2025届高考物理一轮复习能力提升专题练：磁场（3）

2025高考物理一轮复习能力提升专题复习（19）磁场（3） （一）带电粒子在组合场中的运动问题 【例题1】1．如图所示的直角坐标系中，存在一与O点相切且半径r=1m的圆形磁场区域，磁场的磁感应强度大小，方向如图所示。一群速率均为的同种正电粒子沿不同方向从坐标原点O处沿xOy平面射入磁场，而后击中磁场右侧的感光板，已知感光板垂直于x轴且足够长，在向左移动感光板时，板上光条长度及位置未发生变化。（不计粒子重力） （1）粒子的比荷； （2）将感光板固定于x=6m处，在区域内加入一个方向沿y轴正向的匀强电场，电场强度，某粒子以图中所示射出，求击中感光板的位置坐标； （3）感光板仍固定于x=6m处，将竖直向上的匀强电场在的范围内平行移动，保持电场宽度始终为2m，以图中所示射出的粒子始终能击中第（2）问中的位置，请写出电场强度E与匀强电场左侧边界的横坐标x的函数关系式。 【例题2】2．在图示区域中，y轴右方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B，y轴左方有匀强电场区域，该匀强电场的强度大小为E，方向与y轴夹角为45°且斜向右上方，有一质子以速度v0由x轴上的P点沿x轴正方向射入磁场，质子在磁场中运动一段时间以后从Q点进入y轴左方的匀强电场区域中，在Q点质子速度方向与y轴负方向夹角为45°，已知质子的质量为m，电量为q不计质子的重力，（磁场区域和电场区域足够大）求： （1）Q点的坐标； （2）质子从P点出发到第三次穿越y轴时的运动时间； （3）质子第四次穿越y轴时的坐标。 【例题3】3．（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（　　） A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为 B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为 C．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为 D．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为或 4．如图所示，在平面直角坐标系内有一直角三角形，其顶点坐标分别为、、，三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，轴下方有沿着轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的某点由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求粒子在磁场中运动的轨迹半径； （2）求点到点的距离； （3）改变粒子在轴上的释放点，使粒子由点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求点到点的距离； （4）在（3）过程中，求粒子从点由静止释放到射出磁场的运动时间。 5．如图所示，在xoy平面直角坐标系内，x轴的上方有半径为R的圆形匀强磁场区域，与x轴相切于坐标系的原点O，方向垂直于纸面向外，其中是圆的半径，第Ⅳ象限和第Ⅲ象限内分别存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，x轴和AB分别为其上下边界，两边界距离为L=2.4R，第Ⅳ象限内场强方向水平向左，第Ⅲ象限内场强方向水平向右。一电荷量为q（q>0）、质量为m的带电粒子由AB边界上距y轴1.2R处的M点垂直电场以初速度v0射入电场，粒子经y轴上的N点由第Ⅳ象限进入第Ⅲ象限，经电场偏转后垂直x轴从P点射出电场，P点与O点的距离为0.6R，经过一段时间后进入磁场区域，若带电粒子在磁扬中运动的时间是其在磁场中运动周期的，粒子重力不计。求： （1）第Ⅳ象限和第Ⅲ象限匀强电场的场强大小； （2）匀强磁场的磁感应强度； （3）带电粒子从M点射入电场到偏转出磁场的过程中运动的总时间。    【例题4】6．如图所示，在xOy平面内的第二象限有一个圆形匀强磁场区域，其边界与x轴相切于A（，0）点，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B=1T，磁场区域的半径为R=2m，第一象限内有一条抛物线OQP（图中虚线所示），P（4m，0）是x轴上的一点，抛物线OQP上方存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=3×103V/m，从A点向第二象限发射大量带正电的某种粒子，粒子的速率均为v0（未知），质量均为m=2×10-7kg，电荷量均为q=1×10-4C，所有粒子均可到达P点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 （1）已知粒子1沿与x轴正方向成θ1=60°的方向进入磁场后平行于x轴从磁场中射出，求初速度v0的大小； （2）粒子2沿与x轴正方向成θ2=120°的方向进入磁场，求它从A点运动到P点所用的时间t（结果保留2位有效数字）； （3）求电场的边界线OQP的轨迹方程。 （二）带电粒子在叠加场中的运动问题 7．（多选）质量为m、电荷量为q的微粒，以与水平方向成θ角的速度 v，从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．该微粒一定带正电荷 B．微粒从O到A的运动是匀速直线运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强大小为 8（多选）如图，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度先增大后减小B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑最大速度 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 【例题5】9．如图甲所示，在竖直平面建立xOy坐标，y轴沿竖直方向，x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场。 现有一质量为m，带电量为+q的小球以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场，恰好沿x轴做直线运动，取重力加速度为g。 （1）求匀强电场的场强大小E； （2）若小球过O点时在x>0区域加垂直纸面向里的匀强磁场B0，求小球第一次经过y轴的坐标； （3）若小球从O点与x轴正方向成θ角射入第一象限的同时在x>0区域加一按图乙规律变化的磁场，小球可以一直在第一象限内运动，设磁场方向垂直纸面向里为正。求小球从O点入射的θ角正弦值的范围。    （三）带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动 【例题6】10．如图甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E=40N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向。t=0时刻，一质量、电荷量的微粒在O点具有竖直向下的速度v=0.12m/s，O'是挡板MN上一点，直线OO'与挡板MN垂直，取g=10m/s2，求： （1）微粒再次经过直线OO'时与O点的距离； （2）微粒在运动过程中离开直线OO'的最大高度； （3）水平移动挡板MN，使微粒能以45°夹角射到挡板上，挡板与O点间的距离应满足的条件，不必说理由，直接写结果。 