第2章 有理数的运算（单元复习课件）（知识导图+考点梳理+数学活动+课本复习题）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

nullnullnull 人教版（2024）七年级数学上册 单元复习 第二章 有理数的运算 目录/CONTENTS 数学活动 考点梳理 知识导图 课本复习题 知识结构图 有理数的运算 加法 减法 乘法 乘方 除法 交换律 结合律 分配律 知识梳理 有理数加法法则： 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 互为相反数的两个数相加得0． 一个数与0相加，仍得这个数. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数． 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘，都得0. 知识梳理 有理数除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识梳理 1.计算. (1)150+250 =_____; (2)－15+(－23) =_____; (3)－5－65=_____; (4)－26－(－15) =______; (5)(－6)×(－16) =______; (6)(－ )×27=_______;(7)8÷(－16) =_______; (8)(－25)÷(－) =_______; (9)(－)÷(－) =_______. 400 －38 －70 －11 96 －9 － 随堂练习 7 2.五袋白糖以每袋50干克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下： +4.5，－4，+2.3，－3.5，+2.5 (1)这五袋白糖共超过标准多少干克？ (2)这五袋白糖的总质量是多少千克？ 解：(1)+4.5－4+2.3－3.5+2.5=1.8(千克). (2)50×5+1.8=251.8(千克). 随堂练习 数轴上表示两点间的距离 数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |. 知识梳理 随堂练习 3. 分别求出数轴上两点间的距离： （1）表示 2的点与表示－7的点； （2）表示－3的点与表示－1的点. 解：（1）2－(－7)=2+7=9； （2）－1－(－3)=－1+3=2. 有理数加减乘除混合运算顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. 知识梳理 4.计算： (1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5; 解：(1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5 =－0.02×20×5×4.5 =－9; 随堂练习 (2) (－6.5) ×(－2)÷(－) ÷(－5); 解：(2)(－6.5)×(－2)÷(－)÷(－5) =6.5×2×3× =7.8; 4.计算： (3) 0+(－ )－2－(－1.5); (4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1). 解：(3) 0+(－ )－2－(－1.5) =0－ －2+1.5 =(0+1.5)+(－0.2－2) =1.5－2.2 =－0.7; (4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1) =－264－25 =－289. 随堂练习 乘方 一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 根据有理数的乘法法则可以得出： 1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 2.正数的任何次幂都是正数； 3.0的任何正整数次幂都是0. 知识梳理 5.计算： (1) (－3)3=_____; (2) (－2)4 =_____; (3) (－1.7)2=_____; (4) (－)3 =_____; (5) －(－2)2 =_____; (6) (－2)2(－3)2=_____. －27 16 2.89 － －4 36 随堂练习 知识梳理 有理数的混合运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 6.计算： (1)(－2)2×5－(－2)3÷4; (2)－(3－5)+32×(1－3). 解：(1)原式=4×5－(－8)÷4 =20+2 =22; 解：(2)原式=－(－2)+9×(－2) =2－18 =－16. 随堂练习 7.计算： (1) －22×(－ )+8(－2)2; (2) (－3)2 2×(－) 2+4－22×(－); 随堂练习 解：(1)原式=2+8÷4 =4. 解：(2)原式=9×+4+ = +4+ = . 随堂练习 7.计算： (3) {1+[()3] ×(－2)4 } ( ); 解：(3)原式=[1+() ×16] ( ) = (1+1) () = = = . 知识梳理 科学记数法. 把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法. 用科学记数法表示一个n位整数(n ≥2)，其中10的指数是 n－1. 随堂练习 8.一只苍蝇的腹内细菌多达2 800万个，用科学记数法表示为____________个. 9. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系.其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n”的形式，则n的值是_____(备注：1亿=100 000 000). 9 2.8×107 随堂练习 10. 用科学记数法表示下列各数： (1) 100 000 000; (2) 4 500 000; (3) 692 400 000 000. 1×108 . 4.5×106. 6.924×1011 . 知识梳理 近似数：是指与准确数相近的一个数. 精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示. 11.用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)0.004 57（精确到0.000 1)； (2)566.123 5(精确到个位)； (3)3.896 3(精确到0.01)： (4)0.057 1(精确到千分位) 随堂练习 (1)0.004 57≈0.004 6. (2)566.123 5≈566. (4)0.057 1≈0.057. (3)3.896 3≈3.90. 随堂练习 12. 近似数1.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A.1.15<a<1.25 B.1.15≤a<1.25 C.1.195<a<1.205 D.1.195≤a<1.205 分析：近似数1.20精确到百分位，它是将数a的千分位上的数字四舍五入得到的.