第1章 数列（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（湘教版2019选择性必修第一册）

湘教版2019高一数学（选修一） 单元复习 第1章 数列（单元复习） 目录/CONTENTS 题型突破 核心归纳 知识导图 链接高考 高频考点 课堂检测 知识导图 一、等差与等比数列的基本运算 核心归纳 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用. 二、等差、等比数列的判定 判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an 为与正整数n 无关的常数. (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N＋，n≥2)，则{an}为等差数列. ②若 ＝an－1·an＋1(n∈N＋，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列. (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔{an}是公比不为1的等比数列. 三、数列的通项 求数列通项的常用方法 (1)由Sn与an的关系求通项公式：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，当n＝1时，验证a1＝S1.数列{f(n)an}求通项与上述方法类似. (2)累加法：适用形如“an＋1－an＝f(n)”， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1). 四、数列求和 数列求和的常用类型 (1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通 过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中{an} 是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. (3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和. (4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数(是奇数还是偶数)的讨论. 题型突破 题型一：等差数列的有关计算 等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出. 【例1】(1)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 12 (2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝_____. 24 方法一　∵a1＋3a8＋a15＝120， ∴5a8＝120，∴a8＝24， ∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24. 方法二　∵a1＋3a8＋a15＝120， ∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120， ∴a1＋7d＝24， ∴2a9－a10＝a1＋7d＝24. 13 题型二：等差数列的实际应用 (1)解决数列实际应用问题的基本步骤 ①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中. (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 【例2】《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝______. 128 15 由题意，五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，设公差为d， 可得a3＝288＋(3－1)×(－48)＝192， 16 题型三：等差数列的综合应用 解决等差数列综合问题的方法 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 【例3】在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当 取最小值时，n的值是（ ） A.4 　　　　B.5 　　　　C.6 　　　　D.7 B 设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20， 由题意知，d>0，故a>0，b>0， 即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1＋(n＋1)×3，所以n＝5. 18 题型四：分组求和与倒序相加法求和 分组求和的适用题型 一般情况下，形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可. 倒序相加法求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，所以an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列. 20 (2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) 21 【例5】已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N＋)，设f(x)＝x＋ 则数列{f(an)}的各项之和为（ ） A.36 　　　　B.33 　　　　C.30 　　　　D.27 D 所以－2<an<8.又因为an＝n－2，所以an的所有取值为－1,0,1,2，…，7，即a1，a2，…，a9. 所以数列{f(an)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7). 因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)， 所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54. 所以S＝27. 22 题型五：并项求和 并项求和法适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式. 【例6】已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn. 24 题型六：裂项相消法求和 注意点： (1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系. (2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组. (3)检验所留的正项与负项的个数是否相同. 常见的裂项求和的形式： 26 27 【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn， 因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20， ① ② 当q＝－2时，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1. 28 所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1， 29 题型七：错位相减法 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. (2)用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 【例8】求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0). 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， 31 题型八：数列求和中的创新问题 数列求和中的创新问题往往和函数、不等式、平面几何等实际问题相结合，重点考查数列求和的应用意识. 【例9】在①S3＝6，S5＝15；②公差为1，且a2，a4，a8成等比数列；③a1＝1，a2＋a3＋a5＋a6＝16，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足________. (1)求数列{an}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 33 设等差数列{an}的公差为d， 若选①，因为S3＝6，S5＝15， 解得a1＝d＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 若选②， 因为等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a8成等比数列， 34 即(a1＋1)(a1＋7)＝(a1＋3)2， 解得a1＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 若选③， 因为等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＋a5＋a6＝16， 所以4a1＋12d＝16， 即4＋12d＝16， 解得d＝1， 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 35 (2)令cn＝[lg an ]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求c1＋c2＋…＋c2 023. 由(1)知cn＝[lg an]＝[lg n]， 因为c1＝[lg 1]＝0，c10＝[lg 10]＝1， c100＝[lg 100]＝2，c1 000＝[lg 1 000]＝3， 所以当1≤n≤9时，cn＝0， 当10≤n≤99时，cn＝1， 当100≤n≤999时，cn＝2， 当1 000≤n≤2 023时，cn＝3， 所以c1＋c2＋…＋c2 023＝9×0＋90×1＋900×2＋(2 023－999)×3＝4 962. 