专题01 一元二次方程（5个考点清单+15种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题01 一元二次方程（5个考点清单+15种题型解读） 【清单01 一元二次方程的相关概念】 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【清单02 一元二次方程的解法】 (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 （3）公式法：一元二次方程的根 （4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； 【清单03 根的判别式的应用】 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 【清单04 根与系数的关系】 ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． 【清单05 一元二次方程的应用】 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 考点2 多边形对角线问题 考点3 循环问题 考点4 传播问题 考点5 增减率问题 考点6 面积问题 考点7 利润问题 【考点题型一 一元二次方程的概念】 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式1-2】当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 【变式1-3】已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 【变式1-4】知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【考点题型二 一元二次方程的一般形式】 【例2】关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【变式2-1】若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式2-2】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【变式2-3】把方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 【变式2-4】把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【考点题型三 一元二次方程的解】 【例3】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（        ） A． B． C．2024 D．2028 【变式3-1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式3-2】已知，是一元二次方程的解，则的值为 【变式3-3】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式3-4】阅读理解： 材料1．若一元二次方程两根为，，则，． 材料2．已知实数，满足，，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， ． 解决问题： (1)一元二次方程的两根为，，则______，______． (2)已知实数满足，，且，求的值． 【考点题型四 直接开方法解一元二次方程】 【例4】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（   ） A． B．3 C．3或 D．0 【变式4-2】方程的解是 ． 【变式4-3】方程有实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【变式4-4】用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【考点题型五 配方法解一元二次方程】 【例5】用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知方程可以配方成的形式，那么 ． 【变式5-3】若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 【变式5-4】用配方法解一元二次方程： 【考点题型六 配方法的应用】 【例6】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式6-1】阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【变式6-2】当x取何值时，多项式有 （填最大值或最小值），其最大值或最小值是 ． 【变式6-3】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【变式6-4】先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【考点题型七 公式法解一元二次方程】 【例7】利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知关于x的方程有两个实数根，且都为正整数，则整数 ． 【变式7-3】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【变式7-4】解方程：． 【考点题型八 因式分解法解一元二次方程】 【例8】解关于的方程得（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】若实数x满足，则的值为（　　） A．8 B． C．8或 D．或2 【变式8-2】方程的解是 ． 【变式8-3】方程的实数根有 个. 【变式8-4】小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【考点题型九 换元法解一元二次方程】 【例9】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式9-1】若实数满足方程，那么的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2或 【变式9-2】若实数x满足，则 ． 【变式9-3】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为 ． 【变式9-4】阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【考点题型十 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例10】若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【变式10-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【变式10-2】已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ． 【变式10-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ． 【变式10-4】已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【考点题型十一 一元二次方程根与系数的关系】 【例11】已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 【变式10-2】已知，且满足，，那么的值为 . 【变式10-3】已知α，β是关于x的一元二次方程两个实根，且满足，则m的值为 ． 【变式10-4】阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【考点题型十二 一元二次方程应用之营销问题】 【例12】某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（    ）元 A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元 【变式11-1】某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（    ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【变式11-2】某水果店经销一种水果，进价为每千克40元．按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克，若要使每天的利润为9750元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价 元． 【变式11-3】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少 ？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2000元． 【变式11-4】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【考点题型十三 一元二次方程应用之图形几何问题】 【例13】如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式13-1】已知的长为2，以为边在的下方作正方形，取边上一点，以为边在的上方作正方形．过点作⊥，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【变式13-3】如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 【变式13-4】有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【考点题型十四 一元二次方程应用之动态几何问题】 【例14】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【变式14-1】如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（    ）    A． B． C．或 D． 【变式14-2】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【变式14-3】如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    【变式14-4】如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型十五 一元二次方程新定义问题】 【例15】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式15-1】对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 【变式15-3】对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【变式15-4】定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程（5个考点清单+15种题型解读） 【清单01 一元二次方程的相关概念】 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【清单02 一元二次方程的解法】 (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 （3）公式法：一元二次方程的根 （4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； 【清单03 根的判别式的应用】 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 【清单04 根与系数的关系】 ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． 