对于数a ，若千分位上的数字大于或等于5，则百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“1”；若千分位上的数字小于5，则百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“2”. 故1.195≤a<1.205. D 点击播放 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换以及进制数的加法运算，挖掘古代灿烂文明和现代科学技术的联系. 查阅相关资料，初步了解二进制；查找第十四届国际数学教育大会（ICME-14）标识及其介绍. 活动准备 国际数学教育大会是在国际数学教育委员会指导下举办的全球数学教育界水平最高、规模最大的学术会议，每 4 年举办一次，被誉为国际数学教育界的“奥林匹克”。 活动任务 活动一 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制. 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 十进制：基数为 10，使用 0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9 十个数字. 二进制：基数为 2，使用 0，1 两个数字. 八进制：基数为 8，使用 0，1，2，3，4，5，6，7， 八个数字. 十进制 十进制数：3 7 2 1 3 个千 7 个百 1 个一 2 个十 3 721 = 3×103 + 7×102 + 2×101 + 1×100 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式. 规定当 a ≠ 0 时，a0 = 1 任务1 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为 0 或 1. 请把二进制数 1011 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数. 说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2 就是二进制数1011的简单写法. 十进制数一般不标注基数. 任务1 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为 0 或 1. 请把二进制数 1011 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数. (1011)2 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11. 任务2 把 89 转换为二进制数和八进制数. 89 = 64 + 16 + 8 +1 = 1×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = (1011001)2 . 89 = 64 + 24 +1 = 1×82 + 3×81 + 1×80 = (131)8 . 任务3 通过研究二进制数及十进制数之间的转换，你有哪些发现？进一步地，你能进行其他不同进制数之间的转换吗？ 活动二 探究进制数的加法运算 任务1 查阅资料，分析计算机运算选择二进制的原因，从多个角度分析选择二进制的优越性. 点击 播放 任务2 小组合作，研究二进制数的加法运算法则，并填写表中的活动记录单. 加数 0 0 1 1 加数 0 1 0 1 和 0 1 1 (10)2 （1）根据上面的加法运算法则，计算 (10010)2 + (111)2， 并交流一下计算方法. ( 1 0 0 1 0 )2 + ( 1 1 1 )2， ( 1 1 0 0 1 )2 1 1 （2）①计算 45 + 23； ②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数； ③比较①②的计算结果是否相同. ① 45 + 23 = 68. ②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数； 先将 45，23 分别转换为二进制数： 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 1×25 +0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 = (101101)2 . ②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数； 23 = 16 + 4 + 2 + 1 = 1×24 +0×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 = (10111)2 . ②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数； 将这两个二进制数相加： (101101)2 + (10111)2 = (1000100)2， 将和转换为十进制数： (1000100)2 = 1×26 + 0×25 + 0×24 + 0×23 + 1×22 + 0×21 + 0×20 = 68. （2）①计算 45 + 23； ②把 45，23 分别转换为二进制数，利用二进制数的加法运算法则计算它们的和，再把和转换为十进制数； ③比较①②的计算结果是否相同. 比较发现：①② 的计算结果相同. 任务 3 计算机的存储容量是指存储器能存放二进制代码的总位数，用于计量存储容量的基本单位是字节（byte）.请研究手机、计算机等电子存储设备的容量以及它们存储的一些电子文件的大小，它们通常以什么单位表示？这些单位之间有什么关系？ 手机常见容量：128GB、256GB、512GB、1TB 电脑常见容量：512GB、1TB、2TB b B KB MB GB TB 数据存储单位的相互转换 8 1024 1024 1024 1024 任务 4 古人在研究天文、历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法. 至今，我们仍然使用一星期 7 天、一年 12 个月、一小时 60 分钟的记时方法. 结合角度、时间等实际问题，分小组讨论一下六十进制数的加法运算法则. 点击播放 活动三 任选下列主题之一进行研究 1. 第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案中的卦用的是我国古代的计数符号. 八卦中 称为阳爻（yáo）， 对应数字 1； 称为阴爻， 对应数字 0. 请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法. 2. 除了十进制、二进制、八进制等记数法，日常生活中还经常使用其他进位制，如十二进制、六十进制等. 