【例题7】11．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、半径为L的圆形磁场区域，与x轴的交点分别为M、N。在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入加速电场中，加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为，电子飞出电场后从M点进入圆形磁场区域，进入磁场时取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图中B0是未知量），最后电子从N点飞出，不考虑电子的重力。求： （1）加速电场的电压U； （2）电子运动到M点时的速度大小和方向； （3）磁场变化周期T满足的关系式。 （四）电磁场联系科技生活的计算题 12．世界上最早最精确的极光观测记录可追溯到汉朝《汉书·天文志》中的史料记载。极光是高能粒子流（太阳风）射向地球时，由于地磁场作用，部分进入地球极区，使空气中的分子或原子受激跃迁到激发态后辐射光子，而产生的发光现象。假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁场圆的直径，MN左侧宽度为的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为+q的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用。已知若，则x可表示为。求： （1）地磁场的磁感应强度大小； （2）正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间； （3）在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间。 【例题8】13．“新一代人造太阳”的“中国环流三号”托卡马克装置，于8月25日首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，这一重大进展再次刷新我国磁约束聚变装置运行纪录。磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。如图所示，有一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。比荷为的带电粒子在半径为R的中空区域内往各个方向运动，且速度大小不等。不考虑粒子间的相互作用及重力等因素的影响。若已知中空区域中的带电粒子的最大速度为vm。 （1）若要求所有粒子均无法穿出环形磁场的外边缘，则环状区域内磁场的磁感应强度的最小值应为多少； （2）若环形区域内磁感应强度大小为第（1）问磁场的最小值，有一粒子从圆心O处射出，进入环形磁场区域后恰好与外边缘相切，然后再回到O点，则该粒子的速度是vm的多少倍，此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间是多少。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） 【例题9】14．如图甲所示为一种可用于检测和分离同位素的装置，大量带电粒子从加速电场的上边缘由静止释放，通过宽度为L的狭缝MN，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场后，均打到照相底片上．若释放的粒子是质子和氘核，其电荷量均为，质量分别为m和2m，不考虑重力及粒子之间的相互作用。 （1）若加速电场的电势差为U，求质子打在照相底片上的位置到M点的最小距离； （2）要使质子和氘核在照相底片上形成的谱线带能够完全分离，求加速电场的电势差应满足的条件；（用m、e、B、L表示） （3）某同学将该装置的狭缝宽度减小到可忽略的程度，将狭缝下方的磁场改为水平向左、电场强度大小为E的匀强电场，并在狭缝MN下方距离为d处水平放置照相底片（如图乙），请推导静止释放的质子，通过两个电场后在照相底片上形成的谱线距狭缝的水平距离x与加速电场的电势差U的关系式，并判断该改装装置能否用于检测和分离同位素。    （五）巩固练习 15．（单选）如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为位于磁场边界最低点P处有一粒子源，同时将n个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入磁场区域，粒子质量为m、电荷量大小为q、速率均为v。A、C为圆形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板MN、 与圆形区域在A、C两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法中正确的是（　　） A．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从D点离开磁场 B．粒子从P点出发到从D点离开磁场，运动的最长时间为 C．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为 D．粒子陆续从D点离开磁场过程中等效电流为 16．（多选）如图，在区域内存在与xoy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源向y轴右侧xoy平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R为2a B．粒子的比荷为 C．从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为3t0 D．时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为1：3 17．（多选）如图所示，OM和ON都在纸面内，且相互垂直，只在MON区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。在OM上的P点有一质量为m、电荷量为-q的带电粒子以一速度沿与OM成=45°角方向射入磁场，O、P间距离为L，粒子所受重力不计，则（　　） A．带电粒子在磁场中的运动时间可能为 B．带电粒子在磁场中的运动时间可能为 C．带电粒子经过ON的位置到O的距离可能为 D．带电粒子经过ON的位置到O的距离可能为 18．（多选）如图所示，三维坐标系O-xyz的z轴方向竖直向上，所在空间存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的小球从z轴上的A点以速度沿x轴正方向水平抛出，A点坐标为（0，0，L），重力加速度为g，场强。则下列说法中正确的是（　　）  A．小球运动的轨迹为抛物线 B．小球在平面内的分运动为直线运动 C．小球到达平面时的速度大小为 D．小球的运动轨迹与平面交点的坐标为（，L，0） 19．如图所示，在第二象限内有一抛物线的边界，其方程为，在抛物线的上方存在一竖直向下的匀强电场．在抛物线每个位置上连续发射质量为m，电荷量为的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O，第四象限内有一边长为l，其中两条边分别与x轴，y轴重合的正方形边界，边界内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场，为与x轴平行的可上下移动的荧光屏，初始位置与磁场的下边界重合，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，粒子打到荧光屏上即被吸收。 （1）求电场强度的大小E； （2）求从处进入的粒子在磁场中运动的时间； （3）若将荧光屏缓慢向上移动，求在向上移动的过程中屏上的最大发光长度。 20．如图所示，第一象限内存在沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，第二、三、四象限存在垂直平面向里的匀强磁场．把一个质量为、电荷量为的带正电粒子由点静止释放，点到轴和轴的距离均为，粒子从轴上的点第一次进入磁场偏转后，垂直轴再次进入电场，在电场的作用下又从轴上的点（图中未标出）第二次进入磁场，粒子重力不计．求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）两点间的距离； （3）粒子第2023次进入磁场时的位置到坐标原点的距离。 21．如图所示，在直角坐标平面的第一象限内存在着沿方向的有界匀强电场，其边界由曲线、x轴和直线围成（边界有电场），其中a、b点坐标分别为、，且曲线的轨迹方程为，电场强度的大小，在边界上放有一个和边界等长的粒子放射源，能同时均匀的发射粒子。在的虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，c点为磁场边界和y轴的交点。在紧挨着y轴左侧及下侧存在一个边长L为1m的正方形区域，此正方形区域内存在沿方向的匀强电场（边界有电场），电场强度大小，且在此电场的下边界放置了一个与边界等长的荧光屏。某时刻放射源由静止释放大量带正电的粒子，发现所有粒子均能通过图中c点。已知粒子的电荷量，质量，不计带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用，求： （1）求磁场的磁感应强度的大小； （2）打到荧光屏上的粒子占粒子总数的百分比； （3）到达荧光屏上的粒子的最小动能。 22．如图所示的直角坐标系中，y轴左侧存在范围足够大的匀强电场，电场方向与y轴负方向的夹角为，电场强度的大小为，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。质量为、带电荷量为的带正电粒子在P点由静止释放，经过一段时间由y轴上的Q点（图中未画出）进入磁场。已知粒子重力不计，，，取。 （1）若磁场范围足够大，粒子刚好不从x轴离开磁场，求粒子第2次到y轴时与O点的距离； （2）若磁场的磁感应强度大小为，且该磁场为矩形区域，欲使粒子垂直x轴离开磁场，求磁场面积的最小值。（结果保留两位有效数字） 23．在xoy平面内，第Ⅲ象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与负x轴成角在且OM的左侧空间存在着负x方向的匀强电场E，场强大小为，在且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B，磁感应强度大小为，如图所示一不计重力的带负电微粒，从坐标原点O沿y轴负方向以的初速度进入磁场，已知微粒的带电量为，质量为，求： 带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标； 带电微粒在磁场区域运动的总时间； 带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标． 24．如图甲所示，在xOy平面内有一离子源，该离子源能不间断的沿x轴正方向发射宽、沿y方向均匀分布的带负电离子流，离子流速率，单位时间内发射个数为n0，离子流中心纵坐标。离子流沿x方向射入一个半径为，中心O′位于的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B1，方向垂直xOy平面。从离子源中心处射出的离子经磁场偏转后恰能从O点沿y正方向射出。x轴上方有垂直纸面向内的强度可调的匀强磁场B2，调节范围为，在x轴上离O点0.2m处放置有一长度的水平荧光板gh，若有离子打在荧光板上时，荧光板会发出荧光。Og间另有吸收板（图中未画出），离子打在荧光板和吸收板上均不反弹。已知离子的比荷C/kg，不计离子的重力及离子间的相互作用，求： （1）B1的大小和方向；（2）若，稳定后单位时间打到荧光板上的离子数（用n0表示）； （3）若将离子源的宽度变为，中心仍然与O′的y坐标相同（如图乙），离子沿y方向不再均匀分布，但聚焦到O点出射时离子流随角度均匀分布，求打到荧光板上的离子数占总数的比例与磁感应强度B2的函数关系（已知，可表示为）。 25．某仪器用电场和磁场来控制粒子在材料表面上方的运动，以磁场与电场之间的薄隔离层为x轴，垂直薄隔离层方向为y轴，如图所示。x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向下。一个质量为m，电荷量为q，重力不计的带负电粒子从y轴上的a（0，h）点沿y轴正方向以初速度开始运动，经过一段时间后，粒子穿越薄隔离层进入电场，第一次在电场中运动时经过y轴的速度方向恰好与y轴垂直。粒子每次穿越隔离层，运动方向不变，其速率损失是每次穿越前速率的10%。求： （1）粒子从开始运动到第一次进入电场前在磁场中运动的时间； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）粒子从开始运动到第五次经过x轴的坐标和运动的时间。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考物理一轮复习能力提升专题复习（19）磁场（3） （一）带电粒子在组合场中的运动问题 【例题1】1．如图所示的直角坐标系中，存在一与O点相切且半径r=1m的圆形磁场区域，磁场的磁感应强度大小，方向如图所示。一群速率均为的同种正电粒子沿不同方向从坐标原点O处沿xOy平面射入磁场，而后击中磁场右侧的感光板，已知感光板垂直于x轴且足够长，在向左移动感光板时，板上光条长度及位置未发生变化。（不计粒子重力） （1）粒子的比荷； （2）将感光板固定于x=6m处，在区域内加入一个方向沿y轴正向的匀强电场，电场强度，某粒子以图中所示射出，求击中感光板的位置坐标； （3）感光板仍固定于x=6m处，将竖直向上的匀强电场在的范围内平行移动，保持电场宽度始终为2m，以图中所示射出的粒子始终能击中第（2）问中的位置，请写出电场强度E与匀强电场左侧边界的横坐标x的函数关系式。 【详解】（1）粒子从O点射出后，经过磁场偏转击中感光板，在向左移动感光板时，板上光条长度及位置未发生变化，可得粒子离开磁场时的速度方向均水平向右，如图所示选取任意出射A点作垂线，作出初速度垂线，两线相较于，为运动轨迹圆心，可得在竖直方向，且，为等腰三角形；连接并延长交圆周与B点，连接、，则，为等腰三角形，且在竖直方向，故。根据等腰三角形特点可得又，则可证得故四边形为菱形，可得根据圆周运动规律可得解 （2）粒子在磁场中偏转120°射出磁场，再垂直进入电场，最后做匀速直线运动，轨迹如图所示在电场中的加速度大小为粒子穿出电场时有 且在磁场中在电场中侧移为 飞出电场后粒子做匀速直线运动所以 则击中位置坐标为（3）由（2）得粒子离开磁场时坐标为情况一： 若横坐标，则粒子水平方向能经过完整的匀强电场区域，则 进入电场前匀速直线运动，则进入电场的坐标为在电场中飞出电场后粒子做匀速直线运动所以 所以情况二：若横坐标，则粒子水平方向不能经过完整的匀强电场区域，则进入电场前匀速直线运动，则进入电场的坐标为，在电场中侧移为 所以所以 综上 【例题2】2．在图示区域中，y轴右方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为B，y轴左方有匀强电场区域，该匀强电场的强度大小为E，方向与y轴夹角为45°且斜向右上方，有一质子以速度v0由x轴上的P点沿x轴正方向射入磁场，质子在磁场中运动一段时间以后从Q点进入y轴左方的匀强电场区域中，在Q点质子速度方向与y轴负方向夹角为45°，已知质子的质量为m，电量为q不计质子的重力，（磁场区域和电场区域足够大）求： （1）Q点的坐标； （2）质子从P点出发到第三次穿越y轴时的运动时间； （3）质子第四次穿越y轴时的坐标。 