专题04 圆的方程（10基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题04 圆的方程 由圆的方程确定圆心半径 1．（23-24高二上·四川南充·期中）已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（23-24高二上·四川达州·期中）圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则圆的半径是 ． 二元二次方程与圆的关系 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）若方程表示圆，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 5．（23-24高二上·四川·期中）若方程表示圆，则的取值范围为 . 6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程(为实数)表示圆，则 ． 求圆的方程 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知圆的圆心为，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）以为圆心，且经过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川达州·期中）已知：，， (1)求的面积； (2)求的外接圆方程. 6．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)经过点P且与直线垂直的直线方程； (2)求以为直径的圆的方程. 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）若点在圆的内部，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川·期中）直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·四川眉山·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是 . 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是 ． 直线与圆相交弦长问题 1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）（多选）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为 . 6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 圆的切线问题 1．（23-24高二上·四川·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程的斜率. 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，，，，圆为△的外接圆． (1)求圆M的标准方程； (2)过点作圆M的切线，求切线方程． 4．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 圆的对称问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆关于直线对称，且直线与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．（23-24高二上·四川南充·期中）圆关于直线的对称圆的方程为 . 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）圆，圆，判断两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内含 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 3．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆与圆内切，则 . 6．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 两圆的公共弦问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）圆：内有一点，过的直线交圆于，两点. (1)当为弦中点时，求直线的方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求的长度. 3．（23-24高二上·四川·期中）已知圆与圆关于直线对称． (1)求的标准方程； (2)记与的公共点为，求四边形的面积． 4．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知点，圆Q：（Q为圆心）.经过点P，Q的圆的圆心为M，且圆M与圆Q相交于A，B两点. (1)当点M在y轴上时，求圆M的标准方程；并说明此时直线PA，PB都不是圆Q的切线； (2)求线段AB长度的取值范围. 两圆的公切线问题 1．（23-24高二上·四川·期中）（多选）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 与圆有关的轨迹问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标. 与圆有关的最值问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知实数满足方程，则的最大值（    ） A．2 B．4 C． D．1 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）圆C：上一点P到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 5．（23-24高二上·四川雅安·期中）若平面内两定点，间的距离为2，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川·期中）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ． 直线与圆的位置关系综合多选 1．（23-24高二上·四川内江·期中）（多选）已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 2．（23-24高二上·四川内江·期中）（多选）已知圆：，点为直线：上的动点，则下列说法正确的是（） A．直线和圆一定相交 B．若直线平分圆的周长，则 C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则 D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知圆，点.过点作圆的两条切线为切点，则下列说法正确的有（    ） A．当时，不存在实数，使得线段的长度为整数 B．若是圆上任意一点，则的最小值为 C．当时，不存在点，使得的面积为1 D．当且时，若在圆上总是存在点，使得，则此时 4．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知直线，圆，则下列命题正确的是（   ） A．，点在圆外 B．，使得直线与圆相切 C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为 D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 圆与圆的位置关系综合多选 1．（23-24高二上·四川内江·期中）（多选）圆：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．