24.2 解一元二次方程 （课件）2024-2025学年冀教版数学九年级上册

第二十四章《一元二次方程》 24.2（1） 解一元二次方程 （配方法） 学习目标 温故知新 1.求出或表示出下列各数的平方根． (1)121； (2) 25 ； (3) 0.81； (4) 0； (5) 3； (6)　 . 2.一个正数4有（ ）个平方根，是（ ）. 0有（ ）个平方根，是（ ）. 负数-4（ ）平方根. 解决问题 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1 500， x2=25 ∴ x1=5，x2=−5 答：因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm． （舍去） 注意：用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义. 方法归纳 用直接开平方法解一元二次方程 一般的，对于方程 x2 = p， （Ⅰ） （1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的 实数根: . （2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根 x1 =x2 =0 . （3）当p<0时，因为对任何实数x，都有x2≥0 ，∴方程（Ⅰ）无实数根. 分类思想 知识应用 用直接开平方法解一元二次方程 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6 (2) x2－900=0 (3)(x + 3)2 = 5 (3) (x + 3)2 = 5， 得 x + 3 = 　 即 x + 3 = ，或x + 3 = ∴方程(x + 3)2 = 5的两个根为 x1=-3+ ,x2=-3- 整体思想 一元二次方程 一元一次方程 转化思想 降次 能力提升 这个方程怎么解？ 能转化成你会的形式吗？ 解方程 (1) x2-2x+1=4 原方程可化为(x-1)2=4 x-1=±2 x1 =1, x2 =-3 (2) x2-2x=3 只要转化成(x+m)2=n(m、n为常数，且n≥0)的形式，就可以利用直接开平方法求得方程的根！ 把方程的左边化成完全平放式！ 重点知识 用配方法解一元二次方程 通过配方，把一元二次方程变形为一边含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 通过配方，将方程转化成 形式 (x+m)2=n 熟练运用 用配方法解一元二次方程 用配方法解下列方程． (1)x2－10x－11＝0；　 　 (2)x2＋2x－1＝0. 解：(1)移项，得 　 x2－10x＝11 配方与常数项无关！ 配方，得 　x2－10x＋52＝11＋52， 二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方！ 即 (x－5)2＝36. 两边开方，得 x-5=±6 ∴　x1=11,x2=-1　 自己做一做吧！ 难度升级 用配方法解一元二次方程 思考：如何用配方法解方程2x2+4x+1=0？ 当二次项系数不为1时，如何用配方法解方程呢？ 方程两边都除以2，将二次项系数化为1即可！ 解：2x2 +4x=-1 移项（配方与常数项无关） 二次项系数化1 方程两边配一次项系数一半的平方 化为完全平方式 开方（两个结果） 定解 归纳总结 用配方法解一元二次方程 知识应用 用配方法解方程：（1）2x2＋3＝6x （2）3x2-6x+4=0 典型例题 知识应用 变式练习 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5 =k2－4k＋4-4＋5 =（k－2）2＋1 ∵（k－2）2≥0， ∴（k－2）2＋1≥1. ∴ k2－4k＋5的值必定大于零. 注意：方程的配方和代数式的配方的区别和联系！ 知识梳理 课后作业 基础作业：完成同步对应练习. 1 拓展作业：观看课件，完成最后两页的拓展题. 2 1.利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式-x2-x-1的值总是负数, 并求它的最大值. 拓展提升 2.若P=a-2,Q=a2+3a（a为实数），则P与Q 的大小关系是 提示：作差法、配方法 Thank You 谢谢聆听 $$