【答案】（1）（0，）；（2）；（3）（0，）【详解】（1）根据得由几何关系 则Q点的坐标为（0，）。（2）质子从P到Q的时间为质子在电场中做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，在电场中的运动时间为质子返回在磁场中的运动时间为质子从P点出发到第三次穿越y轴时的运动时间为 （3）质子再次进入电场后，速度与电场垂直，质子做类平抛运动，由于速度方向与y轴夹角为，则得则质子沿y轴方向的位移为 质子第四次穿越y轴的位置为 质子第四次穿越y轴时的坐标为（0，）。 【例题3】3．（多选）如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小为B的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为m、电荷量为e的电子从P点沿PQ方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（　　） A．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动时间可能为 B．若电子从P点出发恰好第一次经原点O点，运动路程可能为 C．若电子从P点出发经原点O到达Q点，运动时间可能为 D．若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为或 【答案】AD【详解】AB．电子从P点出发恰好第一次经原点O点，有两类情况，一类是第奇数次回到x轴经过原点O，另一类是第偶数次回到x轴经过原点O。其中第一次和第二次回到x轴的轨迹如图由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为 解得当n=1时，运动时间为由轨迹图结合几何关系，轨迹圆的半径为可得运动路程为故A正确；B错误； CD．同理，若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，轨迹也为两类，如图 由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为 或解得 若电子从P点出发恰好第一次经原点O到达Q点，运动路程为 解得故C错误；D正确。故选AD。 4．如图所示，在平面直角坐标系内有一直角三角形，其顶点坐标分别为、、，三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，轴下方有沿着轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。一质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的某点由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求粒子在磁场中运动的轨迹半径； （2）求点到点的距离； （3）改变粒子在轴上的释放点，使粒子由点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求点到点的距离； （4）在（3）过程中，求粒子从点由静止释放到射出磁场的运动时间。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示。由几何关系得 联立解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 设M点到O点的距离为，由动能定理得解得 （3）要使粒子由点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R满足 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得设点到O点的距离为，由动能定理有联立解得 （4）设粒子在电场中的加速度为，由牛顿第二定律得 设粒子在电场中每单程的运动时间为，有 粒子在电场中总的运动时间联立解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中总的运动时间解得 粒子从N点由静止释放到射出磁场运动的总时间 5．如图所示，在xoy平面直角坐标系内，x轴的上方有半径为R的圆形匀强磁场区域，与x轴相切于坐标系的原点O，方向垂直于纸面向外，其中是圆的半径，第Ⅳ象限和第Ⅲ象限内分别存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，x轴和AB分别为其上下边界，两边界距离为L=2.4R，第Ⅳ象限内场强方向水平向左，第Ⅲ象限内场强方向水平向右。一电荷量为q（q>0）、质量为m的带电粒子由AB边界上距y轴1.2R处的M点垂直电场以初速度v0射入电场，粒子经y轴上的N点由第Ⅳ象限进入第Ⅲ象限，经电场偏转后垂直x轴从P点射出电场，P点与O点的距离为0.6R，经过一段时间后进入磁场区域，若带电粒子在磁扬中运动的时间是其在磁场中运动周期的，粒子重力不计。求： （1）第Ⅳ象限和第Ⅲ象限匀强电场的场强大小； （2）匀强磁场的磁感应强度； （3）带电粒子从M点射入电场到偏转出磁场的过程中运动的总时间。    【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）设第IV象限匀强电场场强大小为，第III象限匀强电场的场强大小为，粒子由M到N及由N到P点所用的时间分别为与，到达N时水平速度为，则粒子由M到N，水平方向有 由N到P，水平方向有 到达N时水平速度由M到P点竖直方向联立解得， （2）如图所示，粒子从Q点垂直射入匀强磁场后做匀速圆周运动，设粒子做匀速圆周运动的半径为，在中有    解得在中有粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有联立解得匀强磁场的磁感应强度大小为 （3）带电粒子在电场中的运动时间为匀速运动时间为在磁场中的运动时间为故带电粒子从M点射入电场到偏转出磁场的过程中运动的总时间 【例题4】6．如图所示，在xOy平面内的第二象限有一个圆形匀强磁场区域，其边界与x轴相切于A（，0）点，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B=1T，磁场区域的半径为R=2m，第一象限内有一条抛物线OQP（图中虚线所示），P（4m，0）是x轴上的一点，抛物线OQP上方存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=3×103V/m，从A点向第二象限发射大量带正电的某种粒子，粒子的速率均为v0（未知），质量均为m=2×10-7kg，电荷量均为q=1×10-4C，所有粒子均可到达P点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 （1）已知粒子1沿与x轴正方向成θ1=60°的方向进入磁场后平行于x轴从磁场中射出，求初速度v0的大小； （2）粒子2沿与x轴正方向成θ2=120°的方向进入磁场，求它从A点运动到P点所用的时间t（结果保留2位有效数字）； （3）求电场的边界线OQP的轨迹方程。 