两圆公共弦所在的直线方程为 B．两圆的位置关系为外切 C．公共弦长为 D．两圆有四条公切线 2．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）若圆：与圆：的交点为A，B，则（    ） A．线段AB中垂线方程为 B．公共弦AB所在直线方程为 C．若实数x，y满足圆：，则的最大值为 D．过点作圆：的切线方程为圆 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）（多选）若圆与圆的交点为，则（    ） A．线段中垂线方程为 B．公共弦所在直线方程为 C．公共弦的长为2 D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 5．（23-24高二上·四川雅安·期中）（多选）有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（     ） A．圆 的圆心坐标为，半径为5 B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C．两圆外切 D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 圆的综合应用大题 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O． (1)求圆C的方程． (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段OF的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于，以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围； (3)是否存在定点S，对于经过点S的直线，当与圆交于时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知圆O：x2＋y2＝16，点A（6，0），点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点． （i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值； （ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆和点. (1)过点向圆引切线，求切线的方程； (2)点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程； (3)设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的方程 由圆的方程确定圆心半径 1．（23-24高二上·四川南充·期中）已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】圆的方程为为标准形式， 即圆心与半径分别为，故选：D. 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】C 【解析】因为圆的标准方程的圆心为，半径为， 所以圆的圆心和半径分别为，2.故选：C. 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】可化为， 由圆心为，半径， 易知圆心的坐标为，半径为.故选：C 4．（23-24高二上·四川达州·期中）圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0，则圆的半径是 ． 【答案】 【解析】依题意，故圆的半径为. 二元二次方程与圆的关系 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）若方程表示圆，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程配方后得，它表示圆，则，．故选：C． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程表示圆的方程， 所以，解得，故选：A 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】AD 【解析】把方程整理成 ，即， 若表示圆则满足即，即 所以或，观察答案中只有和符合题意.故选：AD 4．（23-24高二上·四川宜宾·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BCD 【解析】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径， 所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD. 5．（23-24高二上·四川·期中）若方程表示圆，则的取值范围为 . 【答案】或 【解析】由圆的一般方程写出标准方程， ， 即 由，可得或. 故答案为：或 6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程(为实数)表示圆，则 ． 【答案】 【解析】方程表示圆    ，解得：或 当时，方程可化为，此时，满足题意； 当时，方程可化为，此时，方程不表示圆 综上所述： 求圆的方程 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知圆的圆心为，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可设圆的方程为， 因为圆过点，所以，解得， 所以圆的方程为.故选：D. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）以为圆心，且经过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆心是，圆的半径， 所以圆的方程为．故选：B． 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点和点为直径端点， 所以中点，即为圆心， 由， 则圆的半径， 故圆的标准方程为.故选：C. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为，即， 由，解得，即， 圆的半径， 所以圆的方程为.故选：A. 5．（23-24高二上·四川达州·期中）已知：，， (1)求的面积； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)15；(2) 【解析】（1）由题意可得：直线AB的斜率，， 则直线AB的方程为，即， 点到直线AB的距离， 故的面积为. （2）设的外接圆方程为， 则可得，解得， 故的外接圆方程，即. 6．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线，直线，设直线与的交点为A，点P的坐标为. (1)经过点P且与直线垂直的直线方程； (2)求以为直径的圆的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）易知的斜率为，故所求直线斜率是 直线过点，故直线方程为 方程为 （2）联立方程组解得 故，，由中点坐标公式得中点坐标为 由两点间距离公式得， 故所求圆方程为 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）若点在圆的内部，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为点在圆内，则， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离.