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 17 18 19 20 21 22 A.20项 　　　　B.21项 　　　　C.22项 　　　　D.23项 √ 课堂检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 A.1 　　　　B.2 　　　　C.3 　　　　D.4 √ ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5， ∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a3＋a4＝2，则a4＋a5等于 A.4 　　　　B.8 　　　　C.16 　　　　D.32 √ 17 18 19 20 21 22 由a3＋a4＝q(a2＋a3)，可得q＝2， 所以a4＋a5＝q(a3＋a4)＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2 023条弦的长度组成一个等差数列{an}，最短弦长为a1，最长弦长为a2 023，则其公差为 17 18 19 20 21 22 √ 由题意，知最长弦长为直径，即a2 023＝10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，则a6a7等于 A.1 　　　　B.3 　　　　C.6 　　　　D.9 17 18 19 20 21 22 √ 因为等比数列{an}的各项均为正数， 且log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，即log3(a1·a2·…·a12)＝12， 所以a1·a2·…·a12＝312，所以(a6a7)6＝312，所以a6a7＝32＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＋a7>0，a6＋a8<0，则Sn最大时n的值为 A.4 　　　　B.5 　　　　C.6 　　　　D.7 17 18 19 20 21 22 √ ∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＋a7>0，a6＋a8<0， ∴a6＋a8＝2a7<0， ∴a6>0，a7<0， ∴Sn最大时n的值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a8＝8(a1＋a5)，a2＋a6＋a10＝10，则S12等于 A.45 　　　　B.75 　　　　C.80 　　　　D.90 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，由a4＋a8＝8(a1＋a5)可知a1q3＋a5q3＝8(a1＋a5)， 所以q＝2，S12＝(a1＋a5＋a9)＋(a2＋a6＋a10)＋(a3＋a7＋a11)＋(a4＋a8＋a12) 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(－1,3) B.[－1,3] C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞) 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 17 18 19 20 21 22 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列{an}的通项公式是 A.an＝3n，n∈N＋ B.an＝3n－1，n∈N＋ C.an＝(－1)n－13n，n∈N＋ D.an＝2n－1，n∈N＋ 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由a3＝a1q2，得q2＝9，即q＝±3. ∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n. 故数列{an}的通项公式是an＝3n，n∈N＋或an＝(－1)n－13n，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为数列{an}是等差数列， 所以设数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d， 则a2n＝a1＋(2n－1)d， 所以a1－d＝0或d＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的是 A.当n＝15时，Sn取最大值 B.当n＝30时，Sn＝0 C.当d>0时，a10＋a22>0 D.当d<0时，|a10|>|a22| 17 18 19 20 21 22 √ √ 对于选项A，因为d的正负不确定，Sn不一定有最大值，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因此，正整数n的可能取值有2,4,14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若an＝(－1)n·(2n－1)，则数列{an}的前21项和S21＝_____. S21＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…－41＝2×10－41＝－21. 17 18 19 20 21 22 －21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为______. 17 18 19 20 21 22 101 ∵在前m项中偶数项之和S偶＝63， ∴奇数项之和S奇＝135－63＝72， 设等差数列{an}的公差为d， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又am＝a1＋d(m－1)， ∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝__________；a1a2·…·an的最大值为______. 17 18 19 20 21 22 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值， 即f(n)min＝－6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 011 所以f(x)＋f(1－x)＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 所以a1＋a2 022＝a2＋a2 021＝a3＋a2 020＝…＝1. 设此数列前2 022项的和为S2 022，则有S2 022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 022，S2 022＝a2 022＋a2 021＋a2 020＋…＋a1， 所以2S2 022＝1×2 022，即S2 022＝1 011. 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. (2)数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由(1)得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2， 18.(12分)在等差数列{an}中，a5－a2＝6，且a1，a6，a21依次成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设数列{an}的公差为d，因为a5－a2＝6，所以3d＝6，解得d＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 得n＝15. 19.(12分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于数列{an}是公比大于1的等比数列， 设首项为a1，公比为q， 17 18 19 20 21 22 所以{an}的通项公式an＝2n，n∈N＋. (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N＋)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64，27＝128， 所以b1对应的区间为(0,1]，则b1＝0； b2，b3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]， 则b2＝b3＝1，即有2个1； b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]， 则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2； b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3； 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]， 则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4； b32，b33，…，b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]， 则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5； b64，b65，…，b100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]， 则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6. 所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 17 18 19 20 21 22 20.(12分)在数列{an}中，前n项和Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1). (1)证明：数列{an}为等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 因为Sn＝1＋kan， ① Sn－1＝1＋kan－1(n≥2)， ② 由①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)， 由已知可得当an＝0时，Sn＝1无意义，所以an≠0. (2)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.