专题02 对称图形-圆（8个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题02 对称图形—圆（8个考点清单+16种题型解读） 【清单01 圆的相关概念】 圆的定义 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 弦、弧、圆心角 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【清单02 垂径定理】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【清单03 确定圆的条件】 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 【清单4 圆周角】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 圆内接四边形： 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【清单05 直线和圆的位置关系】 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 圆和圆的位置关系的定义、性质及判定 位置关系 图形 定义 性质及判定 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外离 外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外切 相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交 内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． 两圆内切 内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 两圆内含 【清单06 正多边形与圆】 正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【清单07 弧长及扇形的面积】 （一）弧长 弧长公式： （二）扇形面积的计算 扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 【清单08 圆锥的侧面积与全面积】 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【考点题型一 圆的基本概念】 【例1】如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【变式1-3】如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 ． 【变式1-4】如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．    【考点题型二 利用垂径定理求值】 【例2】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【变式2-3】如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．    【变式2-4】如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【考点题型三 垂径定理的实际应用】 【例3】如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-1】一辆装满货物，宽的卡车，欲通过如图所示的隧道（截面上部为半圆形，下部为长，宽的长方形），则卡车装满货物后的高度必须低于（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众． 【变式3-3】只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm．    【变式3-4】问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 【考点题型四 确定圆的条件】 【例4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【变式4-3】平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为 ． 【变式4-4】如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给平面直角坐标系中解答下列问题： (1)将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的； (2)请直接写出经过、、三点的的圆心的坐标______． 【考点题型五 圆周角定理】 【例5】如图，圆内接四边形中，连接，，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，、是的两条互相垂直的弦，圆心角，，的延长线相交于P， 度． 【变式5-3】如图，中，弦与半径相交于点D，连接．若，，则 ． 【变式5-4】课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【考点题型六 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例6】如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式6-1】如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，为直径，，，则 ．    【变式6-3】如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【变式6-4】如图，在三角形中，． (1)作，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） (2)在（1）所作的中，若，求的长． 【考点题型七 圆内接四边形】 【例7】如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【变式7-3】如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是 ． 【变式7-4】如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 【考点题型八 点与圆、直线与圆的位置关系】 【例8】已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【变式8-3】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【变式8-3】材料：在平面直角坐标系中，已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算．例如：求点到直线的距离，因为直线，其中，，所以点到直线的距离为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)已知的圆心坐标为，半径r为3，判断与直线的位置关系，并说明理由． 【考点题型九 切线长定理】 【例9】如图，中，，，，是的外接圆，D为圆上一点，连接且，过点C作的切线与的延长线交于点E，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式9-1】如图，是⊙上的两点，连接并延长到，与⊙相切于点，且，若，则（    ）    A． B． C． D．4 【变式9-2】如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    【变式9-3】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为，则的值为 ．    【变式9-4】如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【考点题型十 三角形内心有关应用】 【例10】如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式10-2】如图，点分别是锐角的外心、内心，若，则 ° 【变式10-3】如图，点D是的内心，的延长线和的外接圆相交于点E，连接，，且； （1）的度数为 ； （2）的度数为 ． 【变式10-4】如图，内接于为直径，I是的内心，的延长线交于点D． (1)求证：； (2)连结，，若，求的长． 【考点题型十一 正多边形与圆】 【例11】如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 【变式11-3】如图，，，，，是正五边形的外接圆的切线，则 度． 【变式11-4】如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 【考点题型十二 弧长】 【例12】如图所示，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式12-2】如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 【变式12-3】如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为，传送带与水平面成角。假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是 （传送带厚度忽略不计）． 【变式12-4】如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求弧的长． 【考点题型十三 扇形面积】 【例13】如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【变式13-3】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【变式13-4】如图，已知是直径，且，C，D是上的点，，交于点E，连接，． (1)求的度数； (2)求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留π）． 【考点题型十四 圆锥的侧面积】 【例14】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【变式14-1】如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式14-2】如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【变式14-3】如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ． 【变式14-4】如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【考点题型十五 圆中最值问题】 【例15】如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【变式15-2】如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，点在线段上，且，点为边上一动点，则的最小值为 ． 