【答案】（1）1×103m/s；（2）9.9×10-3s；（3） 【详解】（1）设磁磁场圆心为，粒子1在磁场中运动轨迹的半径为r，圆心为，从磁场边界上的C点飞出，如下图所示 由几何关系可知四边形为菱形，故有 由牛顿第二定律可知联立解得 （2）设粒子2在场中运动轨迹的圆心为，它从D点平行于x轴射出磁场，延长与x轴相交于E点，垂直于x轴，如下图所示 粒子2在磁场中运动的周期 它在磁场中运动的时间 D点的横坐标 D点到P点沿x轴方向的位移为 粒子2从D点到P点在沿x轴方向上做匀速直线运动，所用时间 所以 （3）由几何关系可知所有粒子都平行于x轴进入电场，如下图所示设某个粒子在电场中运动的时间为，加速度为a，到达抛物线时的坐标为，此时粒子速度为v，沿y轴方向的分速度大小为，x方向上有 y方向上由牛顿第二定律有 解得 由三角形相似可得 联立解得 （二）带电粒子在叠加场中的运动问题 7．（多选）质量为m、电荷量为q的微粒，以与水平方向成θ角的速度 v，从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．该微粒一定带正电荷 B．微粒从O到A的运动是匀速直线运动 C．该磁场的磁感应强度大小为 D．该电场的场强大小为 【答案】BCD【详解】AB．若微粒带正电，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和斜向右下的洛伦兹力qvB，微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和斜向左上的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，故B 正确，A 错误；CD．由平衡条件可知 得磁场的磁感应强度电场的场强 故C、D正确。故选BCD。 8（多选）如图，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为＋q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度先增大后减小B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑最大速度 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 【答案】AD【详解】A．随着小球的加速，洛伦兹力向右不断增大，当洛伦兹力小于电场力时 解得随着速度增大，加速度增大； 当洛伦兹力等于电场力时，摩擦力等于零，加速度最大等于g；当洛伦兹力大于电场力时解得随着速度增大，加速度减小，A正确；B．小球的机械能和电势能的总和减少，转变有内能，B错误；C．最终摩擦力与重力平衡，小球做匀速运动时速度最大解得C错误；D．当洛伦兹力等于电场力时，摩擦力等于零，小球只受到重力作用，此时加速度最大等于g，下滑加速度为最大加速度g一半时的速度可能是解得D正确。故选AD。 【例题5】9．如图甲所示，在竖直平面建立xOy坐标，y轴沿竖直方向，x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场。 现有一质量为m，带电量为+q的小球以速度v0从O点沿x轴正方向射入电场，恰好沿x轴做直线运动，取重力加速度为g。 （1）求匀强电场的场强大小E； （2）若小球过O点时在x>0区域加垂直纸面向里的匀强磁场B0，求小球第一次经过y轴的坐标； （3）若小球从O点与x轴正方向成θ角射入第一象限的同时在x>0区域加一按图乙规律变化的磁场，小球可以一直在第一象限内运动，设磁场方向垂直纸面向里为正。求小球从O点入射的θ角正弦值的范围。    【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）小球进入电场做匀速直线运动，根据平衡条件可得匀强电场的场强大小为（2）根据洛伦兹力提供向心力可得 小球第一次经过y轴与原点的距离为小球第一次经过y轴的坐标为。（3）根据粒子的运动轨迹可知，小球可以一直在第一象限内运动有根据几何关系有解得求小球从O点入射的θ角正弦值的范围 （三）带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动 【例题6】10．如图甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E=40N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向。t=0时刻，一质量、电荷量的微粒在O点具有竖直向下的速度v=0.12m/s，O'是挡板MN上一点，直线OO'与挡板MN垂直，取g=10m/s2，求： （1）微粒再次经过直线OO'时与O点的距离； （2）微粒在运动过程中离开直线OO'的最大高度； （3）水平移动挡板MN，使微粒能以45°夹角射到挡板上，挡板与O点间的距离应满足的条件，不必说理由，直接写结果。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）微粒所受的重力 电场力大小因此重力与电场力平衡，微粒先在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得解得周期代入数据解得 则微粒在内转过半个圆周，微粒再次经过直线OO'时与O点的距离 （2）在微粒做匀速直线运动，接着再转过半个圆周，用时，再匀速运动,所以内微粒的运动轨迹如图所示微粒在运动过程中离开直线OO'的最大高度 （3）为使微粒能以45°夹角射到挡板上，挡板与O点间的距离应满足 代入数据得 【例题7】11．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、半径为L的圆形磁场区域，与x轴的交点分别为M、N。在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入加速电场中，加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为，电子飞出电场后从M点进入圆形磁场区域，进入磁场时取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图中B0是未知量），最后电子从N点飞出，不考虑电子的重力。求： （1）加速电场的电压U； （2）电子运动到M点时的速度大小和方向； （3）磁场变化周期T满足的关系式。 【答案】（1）；（2）2v0，方向与x轴正方向的夹角为60°；（3）（n=1，2，3…） 【详解】（1）在加速电场中，从P点到Q点，由动能定理得可得 （2）电子从Q点到M点做类平抛运动，有电子运动至M点时解得解得即速度方向与x轴正方向的夹角为60°； （3）电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示 电子到达N点符合要求的空间条件为（n=1，2，3…） 电子在磁场中做圆周运动的轨道半径解得（n=1，2，3…） 电子在磁场变化的半个周期内恰好转过圆周，同时在MN间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是所以T应满足的条件为（n=1，2，3…） （四）电磁场联系科技生活的计算题 12．世界上最早最精确的极光观测记录可追溯到汉朝《汉书·天文志》中的史料记载。极光是高能粒子流（太阳风）射向地球时，由于地磁场作用，部分进入地球极区，使空气中的分子或原子受激跃迁到激发态后辐射光子，而产生的发光现象。假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁场圆的直径，MN左侧宽度为的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为+q的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用。已知若，则x可表示为。