(12分)近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元. (1)引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an，构成等差数列， 所以f(n)＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196] ＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10) 2＋204，n∈N＋， 所以当n＝10时，f(n)max＝204(万元)， 即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元. (2)引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设n年后平均盈利为g(n)万元， 故n＝7时，g(n)max＝g(7)＝24(万元)， 即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元. 22.(12分)在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0). (1)求m及a53； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由已知得a31＝a11＋(3－1)×m＝2m＋2， a32＝a31×m＝(2m＋2)×m＝2m2＋2m， a41＝a11＋(4－1)×m＝3m＋2， 即m2－2m＝0. 又m>0，∴m＝2， ∴a51＝a11＋4×2＝10， ∴a53＝a51×22＝40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由(1)得an1＝a11＋(n－1)×2＝2n. 当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n. (*) 又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8. a11＝2，a22＝8符合(*)式， ∴ann＝n·2n. ∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann， ∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n， ① 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由①－②得， －Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1 ＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)·2n＋1－2， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2. (3)累乘法：适用于形如“＝f(n)”，an＝a1···…·. (4)构造法：①形如“an＝kan－1＋b(k，b为常数，k≠0，n≥2，n∈N＋)”，可令an＋t＝k(an－1＋t)，结合已知条件可得t＝，构造等比数列. ②取倒数法：形如“an＝(n≥2，n∈N＋，k，m，p均为常数，m≠0)”，可在等式两边取倒数，转化为等差数列或转化为类型①. 因为a1＝288，a5＝96，可得d＝＝＝－48， 又由长与宽之比都相等，且b1＝192，可得＝， 所以b3＝＝＝128. ＋ 所以(a＋b)＝1＋16＋＋≥17＋2＝25， 即＋≥＝，当且仅当＝， ＝＋. log2， 由f(x)＝x＋log2，知>0，解得－2<x<8. 因为f(6－x)＝6－x＋log2，所以f(x)＋f(6－x)＝6. 若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝. 若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－. 综上所述，Sn＝ ①＝； ②＝； ③＝－； ④＝； ⑤＝－； ⑥ln＝ln(n＋1)－ln n； ⑦＝； ⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]； ⑨(－1)n＝(－1)n. 所以an＝－1或an＝－(－2)n＋1－1. 易知q≠1，所以T2＝＝4， T4＝＝20， 由得1＋q2＝5，解得q＝±2. 当q＝2时，a1＝，所以an＋1＝×2n－1＝； ＝－＝. (2)若an>0，设bn＝log2(3an＋3)，求数列的前n项和. 因为an>0，所以an＝－1， 所以＝＝－， 所以数列的前n项和为＋＋…＋ 当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1， ∴Sn＝－. 综上可得，Sn＝ 所以 所以a2a8＝a， 已知数列1，，，，…，， 1.已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的第 则该数列的通项公式为an＝， 若＝3＝，即2n－1＝45，解得n＝23， 则3是这个数列的第23项. A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a1＝2＝8， 所以d＝＝. ＝(a2＋a6＋a10)＋(a2＋a6＋a10)＋q(a2＋a6＋a10)＋q2(a2＋a6＋a10) ＝(a2＋a6＋a10)＝10×＝75. 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立，则实数m的取值范围为 由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2， 所以＝＝， 所以Tn＝ ＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立， 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0， 10.在等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数可能为 A.1 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－1 所以＝， 因为是一个与n无关的常数， 所以可能是或1. 因为S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－d. 所以Sn＝－dn＋d＝n2－15nd＝[(n－15)2－225]， 对于选项B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确； 对于选项C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确； 对于选项D，a10＝a1＋9d＝－d＋d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d ＋d＝d，因为d<0，所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，|a10|<|a22|，故D错误. 12.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值为 A.2 　　　　B.3 　　　　C.4 　　　　D.14 由题意可得＝＝＝， 则＝＝＝＝3＋， 由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3,5,15， 则S奇－S偶＝＝72－63＝9. ∴＝9， ∵＝135，∴m＝15， ∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101. n－4 由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得 解得 ∴an＝8×n－1＝n－4. ∴a1a2·…·an＝－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4)＝　　　　. 令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n) ＝2－， ∴a1a2·…·an的最大值为－6＝64. 16.已知函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f ，则数列{an}的前 2 022项和为________. 依题意，函数f(x)＝，f(1－x)＝＝， 因为数列{an}满足an＝f ， 所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n. 因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a＝a1a21，即(a1＋5×2)2＝a1(a1＋20×2)，解得a1＝5，所以an＝2n＋3. (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝，求n的值. 由(1)知bn＝＝， 所以bn＝， 所以Sn＝ ＝，由＝， 依题意有 解得或(舍)， 所以an＝an－1. 当n＝1时，S1＝a1＝1＋ka1，所以a1＝. 所以{an}是首项为，公比为的等比数列. 因为a1＝，q＝， 所以an＝·n－1＝－. (3)当k＝－1时，求a＋a＋…＋a. 因为在数列{an}中，a1＝，公比q＝， 所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列. 当k＝－1时，{a}是首项为，公比为的等比数列， 所以a＋a＋…＋a＝＝×. 前n年成本之和为万元， 则g(n)＝＝－4n－＋80，n∈N＋， 因为g(n)＝－4＋80， 当n∈N＋时，n＋≥2＝14， 当且仅当n＝，即n＝7∈N＋时取等号， 已知a11＝2，a41＝a32＋2，＝m. ∵a41＝a32＋2， ∴3m＋2＝(2m2＋2m)＋2， ＝－n·2n＋1 $$