【变式15-3】如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【变式15-4】已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【考点题型十六 圆综合问题】 【例16】如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【变式16-1】如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 【变式16-2】如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于 度． 【变式16-3】如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【变式16-4】如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 对称图形—圆（8个考点清单+16种题型解读） 【清单01 圆的相关概念】 圆的定义 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 弦、弧、圆心角 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 【清单02 垂径定理】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【清单03 确定圆的条件】 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 【清单4 圆周角】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 圆内接四边形： 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【清单05 直线和圆的位置关系】 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 圆和圆的位置关系的定义、性质及判定 位置关系 图形 定义 性质及判定 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外离 外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外切 相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交 内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． 两圆内切 内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 两圆内含 【清单06 正多边形与圆】 正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【清单07 弧长及扇形的面积】 （一）弧长 弧长公式： （二）扇形面积的计算 扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 【清单08 圆锥的侧面积与全面积】 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【考点题型一 圆的基本概念】 【例1】如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可； 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键． 【变式1-1】如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 故选C． 【点睛】本题考查圆的基本认识，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是证明是等腰直角三角形． 【变式1-2】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 【变式1-3】如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据题意得到点C的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，则是的中位线，即可得到，从而得到最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线，据此求解即可． 【详解】解：∵C为坐标平面内一点，， ∴点C的运动轨迹是在半径为2的上， 如图，取，连接， ∵点M为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴最大值时，取最大值，此时D、B、C三点共线， 此时在中，， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，坐标与图形，中位线定理，正确作出辅助线构造中位线是解题的关键． 【变式1-4】如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，进而根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得的度数，从而利用三角形的外角的性质，由求解即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型二 利用垂径定理求值】 【例2】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理及推论、矩形性质等知识点，如图：连接，过O点作、垂足为M，构造出直角三角形，再利用垂径定理和勾股定理求解即可．灵活运用垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：如图：过O点作，垂足为M，连接， ∵四边形是矩形， ∴. 设,则, 在直角三角形中，，即，解得，即球的半径为． 故选C． 【变式2-1】如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，面积最大，先求出AB，再求出CH，求面积即可． 【详解】解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO． 当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，故 面积最大 ∵点C运动到优弧中点 ∴,且 ∵将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心， ∴OH=HM ∵的半径为 ∴， ∴在中，利用勾股定理得：， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的点和线段的长度． 【变式2-2】已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案, 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知当点C，O，G共线时，最小，最大，再根据勾股定理求出，进而根据三角形的面积求出，然后根据垂径定理和勾股定理可求出最大值． 【详解】过点O作于点G，连接．    ∵， ∴． 当点C，O，G，在一条直线上时最小， 连接， ∵， ∴只有最小，才能最大，从而有最大值． 作，于点F， ∴G和F重合时，有最大值． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理等，弄清取最小值才能使最大是解题的关键． 【变式2-4】如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】(1) (2)点P位置建详解； 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 【详解】（1）连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 【考点题型三 垂径定理的实际应用】 【例3】如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 【变式3-1】一辆装满货物，宽的卡车，欲通过如图所示的隧道（截面上部为半圆形，下部为长，宽的长方形），则卡车装满货物后的高度必须低于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出的长，进而得出的长，即可得出答案 【详解】解：车宽米， 欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线米处的高度与车高， 在中，由勾股定理可得： （）， 米， 卡车的外形高必须低于米 故选：. 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出的长是解题关键. 【变式3-2】为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众． 【答案】150 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作于G，交弧于H，连接，利用垂径定理求出，设半圆的半径为r，在中，利用勾股定理求出半径，从而可求矩形的面积，即可求解． 【详解】解：过O作于G，交弧于H，连接， 则，， ∵，， ∴， 设半圆的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴正方形边长， ∴， ∴矩形的面积为， ∵每平方米最多可以坐3名观众，， ∴观演区可容纳人， 故答案为：150． 【变式3-3】只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为 cm．    【答案】10 【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可． 【详解】解：设圆心为O，为纸条宽，连接，，    则，， ∴，， 设，则， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴半径， 即直径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键． 【变式3-4】问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）          问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米） 【答案】(1)； (2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解； （2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，， ∵， ∴； （2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴(米)， 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米． 