精品解析：2023-2024学年九年级入学考北师大版数学试题

2023秋九年级入学考试数学试卷（特殊平行四边形） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 2. 下列关于矩形说法，正确的是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线互相垂直且平分 D. 矩形的对角线相等且互相平分 3. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（ ） A 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　） A. 67.5° B. 45° C. 60° D. 75° 7. 如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在第一象限，若点，点，则点C的坐标为（ ）． A （2，3） B. （2，5） C. （5，2） D. （5，3） 8. 如图，已知，，将沿边翻转，得到与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的平行四边形是菱形 9. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中三个角否都为直角 D. 测量一组对角是否都为直角 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知菱形的边长为10，一个内角为，则菱形较短的对角线长是______． 12. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则______． 13. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____． 14. 如图，点在正方形的边上，若的面积为则线段的长为_______． 15. 如图，中，，，，为斜边上一动点（不与点，重合），，，垂足分别为、，连接，则的最小值是____． 16. 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是______． 三、解答题（共86分） 17. 如图，在矩形中，点E、F分别在边上且．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．求证：四边形是矩形． 19. 如图，正方形的对角线上截取，作交于点．求证：． 20. 如图，某学校校园内的正方形花圃边上一块空地（阴影部分）需要绿化．已知正方形的边长为4，，．求需要绿化部分的面积． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上． （1）用尺规作出正方形DECF； （2）求正方形DECF的边长． 22. 如图，，分别是的两条高，点，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB． （1）当PC＝CE时，求∠CDP的度数； （2）求证：BC2+CE2＝2BP2． 24. 如图，正方形的边长为3，，分别是，边上的点，且将绕点逆时针旋转得到． （1）求证：，，三点在同一条直线上； （2）求证： （3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023秋九年级入学考试数学试卷（特殊平行四边形） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 【答案】B 【解析】 【详解】矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选B． 2. 下列关于矩形的说法，正确的是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线互相垂直且平分 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质： 1．矩形的四个角都是直角 2．矩形的对角线相等 3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）． 5．对边平行且相等 6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可． 解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误； B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误； C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误； D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确． 故选D． 3. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 4. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， ∴A、C坐标关于原点对称， ∴C的坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键． 5. 如图，在菱形中，对角线，则的面积为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的． 【详解】是菱形 的面积 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键． 6. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　） A. 67.5° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质和菱形的性质可得∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°，∠CAF＝∠EAF＝∠CAB＝22.5°，由三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°， ∵四边形AEFC是菱形， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠CAB＝22.5°， ∴∠FGC＝∠ACB+∠CAF＝67.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是本题的关键． 7. 如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在第一象限，若点，点，则点C的坐标为（ ）． A. （2，3） B. （2，5） C. （5，2） D. （5，3） 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，证明△AOB≌△BEC，得到BE=AO，EC=OB，计算OE的长即可． 【详解】如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E． ∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（3，0）， ∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3， ∴∠AOB=∠BEC= 90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE， ∴△AOB≌△BEC， ∴BE=AO=2，EC=OB=3， ∴OE=OB+BE=2+3=5， ∴点C（5，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键． 8. 如图，已知，，将沿边翻转，得到的与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线互相平分的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．根据翻折得出，，推出，根据菱形的判定推出即可． 【详解】将延底边翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形； 故选：B． 9. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作学习小组的位同学拟订的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中三个角是否都为直角 D. 测量一组对角是否都为直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法逐一判断即可求解，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； 、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； 、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，故本选项正确； 、根据一组对角是直角不能确定其余两角为直角，故本选项错误； 故选：． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知菱形的边长为10，一个内角为，则菱形较短的对角线长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，根据菱形的性质和已知条件证明为等边三角形，则． 【详解】解：如图，在菱形中，，，为较短的对角线， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：10． 12. 如图，已知矩形的对角线相交于点O，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据矩形性质可知AC=BD，可得． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD=6， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质：对角线互相平分且相等，掌握这一性质是解题的关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝____． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5. 考点：直角三角形斜边上的中线． 14. 如图，点在正方形边上，若的面积为则线段的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意由△ABE的面积可知正方形的面积为2×8=16，因此正方形的边长为4，根据勾股定理可求得BE=5． 【详解】解： 正方形 故答案为： 15. 如图，中，，，，为斜边上一动点（不与点，重合），，，垂足分别为、，连接，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，掌握矩形的判定和性质是解题的关键；连接，可得四边形是矩形，即得，由垂线段最短可知当时，的值最小，求出的最小值即可求出的最小值； 【详解】解：连接， ， 四边形是矩形， 当时，的值最小， 当时，， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：； 16. 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解∶ ①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意； 故答案为：； 三、解答题（共86分） 17. 如图，在矩形中，点E、F分别在边上且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先由矩形的性质得到，则，，再证明，进而证明，则，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，熟知两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键． 18. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，根据已知先判定出四边形是平行四边形，再根据菱形性质得出，根据矩形的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． 19. 如图，正方形的对角线上截取，作交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】先证得到，再结合正方形对角线平分对角及等腰三角形性质即可得到证明； 【详解】证明：∵正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查正方形的性质及直角三角形全等的判定的综合运用，解题的关键是得到． 20. 如图，某学校校园内的正方形花圃边上一块空地（阴影部分）需要绿化．已知正方形的边长为4，，．求需要绿化部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，根据正方形ABCD的边长为4，可得AC＝，又CE＝7，AE＝9，即有AC2＋CE2＝AE2，可得∠ACE＝90°，从而根据需要绿化部分的面积＝S△ACE−S△ABC求解． 【详解】解：连结， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， 在直角中，， 则由勾股定理知：， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴需要绿化部分的面积， 答：需要绿化部分的面积为． 【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上． （1）用尺规作出正方形DECF； （2）求正方形DECF的边长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，先作∠ACB的平分线，得到点D，再分别过点D作AC和BC的垂线，得到点E和点F，顺次连接即可； （2）设正方形的边长为x，根据题意证明△AED∽△ACB，得到，求解即可. 【详解】解：（1）如图， ∴正方形DECF就是所求的； （2）设正方形的边长为x，则AE=4－x， 在正方形DECF中，DE∥CF ∴∠AED=∠ACB， ∵∠A=∠A ∴△AED∽△ACB ∴ ∴ ∴x= ∴正方形DECF的边长为. 【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和相似三角形的应用. 22. 如图，，分别是两条高，点，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证； （2）由（1）可求DM，ME，然后在Rt△DEM中根据勾股定理即可求出DE． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， 、分别是的两条高， ，， ， 是的中点， ，， ， 为的中点， ； 【小问2详解】 解：， ， 点是的中点，， ， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质以及勾股定理等知识，根据角三角形斜边上中线的性质得出DM=DN是解题的关键． 23. 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB． （1）当PC＝CE时，求∠CDP的度数； （2）求证：BC2+CE2＝2BP2． 【答案】（1）22.5°； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由SAS证明△BCP≌△DCP，得出BP=DP，∠CBP=∠CDP，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠CBP=∠PEB=∠CPE=22.5°，即可得出结果； （2）证明∠DPE=∠DCE=90°，由勾股定理得出DE2=CD2+CE2，DE2=PD2+PE2，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=∠DCE=90°， ∴∠PCE=45°+90°=135°， 在△BCP和△DCP中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴BP=DP，∠CBP=∠CDP， ∵PE=PB，PC=CE， ∴PD=PE，∠CBP=∠PEB=∠CPE=（180°-135°）=22.5°， ∴∠CDP=22.5°； 【小问2详解】 证明：设PE交CD于F， 由（1）可知，△BCP≌△DCP（SAS），∠BCD=90°， ∴BP=DP，∠CBP=∠CDP，∠DCE=90°， ∵PE=PB， ∴PD=PE，∠CBP=∠PEB， ∴∠CDP=∠PEB， ∵∠DPE+∠CDP+∠PFD=∠DCE+∠PEB+∠EFC=180°，∠PFD=∠EFC， ∴∠DPE=∠DCE=90°， ∴DE2=PD2+PE2=2PE2=2PB2， ∵DE2=CD2+CE2，BC=CD，PB=PD=PE， ∴BC2+CE2=2BP2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；熟记正方形的性质，证明∠DPE=∠DCE=90°是解决问题（2）的关键． 24. 如图，正方形的边长为3，，分别是，边上的点，且将绕点逆时针旋转得到． （1）求证：，，三点在同一条直线上； （2）求证： （3）当时，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（3）． 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换的性质得到∠DCM=∠DAE=90°，证明结论； （2）证明△EDF≌△MDF，根据全等三角形的性质证明； （3）设EF=MF=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． 由旋转的性质可知， ∴， ∴，，三点在同一条直线上． （2）证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （3）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， 中，由勾股定理得， 即， 解得，则． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$