故选：C 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由曲线，可得， 又由直线，可化为，直线恒过定点， 作出半圆与直线的图象，如图所示， 结合图象，可得，所以， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A. 3．（23-24高二上·四川·期中）直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过、时，， 如图，直线与曲线恰有两个交点，则.故选：C. 4．（23-24高二上·四川眉山·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点， 此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点， 即实数k的取值范围是.故选：B. 5．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为2， 因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线距离为：，， 所以此时b的取值范围是 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为曲线与圆恰有4个公共点， 所以直线，均与圆相交， 且两直线的交点不在该圆上， 则有,解得． 直线与圆相交弦长问题 1．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题意得圆的半径为，圆心到的距离， 所以，故选：B 2．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又， 所以.故选：C 3．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】因为直线：， 方程可化为， 令，解得， 故直线过定点， 且在圆C:内，又, 故当直线被圆C截得的弦长最短时，有， 则，解得，故选：B. 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）（多选）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】圆的标准方程为：， 由题意圆心到直线l的距离 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为， 综上，直线 l的方程为或．故选：AC． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【解析】圆C的圆心坐标为(1,2)，半径为， 圆心到直线的距离为：， 所以直线被圆截得的弦长为：， 故答案为：. 6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍）， 所以圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 又，所以，解得， 所以直线的方程为或 圆的切线问题 1．（23-24高二上·四川·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由得，， 因为该方程表示圆，所以，即，解得， 则实数的取值范围为. （2）令， 开口向下，对称轴为， 当时，圆的面积取得最大值，此时圆的方程为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径长，得到，解得， 即切线方程为，即 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到的距离为，满足题意， 所以也与圆相切， 所以，所求切线方程为或. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程的斜率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意，圆心在直线上，可设圆心坐标为， 圆与直线相切，圆过点且在直线，. ，解得， 所以圆心坐标，半径， 所以圆的方程为 （2）由题，设切线方程是，即， 由于直线与圆相切，故，解得 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，，，，圆为△的外接圆． (1)求圆M的标准方程； (2)过点作圆M的切线，求切线方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）设圆M的方程为， 因为圆为△的外接圆, 所以,解得， 所以圆M的方程为， 故圆M的标准方程为． （2）当切线斜率不存在时，切线方程为， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得 所以切线方程为，即． 综上所述，所求切线方程为或． 4．（23-24高二上·四川德阳·期中）已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． (1)求实数的值； (2)当时，求过点并与圆相切的直线方程． 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 所以，所以， 所以或. （2）因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到的距离为，所以与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以，所以直线方程为， 所以过点并与圆相切的直线方程为或. 圆的对称问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由题意可得，直线过圆心，则，解得.故选：A 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知直线是圆的对称轴，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆方程得：圆心， 直线是圆的对称轴，圆心在直线上，即，解得：.故选：A. 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称， 得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为， 所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得， 所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C 4．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆关于直线对称，且直线与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 又因为直线与直线平行， 所以：设直线方程：， 将圆心代入得：，得直线方程：，故B项正确.故选：B. 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题意在圆中， ∴圆心为，半径为1 在直线中，圆关于该直线对称∴直线过圆心， ∴，即： ∵，解得：，当且仅当时等号成立 ∴的最大值为.故选：D. 6．（23-24高二上·四川南充·期中）圆关于直线的对称圆的方程为 . 【答案】 【解析】的圆心为，关于对称点设为， 则有: ，解得， 所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为. 