【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【考点题型四 确定圆的条件】 【例4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点，则满足： ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥x轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=-1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为-1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可． 【详解】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3）， ∴直线BC∥x轴， ∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1， ∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， ∴△ABC外心的纵坐标为-1， 设△ABC的外心为P（a，-1）， ∴， ∴， 解得， ∴△ABC外心的坐标为（-2，-1）， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 【变式4-3】平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】设的外心坐标为点，由三角形的外心到三个顶点的距离相等列出等量关系式，求出点P坐标，即可求解． 【详解】解：设的外心坐标为点，则， ，，， 即解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心知识以及解直角三角形，掌握三角形的外心到三个顶点的距离相等是解题的关键． 【变式4-4】如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给平面直角坐标系中解答下列问题： (1)将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的； (2)请直接写出经过、、三点的的圆心的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质将点绕点逆时针旋转得到，画出即可； （2）根据，进而证明是直角三角形，且，得出经过、、三点的的圆心的坐标． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴经过、、三点的的圆心在的中点， ∵ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画旋转图形，求特殊三角形的外心坐标，勾股定理与网格问题，掌握以上知识是解题的关键． 【考点题型五 圆周角定理】 【例5】如图，圆内接四边形中，连接，，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角等知识点． 先求出的度数，然后根据求解即可． 【详解】解： ， ， ， 又， ． 故选：A． 【变式5-1】如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键．连接，由圆周角定理可得，，从而可求得，再由圆的内接四边形对角互补得到即可． 【详解】解：如图，连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 故选C 【变式5-2】如图，、是的两条互相垂直的弦，圆心角，，的延长线相交于P， 度． 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质，先根据圆周角定理求出，再根据直角三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】设与交于点E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：40． 【变式5-3】如图，中，弦与半径相交于点D，连接．若，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理及三角形外角的性质.根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，解出是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理： （1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； ②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解； 添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）为的直径， ， 在中，，， ， 是的角平分线， ， ， 在中，， ； （2）①连接，延长交与点，如图： 为的直径， ， 是的角平分线，且， ， ， ，（公共边）， ， ， ，, 直线垂直平分; ②由（1）得：， 由①得：，点是的中点， 是的中位线， ， ． 【考点题型六 90度的圆周角所对的弦是直径】 【例6】如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案． 【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上， 连接交圆O与点N， ∵点B为圆O外一点， ∴当直线过圆心O时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对　圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 【变式6-1】如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标． 【详解】解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD， ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙A的直径， 即CD＝10， ∵∠OBC＝30°， ∴∠ODC＝30°， ∴OC＝CD＝5， ∴点C的坐标为：（0，5）． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 【变式6-2】如图，在中，为直径，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】，， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此能求出结果． 【详解】解：与点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， 此时， 的半径为， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 【变式6-4】如图，在三角形中，． (1)作，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） (2)在（1）所作的中，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆即可； （2）先判断为等边三角形，得出，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图，连接， ∵ ，又 ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴, ∴ 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【考点题型七 圆内接四边形】 【例7】如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形内接于，得到；根据得到，利用三角形内角和定理计算，再运用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理，圆的内接四边形性质是解题的关键． 【详解】∵四边形内接于，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式7-1】如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、折叠的性质、圆内接四边形的性质，根据题意，做出合适的辅助线，然后根据圆内接四边形对角互补和折叠的性质，可以求得的度数． 【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，   为直径， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 故选：A． 【变式7-2】如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 【变式7-3】如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故答案为：． 【变式7-4】如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查圆内接四边形及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，结合邻补角即可证明； （2）①根据等边对等角得出，再由等量代换确定，再由等角对等边即可证明； ②作于K，交的延长线于点M，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形等面积法得出，结合图形利用勾股定理及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是内接四边形， ∴， 又， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴； ②解：作于K，交的延长线于点M， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（SAS）， ∴． 