求： （1）地磁场的磁感应强度大小； （2）正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间； （3）在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）正对地心O的粒子恰好打到地球表面，轨迹示意图如图1所示，设粒子在磁场中运动的轨迹半径为，根据几何关系有 解得根据洛伦兹力提供向心力有解得地磁场的磁感应强度大小为 （2）设正对地心O的粒子恰好打到地球表面，轨迹的圆心角为，根据几何关系有正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间为 （3）粒子从进入磁场到打到地球表面的时间最短时，粒子入射点与打在地球表面的落点连线指向地心O，即、、三点共线，轨迹示意图如图2所示，设轨迹的圆心角为，根据几何关系有 则可得在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间为 【例题8】13．“新一代人造太阳”的“中国环流三号”托卡马克装置，于8月25日首次实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，这一重大进展再次刷新我国磁约束聚变装置运行纪录。磁约束是用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动。如图所示，有一磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。比荷为的带电粒子在半径为R的中空区域内往各个方向运动，且速度大小不等。不考虑粒子间的相互作用及重力等因素的影响。若已知中空区域中的带电粒子的最大速度为vm。 （1）若要求所有粒子均无法穿出环形磁场的外边缘，则环状区域内磁场的磁感应强度的最小值应为多少； （2）若环形区域内磁感应强度大小为第（1）问磁场的最小值，有一粒子从圆心O处射出，进入环形磁场区域后恰好与外边缘相切，然后再回到O点，则该粒子的速度是vm的多少倍，此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间是多少。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） 【答案】（1）；（2），【详解】（1）当粒子刚好沿着内圆切线进入环形磁场时，要求此方向不飞出外圆，是保证所有粒子无法穿出环形磁场的外边缘的临界条件。如图甲所示几何关系可得洛伦兹力提供向心力解得 （2）如图乙所示，当粒子源在O点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切，被磁场约束的粒子每次经过磁场的时间为最大值设粒子运动半径为r0。在中即解得根据 解得该粒子在磁场中的周期为 由几何知识求解得 此过程中该粒子在环形磁场中运动的时间 【例题9】14．如图甲所示为一种可用于检测和分离同位素的装置，大量带电粒子从加速电场的上边缘由静止释放，通过宽度为L的狭缝MN，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场后，均打到照相底片上．若释放的粒子是质子和氘核，其电荷量均为，质量分别为m和2m，不考虑重力及粒子之间的相互作用。 （1）若加速电场的电势差为U，求质子打在照相底片上的位置到M点的最小距离； （2）要使质子和氘核在照相底片上形成的谱线带能够完全分离，求加速电场的电势差应满足的条件；（用m、e、B、L表示） （3）某同学将该装置的狭缝宽度减小到可忽略的程度，将狭缝下方的磁场改为水平向左、电场强度大小为E的匀强电场，并在狭缝MN下方距离为d处水平放置照相底片（如图乙），请推导静止释放的质子，通过两个电场后在照相底片上形成的谱线距狭缝的水平距离x与加速电场的电势差U的关系式，并判断该改装装置能否用于检测和分离同位素。    【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）质子在加速电场中运动时，根据动能定理有质子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律有解得质子在磁场中的轨道半径质子打在底片上的位置到M点的最小距离x=2r1–L解得 （2）由（1）得氘核在磁场中的轨道半径要使两谱线完全分离，需满足2r2-2r1>L解得（3）质子在加速电场中运动时，根据功能定理有质子进入水平电场后，做类平抛运动有 联立解得照相底片上形成的谱线位置与带电粒子的质量和电荷量无关，因此该改装装置不能用来检测和分离同位素。 （五）巩固练习 15．（单选）如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为位于磁场边界最低点P处有一粒子源，同时将n个带负电的粒子沿纸面内各个方向均匀射入磁场区域，粒子质量为m、电荷量大小为q、速率均为v。A、C为圆形区域水平直径的两个端点，足够长的弹性挡板MN、 与圆形区域在A、C两点处相切，所有粒子与挡板垂直碰撞后以原速率反弹，不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响。下列说法中正确的是（　　） A．所有粒子均与右侧挡板碰撞，最终全部从D点离开磁场 B．粒子从P点出发到从D点离开磁场，运动的最长时间为 C．粒子陆续与挡板碰撞过程中对挡板的平均作用力为 D．粒子陆续从D点离开磁场过程中等效电流为 【答案】C【详解】A．由洛伦兹力提供向心力，有可得 根据磁聚焦结论作出如图所示的轨迹图粒子在圆形磁场中射出后均能垂直打在左侧挡板上，反弹后再次进入磁场并全部从点离开磁场，故A错误； B．根据磁聚焦可以得出粒子在圆形磁场中运动的两段圆弧圆心角之和为，每个粒子在磁场中运动的时间均为这个时间是粒子从点出发到从点离开的最短时间，故B错误；C．所有粒子到达挡板的最短时间 最长时间为粒子与挡板碰撞过程中的作用时间为 对这个粒子由动量定理可得解的故C正确；D．所有粒子从发出到达点的最短时间为最长时间为因此粒子离开点过程持续的时间为则等效电流为同时考虑到电荷离开点时沿着不同方向，实际的电流会更小，故D错误。故选C。 16．（多选）如图，在区域内存在与xoy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源向y轴右侧xoy平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R为2a B．粒子的比荷为 C．从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为3t0 D．时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为1：3 【答案】AD【详解】A．沿y轴正方向发射的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的弧OP所示，其圆心为C，如图： 由几何关系可得解得选项A正确； B．由题给条件可以得出所以粒子飞出磁场所用的时间为由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有解得联立以上各式得选项B错误；C．在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图所示： 由几何关系可知此粒子转过的圆心角是，且由对称性可知 从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间选项C错误；D．由以上分析可知仍然留在磁场中的粒子与y轴的角度范围为，由于粒子发生在内是均匀的，所以还在磁场中的粒子和总的发射的粒子数之比是1：3，选项D正确。