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·四川成都·期中）圆，圆，判断两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】由圆可化为， 所以圆心，半径， 由圆可化为， 所以圆心为，半径， ， 所以，， 所以，即圆与圆相交，故选：C 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】B 【解析】的圆心为，的圆心为， 由于,， 所以与圆外切，故选：B 3．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意得，圆，圆与圆的圆心距为5， 若，则两圆的半径之和小于5，两圆外离，反之亦成立, 故“”是“圆与圆外离”的充要条件．故选：A. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 【答案】B 【解析】由，得， 所以圆心，半径， 由，得， 所以圆心，半径， 因为圆与圆外切， 所以，即， 所以，得，故选：B 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知圆与圆内切，则 . 【答案】 【解析】由圆知圆心为半径为 由圆知圆心为,半径为 因两圆内切，故，即，解得： 故答案为： 6．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为 ． 【答案】或 【解析】由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，， 当两圆外切时：，解得：； 当两圆内切时：，解得：，负值舍去； 综上：或. 两圆的公共弦问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为.故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）圆：内有一点，过的直线交圆于，两点. (1)当为弦中点时，求直线的方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为弦中点，由垂径定理得⊥， 因为，所以， 故直线的方程为，即； （2）与相减得，， 即直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理得的长度为. 3．（23-24高二上·四川·期中）已知圆与圆关于直线对称． (1)求的标准方程； (2)记与的公共点为，求四边形的面积． 【答案】(1)；(2)9 【解析】（1）将的方程转化为，可得的圆心为，半径为3． 设的圆心为，半径为，因为与关于直线：对称， 所以解得 故的标准方程为． （2）， 根据对称性可知到直线的距离， 则， 则四边形的面积． 4．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知点，圆Q：（Q为圆心）.经过点P，Q的圆的圆心为M，且圆M与圆Q相交于A，B两点. (1)当点M在y轴上时，求圆M的标准方程；并说明此时直线PA，PB都不是圆Q的切线； (2)求线段AB长度的取值范围. 【答案】(1)①，②证明见解析；(2) 【解析】（1）因点M在y轴上，设，又P,Q在圆M上,所以， 即，解得，即，半径, 所以圆M的标准方程为； 又圆M与圆Q相交于A,B, 若圆M是以PQ为直径， 根据直径所对的圆周角为直角有, 但此时可以验证圆心M不在PQ上，所以直线PA,PB都不是圆Q的切线. （2）因圆M过点P,Q，所以圆心在PQ的垂直平分线上， 设，半径， 圆M的标准方程为， 又圆M与圆Q相交于A,B,联立， 得直线AB的方程为， 所以点Q到直线AB的距离为， 所以， 设， 由不等式性质可得， 所以线段AB的取值范围为. 两圆的公切线问题 1．（23-24高二上·四川·期中）（多选）圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或．故选：CD 2．（23-24高二上·四川成都·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】/// 【解析】因为圆的圆心为，半径 圆的圆心为，半径 又因为 所以圆与圆相离，所以有4条公切线. 画图为： 易得或是圆和的公切线 设另两条公切线方程为： 圆到直线的距离为 圆到直线的距离为 所以 所以或 或 当时 所以，切线方程为 当时 所以 所以 所以或 当时，切线方程为 当时，切线方程为 故答案为：或或或 与圆有关的轨迹问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设连线的中点为，则， 则，即. 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由点，，动点M满足， 得， 则， 所以轨迹C围成的图形为圆，其半径平方， 所以圆的面积为.故选：C 3．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设圆的方程为， 将三点，，分别代入方程， 则，解得，，， 所以圆的方程为； （2）设，， 因为点满足，， 所以，， 则，所以. 因为点在圆上运动， 所以， 所以，所以， 所以点的轨迹方程为. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹． 【答案】 【解析】设点M的坐标为、点A的坐标为． 由题意得，∴， 又∵点在圆上， ∴. 即. 故线段AB的中点M的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆． 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）∵圆心在直线上， 设圆心， 已知圆经过点，，则由， 得 解得，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为； （2）设， ∵在圆上，∴， 又，， 由可得：， 化简得， 联立解得或. 与圆有关的最值问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知实数满足方程，则的最大值（    ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】B 【解析】实数x，y满足方程，则点在以为圆心半径为1的圆上， 因为原点到圆心的距离为， 所以圆上的点到原点的距离，所以，所以， 所以的最大值为4.故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】圆 ，即， 则圆心，半径，由点， 则， 即点在圆外，则.故选：C. 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）圆C：上一点P到直线：的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C：的圆心为，半径为， 直线：可化为， 圆心到直线的距离为， 所以圆C上一点P到直线的距离的最小值为.故选：A 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 【答案】B 【解析】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 如图所示，的最小值为的最小值， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故，连接，则即为的最小值， 故的最小值为， 故的最小值为.故选：B 5．（23-24高二上·四川雅安·期中）若平面内两定点，间的距离为2，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设， 由，得，即， 所以点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 又， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为.故选：D. 6．