【考点题型八 点与圆、直线与圆的位置关系】 【例8】已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 【变式8-1】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式8-2】已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系， 根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d， ∴直线l与相切或相交， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】如图，的半径是3，点A在上，点P是所在平面内一点，且，过点P作直线l，使． （1）点O到直线l距离的最大值为 ； （2）若点M，N是直线l与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 5 【分析】（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，于是得到结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1， ， 当点在圆外且，，三点共线时，点到直线的距离最大， 最大值为； （2）如图2，，是直线与的公共点，当线段的长度最大时， 线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 【变式8-3】材料：在平面直角坐标系中，已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式计算．例如：求点到直线的距离，因为直线，其中，，所以点到直线的距离为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点到直线的距离； (2)已知的圆心坐标为，半径r为3，判断与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相交，理由见解析 【分析】（1）将点直接代入距离公式计算． （2）计算圆心到直线的距离，将距离与半径比较，判断圆与直线之间的关系． 【详解】（1）解：由题意可得： 点到直线的距离为：； （2）与直线的位置关系为相交．理由如下： 圆心到直线的距离为：． 的半径，即， 与直线相交． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式应用，解题关键是能够理解题目中距离的计算公式求得点与直线的距离． 【考点题型九 切线长定理】 【例9】如图，中，，，，是的外接圆，D为圆上一点，连接且，过点C作的切线与的延长线交于点E，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质．连接，根据切线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，，再由，可得，然后根据，可得到，从而得到，进而得到，然后根据 直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：D 【变式9-1】如图，是⊙上的两点，连接并延长到，与⊙相切于点，且，若，则（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再证明四边形为矩形，易得，，进而可知，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵与⊙相切于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 【变式9-2】如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，   是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题．解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值，并利用了数形结合的思想．首先根据题意取中点，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：方法一、如图所示、取中点，连接和，设的半径为，    ∵点为的中点， ∴， ∵点是上的动点（不与重合），点为顶点， ∴点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， ∴当点、、三点共线时，有最大值，此时， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中， ； 方法二、如图，连接，，    ∵，是直径， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 当为直径时，有最大值， ∴ ， ∴， ∴， 在中， ； 故答案为：． 【变式9-4】如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵CD是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十 三角形内心有关应用】 【例10】如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外心与内心，三角形内角和定理，圆周定理，连接，，由点是的内心，，结合三角形内角和定理得出，再根据点也是的外心，结合圆周角定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ，点是的内心，， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 点也是的外心， ， 故选：B． 【变式10-1】如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心的定义可得平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据圆周角定理得出，最后根据等边对等角和三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式10-2】如图，点分别是锐角的外心、内心，若，则 ° 【答案】25 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接，先计算出，再根据三角形外心的性质得到，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出，接着根据圆周角定理得到，则利用三角形内角和可计算出，然后根据三角形内心的性质得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 点是锐角的外心， ， ， ， ， ， 点是锐角的内心， ， 故答案为：． 【变式10-3】如图，点D是的内心，的延长线和的外接圆相交于点E，连接，，且； （1）的度数为 ； （2）的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，三角形内心的定义，圆的基本性质；掌握性质，理解三角形内心的定义：“三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心”是解题的关键． 【详解】解：由图得：四边形有外接圆， ， ； 点D是的内心， 平分， ， ， ； 故答案：，． 【变式10-4】如图，内接于为直径，I是的内心，的延长线交于点D． (1)求证：； (2)连结，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据I是的内心，以及圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （2）过O作于点H，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵I是的内心， ∴， ∴， ∴； （2）解：过O作于点H， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理等知识． 【考点题型十一 正多边形与圆】 【例11】如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的中心角是解题的关键． 根据正六边形的性质得出，再根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式11-1】如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提． 根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接是正方形和正五边形的外接圆， 正方形内接于， ， 又正五边形内接于， ， ， 故选：B． 【变式11-2】如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为 °． 【答案】72 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 【变式11-3】如图，，，，，是正五边形的外接圆的切线，则 度． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式（n为多边形的边数）,由半径相等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键． 由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半． 【详解】如图，O是外接圆的圆心， ∵， ，，，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式11-4】如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形即可求出；利用三角函数求出，，再根据的面积为即可求出． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，    ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． 【考点题型十二 弧长】 【例12】如图所示，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，求弧长，掌握圆内接四边形对角互补的性质，圆周角定理以及弧长公式是正确解答的关键． 先根据，，推出，进而得出，最后根据弧长公式，即可解答． 【详解】解：连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵的长为． 故选C． 【变式12-1】如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，当时，连接，，先证明三点共线，再证明是等边三角形，得到，则，再利用弧长公式求解即可；当时，则，则为直径，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当时，连接，， ∵， ∴，点D为的中点， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴弧的长为； 如图所示，当时，则， ∴为直径， ∴弧的长为； 综上所述，弧的长为或， 故选D． 【变式12-2】如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，三角形中位线定理，勾股定理，连接，取的中点D，连接，根据三角形中位线定理得，则点M在以D为圆心，为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，取的中点D，连接， 在中，，，， 则由勾股定理得， ∴， ∵点M是的中点，点D是的中点， ∴， ∴点M在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∴点M的运动路径长为 ， 故答案为：． 