结合上述学习，写一篇与进位制有关的文章，包括进位制的意义及其运算，不同进位制的特点、适用范围及互相转换等. 1. 计算： （1）-150 + 250； （2）-15+(-23)； （5）(-6)×(-16)； （6）(- )×27； （3）-5-65； （4）-26-(-15)； 100 -38 -70 -11 96 -9 （7）8÷(-16) ； （8） ； （9） . 【教材P61 复习题2】 2. 计算： （1）6 + (- )-2-(-1.5)； （2）(-0.02)×(-20)×(-5)×4.5； （3）(-6.5)×(-2)÷(- )÷(-5)； （4）(-66)×4-(-2.5)÷(-0.1)； -9 5.3 -289 （5）(-2)2×5-(-2)3÷4； （6）-(3-5)+ 32×(1-3). 22 -16 3. 互为相反数的两个数的和是多少？互为倒数的两个数的积是多少？ 解：互为相反数的两数的和是 0，互为倒数的两数的积是 1. 4. 用科学记数法表示下列各数： （1）100 000 000；（2）4 500 000；（3）692 400 000 000. 解：（1）100 000 000 = 1×108 （2）4 500 000 = 4.5×106 （3）692 400 000 000 = 6.924×1011 5. 用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）245.635（精确到 0.1）； （2）175.65（精确到个位）； （3）12.004（精确到百分位）； （4）6.537 8（精确到 0.01）. 245.635 ≈ 245.6 175.65 ≈ 176 12.004 ≈ 12.00 6.5378 ≈ 6.54 6. 计算： （1）-2-|-3|； （2）|-2-(-3)|. -5 1 综合运用 7. 红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜 黄队，比分为 4∶2；蓝队胜黄队，比分为 3∶1；红队 负蓝队，比分为 2∶3. 如果进球数记为正，失球数记为 负，那么三队的净胜球数各是多少？ 红队：(4-2) + (2-3) = 1 黄队：(2-4) + (1-3) = -4 蓝队：(3-1) + (3-2) = 3 8. 下列各数是十名学生的数学检测成绩： 82，83，78，66，95，75，61，93，82，81. 先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力. 解：估算他们的平均成绩是 75，再重新记写他们的成绩：将成绩超过 75 的部分记作正数，低于 75 的部分记作负数，等于 75 的记作 0. 他们的成绩如下：7，8，3，-9，20，0，-14，18，7，6. [7 + 8 + 3 + (-9) + 20 + 0 + (-14) + 18 + 7 + 6]÷10 = 4.6， 平均成绩是 75 + 4.6 = 79.6 9. 某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）. 表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈利还是亏损，金额是多少. 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 -27.8 -70.3 200 138.1 -8 188 458 458-(-27.8-70.3 + 200 + 138.1-8 + 188) = 38 (元) 答：星期六盈利，盈利了 38 元. 【教材P62】 10. 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先 向东走了 7 km，又向东走了 3 km，然后折返向西走了 11.5 km. 此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？ 7 km 3 km 11.5 km 11.5-7-3 = 1.5（km） 答：他在驻地的西方，与驻地的距离是 1.5 km. 驻地 11. 在 0~40 ℃ 范围内，当温度每上升 1 ℃ 时，某种金属丝约伸长 0.002 mm；反之，当温度每下降 1 ℃ 时，金属丝约缩短 0.002 mm. 把 20 ℃ 的这种金属丝加热到 30 ℃，再使它冷却降温到 5 ℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度约伸长多少毫米？ 解：把 20℃ 的金属丝加热到 30℃，其伸长的长度约为0.002×(30-20) = 0.002×10 = 0.02(mm)； 再把 30℃ 的金属丝冷却降温到 5℃，其缩短的长度约为0.002×(30-5) = 0.002×25 = 0.05(mm). 最后的长度比原长度约伸长 0.02 + (-0.05) = -0.03(mm). 12. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为 1.496 亿千米. 试用科学记数法表示 1 个天文单位 是多少千米. 1.496 亿千米 = 149 600 000 km = 1.496×108 km 答：一个天文单位是 1.496×108 千米。 13. 结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后 比较下列数的大小： 拓广探索 （1）小于 1 的正数 a，a 的平方，a 的立方； （2）大于 -1 的负数 b，b 的平方，b 的立方. 解:（1）当a = 0.1时，a2= 0.01，a3 = 0.001，a>a2>a3. （2）当b = -0.2 时，b2 = 0.04，b3 = -0.008，b2>b3>b. 14. 结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法 是否正确. 如果认为正确，请说明理由；如果认为错误， 请举出反例. （1）任何数都不等于它的相反数； 错， 0 的相反数是其本身. （2）互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等； （3）如果 a 大于 b，那么 a 的倒数小于 b 的倒数. 对，因为互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等. 错，例如 a = 1，b = -1，则a > b，其倒数 15. 用计算器计算下列各式，将结果写在横线上： 1×1=________； 11×11=_______； 111×111=________； 1111×1111=__________. （1）你发现了什么？ 1 121 12321 1234321 发现如下规律：1…1×1…1 = 123…(n-1)n(n-1)…321 n个 n个 （2）不用计算器，你能直接写出 111 111 111×111 111 111 的结果吗？ 12345678987654321 $$