江苏省常州市教科院附属高级中学2024-2025学年高三上学期第一次周测数学试题

试卷第 1页，共 4页 常州市教科院附属高级中学高三第一周周练 一、单选题 1．设全集 { 2, 1,0,1,2,3}U    ，集合  2{ 1, 2}, 4 3 0A B x x x     ∣ ，则 ( )U A B ð （ ） A．{1,3} B．{0,3} C．{ 2,1} D．{ 2,0} 2．设 xR ，则“ sin 1x  ”是“ cos 0x  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数 32 2 2x x xy   在 6,6 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 4．某校文艺部有 4名学生，其中高一、高二年级各 2名．从这 4名学生中随机选 2名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 5．若   cos sinf x x x  在 ,a a 是减函数，则 a的最大值是 A． 4  B． 2  C． 3 4  D． 6．已知向量a  ，b  满足 a b a b       ，则 a b   在 a  方向上的投影向量为（ ） A． a  B．b  C． 2a  D． 2b  7．若 5π 5sin 12 13       ，则 πcos 2 6       （ ） A． 119 169  B． 50 169  C． 119 169 D． 50 169 8．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江 苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这 6个景 点中随机选择 1个景点游玩.记事件 A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件 B为“两位游客选择的景 点不同”，则  P B A （ ） A． 7 9 B． 8 9 C． 9 11 D． 10 11 二、多选题 试卷第 2页，共 4页 9．已知函数�(�) = sin(2� + �)(0 < � < π)的图像关于点 2π ,0 3       中心对称，则（ ） A． ( )f x 在区间 5π0, 12       单调递减 B． ( )f x 在区间 − π 12 , 11π 12 有两个极值点 C．直线 7π 6 x  是曲线 ( )y f x 的对称轴 D．直线� = 3 2 − �是曲线 ( )y f x 的切线 10．已知事件 A，B满足   0.5P A  ，   0.2P B  ，则（ ） A．若 B A ，则   0.5P AB  B．若 A与 B互斥，则   0.7P A B  C．若 A与 B相互独立，则   0.9P AB  D．若  | 0.2P B A  ，则 A与 B相互独立 11．在 ABCV 中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，且  2cos 1c b A  ，则下列结论正确的有（ ） A． 2A B B．若 3a b= ，则 ABCV 为直角三角形 C．若 ABCV 为锐角三角形， 1 1 tan tanB A  的最小值为 1 D．若 ABCV 为锐角三角形，则 c a 的取值范围为 2 2 3, 2 3        三、填空题 12．已知随机变量 X服从正态分布  22,N  ，且 (2 2.5) 0.36P X   ，则 ( 2.5)P X   ． 13．曲线  1 exy ax  在点  0 1， 处的切线的斜率为 2 ，则 a  ． 14．已知函数 2( ) e 2e 2x xf x x   在点   0 0,P x f x 处的切线方程为 l：  y g x ，若对任意 Rx ，都有   0 ( ) ( ) 0x x f x g x   成立，则 0x  ． 四、解答题 15．已如曲线    2 2ln ,f x ax x x b a b     R 在 2x  处的切线与直线 2 1 0x y   垂直. (1)求 a的值； (2)若   0f x  恒成立，求b的取值范围. 试卷第 3页，共 4页 16．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 3, 2, 45a c B   ． （1）求 sinC的值； （2）在边 BC上取一点 D，使得 4cos 5 ADC   ，求 tan DAC 的值． 17．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2的正方形， PC PD ，二面角 A CD P  为直二面角. (1)求证：PB PD ； (2)当PC PD 时，求直线PC与平面 PAB所成角的正弦值. 试卷第 4页，共 4页 18．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防 ､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无 人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 4 5 ，每次投弹是否击中 目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 1 2 ，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 2 3 ，击中目 标三次起火点必定被扑灭. (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 19．已知函数 ( ) ln af x ax x x    ． (1)若 1x  ， ( ) 0f x  ，求实数 a的取值范围； (2)设 1 2,x x 是函数 ( )f x 的两个极值点，证明： 2 1 2 1 4( ) ( ) af x f x a    ． 答案第 1页，共 1页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D A A A D AD BD 题号 11 答案 ABD 1．D 2．A 3．B 4．D 5．A 6．A 7．A 8．D 9．AD 10．BD 11．ABD 12．0.14 / 7 50 ．13． 3 14． 2ln / 1 2 ln 15．(1) 1 2 a  (2) 3 2 b   16．（1） 5sin 5 C  ；（2） 2tan 11 DAC  . 17．(1)证明见解析； (2) 10 5 . 18．(1)分布列见解析， 12 5 (2) 102 125 19．(1) 1 , 2     (2)证明见解析