【变式12-3】如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为，传送带与水平面成角。假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是 （传送带厚度忽略不计）． 【答案】/ 【分析】本题考查求弧长，含30度的直角三角形．先求出粮袋移动的距离，再根据含度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，    则：， 过点作，于点， ∴， ∴，即：粮袋上升的高度是cm． 故答案为：． 【变式12-4】如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求弧的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得证； （2）根据弧长公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明；连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线； （2）解：由题意得，的半径，， 根据弧长公式可得，， 答：弧的长． 【考点题型十三 扇形面积】 【例13】如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、正方形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，和全等， ， 故选：A． 【变式13-1】如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 【变式13-2】如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．根据四边形是正方形，，可得，即可求出面积． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， 故答案为：． 【变式13-3】如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，交于，根据对折得出，，，，易知是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再分别求出扇形和的面积即可． 【详解】解：连接，交于， 沿对折点和重合，， ，，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 【变式13-4】如图，已知是直径，且，C，D是上的点，，交于点E，连接，． (1)求的度数； (2)求图中弧与弦围成的阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而根据圆周角定理求解即可； （2）证明是等边三角形，根据扇形和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，又， 过D作于F，则， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式、平行线的性质、勾股定理等知识，作辅助线证明是等边三角形是解答的关键． 【考点题型十四 圆锥的侧面积】 【例14】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【变式14-1】如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 首先由正方形的性质得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中， ， ∵， 是等腰直角三角形， ，， ， 扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长， 圆锥的底面圆的半径为， ， 解得． 故选：A． 【变式14-2】如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 【变式14-3】如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得． 【详解】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ∴， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 【变式14-4】如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：    【考点题型十五 圆中最值问题】 【例15】如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 【变式15-1】如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以为直径的上，连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，，    ∴由勾股定理，得， 如图，取的中点O，连接，交圆于点， ∵，， ∴， ∴， ∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短， 此时， 在中， 由勾股定理，得， 故的最小值为： ， 故选：C． 【变式15-2】如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，点在线段上，且，点为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证明可知点在以为直径的上，作点关于的对称点，连接，与交于点，与交于点，当点分别位于点时，根据两点之间线段最短，可知的最小值，即为线段的长度，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，作点关于的对称点，连接，与交于点，与交于点，当点分别位于点时，根据两点之间线段最短，可知的最小值，即为线段的长度， ∵，，点为的中点， ∴，的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，确定出点的位置是解题的关键． 【变式15-3】如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 【变式15-4】已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【答案】(1)①证明过程见详解；② (2)的最大值为104． 【分析】 （1）①根据等腰三角形性质证，再用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据顶角为的等腰三角形可证，角度相减即可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理用和去表示，根据已知数据整理得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ∵A、F、E、C四点在上， 、为弧所对圆周角， ， ， 即． ②解：由①可知， , ， ， ； （2）过A点作的垂线，垂足为P， ， 则，， ， 即， 在中，， 即当最大时，最大， 即当过圆心O时为直径最大， 的半径为3， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．利用勾股定理把转化为是解决此题的关键． 【考点题型十六 圆综合问题】 【例16】如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，从而得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对②进行判断；当时，利用圆周角定理得到，然后扇形的面积公式可对③进行判断；当时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图，∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，所以①正确； 故②正确； 当时， ∴扇形的面积，所以③错误； 当时， ∴， ∵平分， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算、等边三角形的性质“等边三角形三边相等，三个角都是”和判定，菱形的性质和判定，解题的关键是掌握切线的性质． 【变式16-1】如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】连结， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式16-2】如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于 度． 【答案】 【分析】本题考查圆知识点综合运用，难度较高，需要熟悉垂径定理辅助线做法以及角的等量互换方式即可．设，则连接交于点G，连接，，在中得到，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则连接交于点G，连接，如下图所示， ∵C是的中点，点O为圆心， ∴， 又∵点C与点D关于弦对称， ∴，且C，D，O三点共线，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵同弧，     ， ∵， 在中，， ∴， 解得 故答案为： 【变式16-3】如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，， 得出，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点， ∵是的切线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∵， ∵，，， 即， ∴四边形是矩形， ∴，， 则， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键． 【变式16-4】如图，为的直径，点是直线上方的上一点，点是的内心，连接，，．延长交于点． (1)若，，求的长； (2)求的度数； (3)当点在直线上方的上运动时，求证：． 【答案】(1)8 (2) (3)见详解 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，三角形内角和定理． （1）在直角中，直接用勾股定理即可求出； （2）由是的内心，，，易得，故，所以； （3）连接，则，由点是的内心，易得是等腰直角三角形，则，然后利用三角形外角性质证得即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴ ∴ ，， 解得： ∵ ∴； （2）∵是的内心 ∴设， ∵， ∴ 即 ∴ ∴； （3）如图，连接，则 点是的内心 ∴平分 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 , , ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司90 学科网（北京）股份有限公司 $$