24.1 一元二次方程 课件 2024-2025学年冀教版数学九年级上册

24.1 一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 导入新课 新知探究 当堂练习 课堂小结 学习目标 学习目标 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 温故知新 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 问题1:如图，5m长梯子斜靠墙上，梯子底端与墙距离是3m，如果梯子底端向右滑动距离与梯子顶端向下滑动距离相等，求梯子滑动距离。 一元二次方程的概念 一 讲授新课 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x m x m 4 m (4-x) m 可得方程，（4-x)2+(3+x)2=52 设梯子滑动距离为x m 根据勾股定理 问题2:如图，大小两个四边形都是矩形，且阴影部分面积为800.请列出关于 的方程。 解：根据题意，列方程： 化简，得： 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 40 60 （4-x)2+(3+x)2=52 以上方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 观察与思考 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 知识要点 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 典例精析 判断下列方程是否为一元二次方程？ 练习册 P21 1 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 一元二次方程的根 二 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 例4：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 1. P36 B组 1 当堂练习 2. 练习册 P21 2 3 7 10 9 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 4.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根 使方程左右两边相等的未知数的值. $$