【清单05 一元二次方程的应用】 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 考点2 多边形对角线问题 考点3 循环问题 考点4 传播问题 考点5 增减率问题 考点6 面积问题 考点7 利润问题 【考点题型一 一元二次方程的概念】 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-2】当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．注意：未知数的最高次数的系数不为根据一元二次方程和一元一次方程的定义计算即可． 【详解】解：当关于x的方程是一元二次方程时，，则． 当关于x的方程是一元一次方程时，且，则． 故答案是：；． 【变式1-3】已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程：据此列式代数计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元一次方程； （2）∵是一元二次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元二次方程． 【考点题型二 一元二次方程的一般形式】 【例2】关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，， 故选：A． 【变式2-1】若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 【变式2-2】把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 去括号得：， 即， 移项合并同类项得：， 即可化成， 故答案为：． 【变式2-3】把方程化成一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键在于熟知一元二次方程的一般式是形如的方程． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，． 【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解． 【详解】去括号，得 移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，． 【点睛】本题考查了一元二次方程一般式：，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项． 【考点题型三 一元二次方程的解】 【例3】已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（        ） A． B． C．2024 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，以及代数式求值，根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 故选：D． 【变式3-1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得，然后解关于b的方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得：． 故选：C． 【变式3-2】已知，是一元二次方程的解，则的值为 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值，从而得解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ， ∴， ． 故答案为：4． 【变式3-3】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【分析】此题主要考查了一元一次方程解的定义，求代数式的值．将代入方程之中得，再将整体代入之中即可得出答案． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 即， ． 故答案为：2027． 【变式3-4】阅读理解： 材料1．若一元二次方程两根为，，则，． 材料2．已知实数，满足，，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， ． 解决问题： (1)一元二次方程的两根为，，则______，______． (2)已知实数满足，，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，． （1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案； （2）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， 故答案为：4，； （2）解：∵实数满足，， ∴m，n是方程的两根， ∴，， ∴． 【考点题型四 直接开方法解一元二次方程】 【例4】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【变式4-1】已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（   ） A． B．3 C．3或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，把代入一元二次方程得，解得，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【详解】解：把代入一元二次方程得， 解得， 而， 所以． 故选：A． 【变式4-2】方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】方程有实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一）． 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式4-4】用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 【考点题型五 配方法解一元二次方程】 【例5】用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 【变式5-1】用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的一般步骤，准确计算．根据配方法解一元二次方程的方法进行解答即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同加上16得：， 此方程可变形为． 故选：D． 【变式5-2】已知方程可以配方成的形式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式5-3】若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线为， ∵ ∴图象不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 【变式5-4】用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：    或 所以原方程的解为，． 【考点题型六 配方法的应用】 【例6】问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 【变式6-1】阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查的是配方法的应用，把化为，再结合可得答案，掌握配方法的步骤与方法是解本题的关键． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴代数式有最大值． 故选D 【变式6-2】当x取何值时，多项式有 （填最大值或最小值），其最大值或最小值是 ． 【答案】 最大值 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴有最大值，最小值为， 故答案为：． 【变式6-3】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 【变式6-4】先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 【考点题型七 公式法解一元二次方程】 【例7】利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 【变式7-1】若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 【变式7-2】已知关于x的方程有两个实数根，且都为正整数，则整数 ． 【答案】或 【分析】求出方程的解为，，根据方程有两个实数根，且都为正整数，可得m值． 【详解】解：， 则，，， 则， ∴， 解得：，， ∵方程有两个实数根， ∴， ∵方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出方程的解． 【变式7-3】用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答． 【详解】解：根据与，可得， 从而得到一元二次方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键． 【变式7-4】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴， ∴． 【考点题型八 因式分解法解一元二次方程】 【例8】解关于的方程得（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可． 直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选B． 【变式8-1】若实数x满足，则的值为（　　） A．8 B． C．8或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，把看成一个整体，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得，， ∴，， ∴，（满足此式实数不存在，舍去）， 故选：A． 【变式8-2】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，先移项，然后再提公因式即可解答此方程． 【详解】解：， ， ， ， ∴或 解得，，， 故答案为：， 【变式8-3】方程的实数根有 个. 【答案】3 【分析】 本题主要考查了确定方程的根，根据两个因式的积等于0，可得或，再求出解即可． 【详解】根据题意可知或， 即， 解得， ∴或， 该方程的实数根有3个． 故答案为：3． 【变式8-4】小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 【考点题型九 换元法解一元二次方程】 【例9】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 【变式9-1】若实数满足方程，那么的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2或 【答案】B 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程．设，则原方程转化为关于y的新方程，通过解新方程来求y的值，即的值． 【详解】解：设， 原方程变形为， 整理得：， 解得：， 当时，， 即， 此时； 当时，， 即， 此时； 此时方程无解； ∴． 故选：B 【变式9-2】若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设，则原方程换元为，即，可得，即可求解． 【详解】设，则原方程换元为，即， ∴， 解得：， 即或（无实数根，舍去）， ∴． 故答案为：6． 【变式9-3】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，关键是明确方程各分式与的关系，将代入即可． 【详解】解： ∵，设 根据题中所设可得原方程变形为． 