2.4用因式分解法解一元二次方程 同步练习 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2024-2025北师大九年级上册数学因式分解法解一元二次方程 1、 选择题. 1.方程的解是(    ) A. ， B. C. ， D. 2.用因式分解法解一元二次方程，变形后正确的是    ． A. B. C. D. 3.关于的方程的解是(    ) A. B. C. D. 或 4.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 5.如果方程的两个根分别是的两条边的长，那么的面积为(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.已知，那么的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 8.已知实数，满足，则的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 9.用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 二、填空题. 11.方程的解是          ． 12.当          时，代数式与的值相等． 13.已知实数满足，那么的值为____． 14.解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，当时，即，解得当时，即，解得，所以原方程的解为，利用这种方法求得方程的解为          ． 15.关于的一元二次方程可变形为，则的值是          ． 三、计算题. 16.解下列方程：；． 17.解方程：．18.用因式分解法解下列方程： ． ． 19.解一元二次方程：． 20.用适当的方法解下列方程：；；． 21.解下列方程 22.解方程：；． 四、解答题 23.阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： 分解因式 竖分二次项与常数项： ， 交叉相乘，验中项： 横向写出两因式： 若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 或 ， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法请参考以上方法解下列方程： ； ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 3页 2024-2025 北师大九年级上册数学因式分解法解一元二次方程 一、选择题. 1.方程�2 − 5� = 0 的解是( ) A. � ​ 1 = 0，� ​ 2 =− 5 B. � = 5 C. � ​ 1 = 0，� ​ 2 = 5 D. � = 0 2.用因式分解法解一元二次方程�(� − 2) + � − 2 = 0，变形后正确的是( )． A. (� + 1)(� + 2) = 0 B. (� + 1)(� − 2) = 0 C. (� − 1)(� − 2) = 0 D. (� − 1)(� + 2) = 0 3.关于�的方程�2 − � = 56 的解是( ) A. � =− 7 B. � = 2 C. � = 8 D. � =− 7 或� = 8 4.方程(� − 2)(� − 4) = 0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 8 或 10 5.如果方程�2 − 4� + 3 = 0 的两个根分别是�� △ ���的两条边的长，那么△ ���的面积为( ) A. 12 B. 3 2 C. 1 2或 3 2 D. 3 2或 2 6.已知(�2 + �2 + 3)(�2 + �2) = 10，那么�2 + �2的值是( ) A. 2 B. −5 C. 2 或−5 D. 2 或−4 7.若菱形����的一条对角线长为 12，边��的长是方程�2 − 12� + 35 = 0 的一个根，则该菱形����的周 长为( ) A. 20 B. 24 C. 28 D. 20 或 28 8.已知实数�，�满足(�2 + �2 − 1)2 + �2 + �2 − 3 = 0，则�2 + �2的值是( ) A. 1 或−2 B. −1 或 2 C. 2 D. 1 9.用因式分解法解方程�2 −�� − 6 = 0，若将左边因式分解后有一个因式是(� − 3)，则�的值是( ) A. 0 B. 1 C. −1 D. 2 10.已知� = 1 是一元二次方程(� − 2)�2 + 4� − �2 = 0 的一个根，则�的值为( ) A. 1 B. −1 或 2 C. −1 D. 0 二、填空题. 11.方程�(� − 5) = 7(� − 5)的解是 ． 12.当� = 时，代数式(3� − 4)2与(4� − 3)2的值相等． 13.已知实数�满足(� ​ 2 − 2� + 1)2 + 4(� ​ 2 − 2� + 1) − 5 = 0，那么� ​ 2 − 2� + 1 的值为____． 第 2页，共 3页 14.解方程(� − 1)2 − 5(� − 1) + 4 = 0 时，我们可以将� − 1 看成一个整体，设� − 1 = �，则原方程可化为 �2 − 5� + 4 = 0，解得�1 = 1，�2 = 4.当� = 1 时，即� − 1 = 1，解得� = 2;当� = 4 时，即� − 1 = 4，解 得� = 5，所以原方程的解为�1 = 2，�2 = 5.利用这种方法求得方程(2� + 5)2 − 4(2� + 5) + 3 = 0 的解 为 ． 15.关于�的一元二次方程�2 + �� + � = 0 可变形为(� − �)(� − 1) = 0，则� + �的值是 ． 三、计算题. 16.解下列方程：(1)2�(� − 2) = 5(� − 2)；(2)(3� + 1)2 = 9� + 3． 17.解方程：(2� − 1)2 = 4(2� − 1)�．18.用因式分解法解下列方程：(1)�2 + 5 3� = 0. (2) 4�2 − 49 = 0． (3) 4�2 − 8� + 4 = 0. (4)�(� − 5) = 2�． 19.解一元二次方程：(1)(� − 2)2 − 9 = 0; (2)(� − 2)2 = 4� − 8; (3)2�2 + 4� − 5 = 0． 20.用适当的方法解下列方程：(1)�2 − 8� − 1 = 0；(2)2�2 − 4� − 5 = 0；(3)(� − 1)2 + 2�(1 − �) = 0． 第 3页，共 3页 21.解下列方程(1)2�2 − 3� − 1 = 0 (2)�(� − 3) = 6 − 2� 22.解方程：(1)(� + 1)(� + 3) = 8；(2)3�2 − 5� + 1 = 0． 四、解答题 23.阅读材料：解方程�2 + 2� − 35 = 0，我们可以按下面的方法解答： (1)分解因式�2 + 2� − 35 ①竖分二次项与常数项： �2 = � ⋅ �，−35 = ( − 5) × ( + 7) ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：�2 + 2� − 35 = (� − 5)(� + 7) (2)若�� = 0，则� = 0 或� = 0，所以方程 �2 + 2� − 35 可以这样求解： 方程左边分解因式得(� − 5)(� + 7) = 0 ∴ � − 5 = 0 或� + 7 = 0 ∴ �1 = 5，�2 =− 7 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法.请参考以上方法解下列方程： (1)�2 + 5� + 4 = 0； (2)2�2 + � − 10 = 0． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】，  12.【答案】或  13.【答案】  14.【答案】 ，    15.【答案】  16.【答案】解：， ， ， 解得，； 方程整理得， 分解因式得， 可得或， 解得，．  17.【答案】解：， ， ， ， 则或， 解得，．  18.【答案】【小题】 解：，． 【小题】 ，． 【小题】 ，． 【小题】 ，，，．   19.【答案】解： 或 ，； ，； ，，， ，．  20.【答案】解：， ， ， ， ， ，； ， ，，， ， ， 即，； ， ， ， 或， 解得，．  21.【答案】解：， ，，， ，， ；     22.【答案】解：， 整理得：， 因式分解得：， 则或， 解得：，； ， ，，， ， ， ，．  23.【答案】解：． ， 或， ，； ， ， 或， ，．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$