相等的两个角是对顶角；假 【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是正确找出命题中的题设和结论 16．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 ；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【详解】试题解析：用互逆命题的概念可直接解答，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 故答案为互逆命题，逆命题． 三、解答题 17．写出下列命题的逆命题，并判断此逆命题真假． (1)如果，，那么； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)如果，那么，；假命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，逆命题．逆命题就是将原命题的条件和结论对换位置即可． （1）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法即可判断逆命题的真假； （2）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质即可判断逆命题的真假； 【详解】（1）如果，，那么为真命题， 其逆命题为：如果，则，，此逆命题为假命题． ∵如果，则，，或者，． （2）两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定逆命题为真命题． 18．请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．（提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题的证明，中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先根据题意，画出图形，写出已知和求证，通过构造等边三角形进行证明即可． 【详解】解：如图，已知在中，， 求证：； 证明：延长至点，使，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 19．写出命题“等腰三角形底边上的角平分线与中线互相重合”的逆命题，并用推理的方法证明你所写的这个逆命题是真命题. 逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 证明： 【答案】逆命题：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC 求证：△ABC是等腰三角形 证明：见解析 【分析】根据逆命题的概念写出逆命题；写出已知，求证，证明△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】定理“等腰三角形底边上的角平分线与中线互相重合”的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形； 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC， 求证：△ABC是等腰三角形 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）． ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形； 故答案为：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查命题与逆命题、全等三角形的判定（SAS）和性质，掌握逆命题的概念、全等三角形的判定定理（SAS）和性质定理是解题的关键． 20．求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度． 根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整． 已知：如图，在中，，______． 求证：______． 证明： 【答案】；．证明见解析 【分析】本题主要考查命题的证明，根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长至D，使得，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明． 【详解】解：根据直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则． 根据这条直角边所对的角等于30度，则． 延长至D，使得，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∵，且． ∴垂直平分 ∴， ∴， 则是等边三角形． ∴． ∴． 故答案为：，，（证明见上）． 21．如图，已知点、、、在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④ (1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：如果_______________，那么_______________．（填写序号） (2)证明（1）中命题的正确性． 【答案】(1)①②③，④ (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定． （1）根据题意利用①②③即可判定出，再利用全等性质及平行线性质即可得到④结论． （2）利用（1）中条件证明即可． 【详解】（1）解：真命题：如果，，，那么； ∴①②③，④； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴． 22．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 23．已知：如图，在中，AB=2AC，过点C作，交的平分线于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE=DC，根据AAS证△DEA≌△DCA，推出AE=AC，结合AB=2AC利用等腰三角形的性质证明即可． 【详解】解：过D作于点E， 又， 所以， 又AD平分， 所以， 又AD=AD， 故（AAS）， 所以AC=AE， 又AB=2AC， 故AE=BE， 所以DE垂直平分线段AB， 故DB=DA， 所以 即． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中． 24．小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． (2)补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作出线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【详解】（1）解：已知：在中，， 求证：． （2）证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴．（等边对等角） ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（直角三角形两锐角互余） ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了写出命题的已知，求证，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，直角三角形两锐角互余等等，正确根据题意作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$