故选AD。 17．（多选）如图所示，OM和ON都在纸面内，且相互垂直，只在MON区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。在OM上的P点有一质量为m、电荷量为-q的带电粒子以一速度沿与OM成=45°角方向射入磁场，O、P间距离为L，粒子所受重力不计，则（　　） A．带电粒子在磁场中的运动时间可能为 B．带电粒子在磁场中的运动时间可能为 C．带电粒子经过ON的位置到O的距离可能为 D．带电粒子经过ON的位置到O的距离可能为 【答案】BC【详解】AB．如果粒子从OM边界射出，轨迹对应的圆心角最大，为，故运动时间为如果从ON边界射出，轨迹对应的圆心角最小是接近45°，考虑45°情况，故运动时间为故A错误B正确；CD．粒子经过ON的位置到O的距离最小时轨迹与ON轴相切，画出临界轨迹；结合几何关系，有解得故C正确D错误；故选BC。考点：考查了带电粒子在匀强磁场中的运动【名师点睛】带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式，周期公式，运动时间公式，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题。 18．（多选）如图所示，三维坐标系O-xyz的z轴方向竖直向上，所在空间存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为的小球从z轴上的A点以速度沿x轴正方向水平抛出，A点坐标为（0，0，L），重力加速度为g，场强。则下列说法中正确的是（　　）  A．小球运动的轨迹为抛物线 B．小球在平面内的分运动为直线运动 C．小球到达平面时的速度大小为 D．小球的运动轨迹与平面交点的坐标为（，L，0） 【答案】AC【详解】A．带电小球始终受到重力与电场力，因此可等效成一个恒定的力，且此力方向与初速度方向垂直，所以做匀变速曲线运动，运动轨迹即为抛物线，故A正确； B．由于重力与电场力大小相等，所以小球在这两个力的合力所在平面运动，且与水平面成45°，而在xOz平面内的分运动为平抛运动，故B错误； C．小球在重力与电场力共同作用产生的加速度为，则小球到达平面的时间 增加的速度为小球到达平面时的速度大小为故C正确； D．小球在Z轴方向做自由落体运动，只受重力，且初速度为零，所以经过时间 则小球在x轴方向做匀速直线运动，则发生的位移 而在y轴方向小球只受电场力，初速度为零，因此发生的位移 所以小球的轨迹与xOy平面交点的坐标为，故D错误。故选AC。 19．如图所示，在第二象限内有一抛物线的边界，其方程为，在抛物线的上方存在一竖直向下的匀强电场．在抛物线每个位置上连续发射质量为m，电荷量为的粒子，粒子均以大小为的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点O，第四象限内有一边长为l，其中两条边分别与x轴，y轴重合的正方形边界，边界内存在垂直于纸面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场，为与x轴平行的可上下移动的荧光屏，初始位置与磁场的下边界重合，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，粒子打到荧光屏上即被吸收。 （1）求电场强度的大小E； （2）求从处进入的粒子在磁场中运动的时间； （3）若将荧光屏缓慢向上移动，求在向上移动的过程中屏上的最大发光长度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在电场中，根据牛顿第二定律有粒子在电场中做类平抛运动，则在水平方向有竖直方向有其中解得 （2）设粒子进入磁场的速度为v，与y轴的夹角为，根据牛顿第二定律有 根据几何关系可知粒子从y轴离开磁场时与O点的距离为 又解得即到达O点的粒子经过磁场偏转后都从点离开磁场，则有则粒子在磁场中运动的时间为 （3）因为从O点发射进入磁场的粒子速度最小，为，运动半径为从处发射的粒子进入磁场的速度最大，其在沿y轴方向的速度大小为则 将荧光屏缓慢向上移动的过程中，荧光屏发光的最大长度如图所示 由几何知识可知发光的最大长度为 20．如图所示，第一象限内存在沿轴负方向、场强大小为的匀强电场，第二、三、四象限存在垂直平面向里的匀强磁场．把一个质量为、电荷量为的带正电粒子由点静止释放，点到轴和轴的距离均为，粒子从轴上的点第一次进入磁场偏转后，垂直轴再次进入电场，在电场的作用下又从轴上的点（图中未标出）第二次进入磁场，粒子重力不计．求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）两点间的距离； （3）粒子第2023次进入磁场时的位置到坐标原点的距离。 【答案】（1）；（2）2d；（3）4044d 【详解】由题意可知，粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理可得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图 由洛伦兹力提供向心力由几何关系可知 联立可得，匀强磁场的磁感应强度的大小为 （2）粒子再次进入匀强电场中做类平抛运动，x轴方向有 其中，在y轴方向有 联立可得，两点间的距离为 （3）粒子第一次进入磁场时粒子第二次进入磁场时 第二次进入磁场时有，，联立可得，粒子第二次进入磁场时的速度及速度方向与y轴正方向的夹角为，粒子在磁场中的半径为 根据几何关系可知，粒子第二次从坐标原点进入电场后做类斜抛运动，沿y轴正方向的位移为，所以第三次进入磁场时到原点的距离为 同理可得，第四次进入磁场时到原点的距离为 以此类推可知，粒子第2023次进入磁场时的位置到坐标原点的距离为 21．如图所示，在直角坐标平面的第一象限内存在着沿方向的有界匀强电场，其边界由曲线、x轴和直线围成（边界有电场），其中a、b点坐标分别为、，且曲线的轨迹方程为，电场强度的大小，在边界上放有一个和边界等长的粒子放射源，能同时均匀的发射粒子。在的虚线上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，c点为磁场边界和y轴的交点。在紧挨着y轴左侧及下侧存在一个边长L为1m的正方形区域，此正方形区域内存在沿方向的匀强电场（边界有电场），电场强度大小，且在此电场的下边界放置了一个与边界等长的荧光屏。某时刻放射源由静止释放大量带正电的粒子，发现所有粒子均能通过图中c点。已知粒子的电荷量，质量，不计带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用，求： （1）求磁场的磁感应强度的大小； （2）打到荧光屏上的粒子占粒子总数的百分比； （3）到达荧光屏上的粒子的最小动能。 【答案】（1）0.2T；（2）60%；（3） 【详解】（1）从距O点x处释放的粒子在电场中加速再匀速到达虚线，根据动能定理可得  ① 粒子在磁场做圆周运动半个周期从c点出射，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得  ② 由几何关系  ③且  ④由①②③④可得 （2）从c点出磁场的粒子进入第二个电场做类平抛，设某一个粒子能恰好达到荧光屏左边缘，则粒子在垂直电场方向和沿电场方向的位移均为电场的边长L 由运动学公式及牛顿第二定律有  ⑤  ⑥  ⑦由⑤⑥⑦解得 由①④可得则打中荧光屏左端的粒子释放位置为释放位置距离O点越远，粒子在电场1中加速距离越大，获得的速度越大，越能打中荧光屏，即在0.4m到1m范围释放的粒子能打中荧光屏，所占粒子总数的百分比为 （3）设在电场1中加速距离为的粒子在电场2中偏转x2打到荧光屏上 打到荧光屏上时动能为 由以上可得当即 时动能最小，最小动能为 22．