故答案为． 【变式9-4】阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程化为：，得出方程的解，当时，当时，代入原方程即可求解，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的一般步骤． 【详解】解：设，则：， 原方程化为：， 解得：，， 当时，，即：， 解得：，， 当时，，即：（舍去）， ∴原方程的解为，． 【考点题型十 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例10】若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 【变式10-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键．根据题意得到且即可得到答案． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 【变式10-2】已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 【变式10-3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：原方程变形得：， 根据题意得且， 解得且． 即实数k的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式10-4】已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值． 【详解】（1）证明：当时，方程为一元二次方程，， 一元二次方程有两个实数根． 当时，方程为，有实数根． 综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根． （2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即． 由根与系数关系得到：， 又和为整数，且为正整数， ∴，解之得：， 经检验，此时符合题意． 【考点题型十一 一元二次方程根与系数的关系】 【例11】已知，是方程的两个实数根，则的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 故选：． 【变式11-1】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：D 【变式10-2】已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 【变式10-3】已知α，β是关于x的一元二次方程两个实根，且满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．利用根与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题是解决本题的关键． α，β是关于x的一元二次方程的两个实数根，有， ，且代入可得．即可得到关于m的方程，从而求解． 【详解】∵一元二次方程有两个实数根α，β． ∴， 解之得且， 而，， 又， ∴， 解之得， 经检验都是原方程的根． ∵， ∴不合题意，舍去， ∴m的值为． 故答案为：． 【变式10-4】阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 由①知， ∴． 【考点题型十二 一元二次方程应用之营销问题】 【例12】某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（    ）元 A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元 【答案】A 【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元，可列方程求解； 【详解】解：设每千克水果涨了x元，根据题意，得 ， 解得或． 因为同时又要使顾客得到最大优惠，所以应该上涨5元． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及理解题意的能力，关键是以利润作为等量关系列方程求解． 【变式11-1】某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（    ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【答案】A 【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案． 【详解】设商店的获利为元， 得， 当时，， 得， ， 解方程得元或元， 当元，， ∴元舍去， ∴元， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识． 【变式11-2】某水果店经销一种水果，进价为每千克40元．按每千克60元的价格出售，每天可售出400千克，当售价每千克降低1元时，则每天销量可增加50千克，若要使每天的利润为9750元，又要尽快减少库存，则每千克水果应降价 元． 【答案】7 【分析】设每千克这种水果应降价元，由题意：使每天的利润为9750元，列出一元二次方程， 【详解】解：设每千克这种水果应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 要尽快减少库存， ， ∴每千克这种水果应降价7元． 故答案为：7 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式11-3】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少 ？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2000元． 【答案】 1692 25 【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【详解】解：（1）当天盈利：（元）； 故答案为：1692． （2）设每件商品降价x元， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键． 【变式11-4】一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 【考点题型十三 一元二次方程应用之图形几何问题】 【例13】如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽米，小路的面积一个长32宽的矩形面积一个长20宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽米， 则． ． 故选：D． 【变式13-1】已知的长为2，以为边在的下方作正方形，取边上一点，以为边在的上方作正方形．过点作⊥，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．设，则可求出，，再根据正方形与四边形的面积相等，结合正方形和矩形的面积公式，可列出关于x的方程，解出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，四边形为矩形， ∴， ∴，．　 ∵正方形与四边形的面积相等， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 故选B． 【变式13-2】如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 【变式13-3】如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故答案为：． 【变式13-4】有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图1，在铁皮的四个角截去四个边长一样的正方形后，将其折成无盖长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个侧面积的最大值和此时剪掉正方形的边长；如果没有，说明理由． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长． 【答案】(1)①裁去的正方形边长为；②有，裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为 (2)裁去的左侧正方形的边长为 【分析】本题主要考查了一元二次的应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可； ②根据题意表示出侧面积，然后配方根据平方的非负性求解即可； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）①设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的正方形边长为； ②侧面积为长方体盒子总面积减去底面积， 即 配方得 ， 即最大值为200，此时 答：裁掉的正方形的边长为时，侧面积最大值为； （2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：裁去的左侧正方形的边长为． 【考点题型十四 一元二次方程应用之动态几何问题】 【例14】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 【变式14-1】如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】解：设交于H，交于点G，    由平移的性质知，， ∴四边形是平行四边形， ∵由正方形的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， 同理，也是等腰直角三角形， 设，则阴影部分的底长为x，高， ∴， ∴． 即． 故选：D． 【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键. 【变式14-2】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 【变式14-3】如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．    【答案】或18 【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米， ①当在上时， 有厘米，厘米，厘米， ， ，即， 整理得，解得（不合题意，舍去），． ②当在上时， 则厘米，厘米， ， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或18． 故答案为：或18． 【变式14-4】如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 【考点题型十五 一元二次方程新定义问题】 【例15】在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 【变式15-1】对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．熟练掌握：一元二次方程有实数根，即，是解题的关键． 由题意知，，整理得，，由一元二次方程有实数根，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式15-2】新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 【答案】 是 4或16/16或4 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”； （2）解方程， 可得，， ∵是“倍根方程”， ∴当是8的2倍时，即有， 当8是的2倍时，即有． 故答案为：（1）是；（2）4或16． 【变式15-3】对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 【变式15-4】定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司47 学科网（北京）股份有限公司 $$