如图所示的直角坐标系中，y轴左侧存在范围足够大的匀强电场，电场方向与y轴负方向的夹角为，电场强度的大小为，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。质量为、带电荷量为的带正电粒子在P点由静止释放，经过一段时间由y轴上的Q点（图中未画出）进入磁场。已知粒子重力不计，，，取。 （1）若磁场范围足够大，粒子刚好不从x轴离开磁场，求粒子第2次到y轴时与O点的距离； （2）若磁场的磁感应强度大小为，且该磁场为矩形区域，欲使粒子垂直x轴离开磁场，求磁场面积的最小值。（结果保留两位有效数字） 【答案】（1）；（2）0.32 【详解】（1）粒子刚好不从x轴离开磁场，其运动轨迹如图所示。 由几何关系可知解得 由对称性可知，粒子第2次到y轴时的速度与y轴负方向的夹角为37°，且F点到O点的距离为 （2）作出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系可知 ， 由题意知粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理得 解得 带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由 整理得代入数据得 由几何关系可知粒子轨迹的圆心在x轴上，粒子由C点垂直x轴离开磁场，则 矩形磁场区域的最小面积如图乙所示，则 过作的垂线，分别交、于S、T，则解得所以矩形磁场面积的最小值为 23．在xoy平面内，第Ⅲ象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与负x轴成角在且OM的左侧空间存在着负x方向的匀强电场E，场强大小为，在且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B，磁感应强度大小为，如图所示一不计重力的带负电微粒，从坐标原点O沿y轴负方向以的初速度进入磁场，已知微粒的带电量为，质量为，求： 带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标； 带电微粒在磁场区域运动的总时间； 带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标． 【答案】带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标为； 带电微粒在磁场区域运动的总时间为； 带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标为． 【详解】（1）带电微粒从O点射入磁场，运动轨迹如图， 第一次经过磁场边界上的A点，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：qv0B＝mr＝＝4×10−3m A点位置坐标（-4×10-3m，-4×10-3m） （2）设带电微粒在磁场中做圆周运动的周期为 t=tOA+tAC=T+T代入数据解得t=T=1.256×10-5s （3）微粒从C点沿y轴正方向进入电场，做类平抛运动a＝ △x＝at12＝2r△y=v0t1代入数据解得△y=0.2m  y=△y-2r=（0.2-2×4×10-3）m=0.192m 离开电、磁场时的位置坐标 （0，0.192m）． 【点睛】本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式． 24．如图甲所示，在xOy平面内有一离子源，该离子源能不间断的沿x轴正方向发射宽、沿y方向均匀分布的带负电离子流，离子流速率，单位时间内发射个数为n0，离子流中心纵坐标。离子流沿x方向射入一个半径为，中心O′位于的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B1，方向垂直xOy平面。从离子源中心处射出的离子经磁场偏转后恰能从O点沿y正方向射出。x轴上方有垂直纸面向内的强度可调的匀强磁场B2，调节范围为，在x轴上离O点0.2m处放置有一长度的水平荧光板gh，若有离子打在荧光板上时，荧光板会发出荧光。Og间另有吸收板（图中未画出），离子打在荧光板和吸收板上均不反弹。已知离子的比荷C/kg，不计离子的重力及离子间的相互作用，求： （1）B1的大小和方向；（2）若，稳定后单位时间打到荧光板上的离子数（用n0表示）； （3）若将离子源的宽度变为，中心仍然与O′的y坐标相同（如图乙），离子沿y方向不再均匀分布，但聚焦到O点出射时离子流随角度均匀分布，求打到荧光板上的离子数占总数的比例与磁感应强度B2的函数关系（已知，可表示为）。 【详解】（1）因为离子带负电，根据左手定则可判断出的方向垂直纸面向外。由题意可知，离子在圆形磁场中的运动半径由洛伦兹力提供向心力解得（2）由磁聚焦知识可以得到离子会聚焦到O点且分布在180°的范围内，设与y轴呈角射出的离子恰好打到荧光板左端g点，如图1，由几何关系可知Δ是正三角形，由几何关系可得 沿y轴正向射出的离子打到荧光板的中点，那么与y轴正向呈60°范围的离子都能打到荧光板上。从O点y轴正向呈60°射出的离子在圆形匀强磁场中运轨迹如图2所示，由几何关系可以得到，可得根据对称性可得沿y方向宽度为的离子最终能打到荧光板上，所以稳定后单位时间打到荧光板上的离子数 （3）由第（2）问可知离子源磁聚焦后与y轴呈60°范围内均匀射出，离子圆周运动的半径r与磁感应强度B成反比分析几种临界情况：①当与y轴呈60°出射的离子恰好到g点②当沿y轴正向出射的离子恰好到h点③当沿y轴正向出射的离子恰好到g点分情况讨论：A、当所有离子都不能打到荧光板上B、当所有离子都能打到荧光板上C、当假设与y轴呈角出射的离子恰好到g点，如图3，需满足的几何关系是 代入数据，解得 25．某仪器用电场和磁场来控制粒子在材料表面上方的运动，以磁场与电场之间的薄隔离层为x轴，垂直薄隔离层方向为y轴，如图所示。x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向下。一个质量为m，电荷量为q，重力不计的带负电粒子从y轴上的a（0，h）点沿y轴正方向以初速度开始运动，经过一段时间后，粒子穿越薄隔离层进入电场，第一次在电场中运动时经过y轴的速度方向恰好与y轴垂直。粒子每次穿越隔离层，运动方向不变，其速率损失是每次穿越前速率的10%。求： （1）粒子从开始运动到第一次进入电场前在磁场中运动的时间； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）粒子从开始运动到第五次经过x轴的坐标和运动的时间。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）带负电的粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示由牛顿第二定律有解得从a点到b点的圆心角为，则运动时间为 （2）粒子穿越薄隔离层进入电场时，速度为 第一次在电场中运动时经过点的速度方向恰好与y轴垂直，再从d点进入磁场，由对称性可知c点到d点为类平抛运动，d点的速度与x轴的夹角为，设时间为，有 联立解得， （3）粒子从开始运动到第五次经过x轴上的点经过了重复的匀速圆周运动和类斜上抛运动，轨迹如图所示第二次经过x轴上的点后速度为匀速圆周运动的半径为第三次经过x轴上的点后，速度为第四次经过x轴上的点后，速度为设从到点做类平抛的时间为，水平位移为，有解得则粒子从开始运动到第五次经过x轴的坐标为粒子从开始运动到第五次经过x轴的运动时间为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$