（23-24高二上·四川·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，所以， 又，所以． 因为且，所以， 整理可得， 又动点M的轨迹是， 所以，解得，所以， 又，所以，因为， 所以的最小值为．故选：C． 7．（23-24高二上·四川·期中）若A，B是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知是圆上的动点，点，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题意得设，， 所以，则， 由于是圆上的点， 所以， 所以，解得，即， 所以，如图， 所以的最大值为， 8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】直线：即，过定点 直线：即，过定点 又，故， 则点在以线段为直径的圆上， 即点的轨迹为，即， 假设存在点，使恒成立，设 则，整理得， 与的轨迹对照得，解得， 即存在点，使，即， 所以， 即的最小值为. 直线与圆的位置关系综合多选 1．（23-24高二上·四川内江·期中）（多选）已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过点 B．， C．直线被圆截得的最短弦长为 D．若点是圆上一动点，的最小值为 【答案】AB 【解析】圆：的圆心坐标为， 故，，解得，，圆方程为， 对选项A：因为直线恒过点，正确； 对选项B：，，正确； 对选项C：当直线与垂直时，弦最短，此时， 弦长为，错误； 对选项D：设，即， 当直线与圆相切时，，解得或， 故，错误；故选：AB 2．（23-24高二上·四川内江·期中）（多选）已知圆：，点为直线：上的动点，则下列说法正确的是（） A．直线和圆一定相交 B．若直线平分圆的周长，则 C．若圆上至少有三个点到直线的距离为，则 D．若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值 【答案】BD 【解析】直线：可化为， 由，得所以直线过点， ，所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，所以A选项错误. 圆：的圆心为，半径. B选项，若直线平分圆的周长，则直线过点， 则，所以B选项正确. C选项，由于，所以要使圆上至少有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离不大于， 即， 两边平方得， 由解得， 所以不等式解得，所以C选项错误. D选项，若，则直线：， 过点作圆的两条切线，切点为，，要使最大， 则最大，由于三角形是直角三角形，，， 所以最大时，最小， 直线的斜率且， 过点且斜率为的直线方程为， 由解得， 即当点坐标为时，有最大值，所以D选项正确. 故选：BD 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知圆，点.过点作圆的两条切线为切点，则下列说法正确的有（    ） A．当时，不存在实数，使得线段的长度为整数 B．若是圆上任意一点，则的最小值为 C．当时，不存在点，使得的面积为1 D．当且时，若在圆上总是存在点，使得，则此时 【答案】ACD 【解析】对于A项：当时，圆：，圆心，半径， 由点得的轨迹方程为：，如下图： 由，所以当最小时，最小， 的最小值为圆心到的距离， 此时：， 又因为：，故， 所以当时，不存在实数，使得线段的长度为整数，故A项正确； 对于B项：圆心得圆心的轨迹方程为， 所以到直线的距离为， 所以是圆上任意一点，则的最小值为：，故B项错误； 对于C项：当，圆：， 由A项知的轨迹方程为：，如下图： 由：，故最小时，最小， 的最小值为圆心到直线的距离为，设，由A项知， 进而可得中边上的高为，所以， 因为：，所以得：，故C项正确； 对于D项：由题设可得，故， ，解得：， 又因为，所以：，故D项正确.故选：ACD. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知直线，圆，则下列命题正确的是（   ） A．，点在圆外 B．，使得直线与圆相切 C．当直线与圆相交于PQ时，交点弦的最小值为 D．若在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，m的值为 【答案】ACD 【解析】将点的坐标代入圆的方程，得， 所以点在圆外，故A正确； 整理直线的方程为：， 由解得，可知直线过定点， 将定点代入圆的方程，可得， 所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误； 当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小， 此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确； 当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1， 即，解得，故D正确.故选：ACD. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（    ） A．四边形的面积最小值为 B．M为圆C上一动点，则最小值为 C．最短时，弦直线方程为 D．最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确.故选：ACD. 圆与圆的位置关系综合多选 1．（23-24高二上·四川内江·期中）（多选）圆：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．两圆公共弦所在的直线方程为 B．两圆的位置关系为外切 C．公共弦长为 D．两圆有四条公切线 【答案】AC 【解析】将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故A正确； 圆的圆心为，半径为， 由可得， 即圆的圆心为，半径为，则两圆的圆心距为， 因为，所以两圆相交，公切线有两条，故BD错误； 点到直线的距离为， 则公共弦的长度为，故C正确；故选：AC. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）若圆：与圆：的交点为A，B，则（    ） A．线段AB中垂线方程为 B．公共弦AB所在直线方程为 C．若实数x，y满足圆：，则的最大值为 D．过点作圆：的切线方程为圆 【答案】BD 【解析】圆：的圆心， 圆：的圆心， 对于A：线段AB中垂线即为直线，方程为，即，A错误； 对于B：圆和圆方程作差得，整理得，B正确； 对于C：令，则，代入得 ，整理得， 方程有解，故，解得， 则的最大值为，C错误； 对于D：点在圆：上， 故切线方程为，即，D正确.故选：BD. 3．（23-24高二上·四川德阳·期中）（多选）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】圆的圆心，半径， 的圆心， 半径， 显然，即圆与圆相交， 对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A正确； 对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为， 而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确； 对于C，点到直线的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确．故选：ABD 4．（23-24高二上·四川资阳·期中）（多选）若圆与圆的交点为，则（    ） A．线段中垂线方程为 B．公共弦所在直线方程为 C．公共弦的长为2 D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆 【答案】BD 【解析】，， 则，，，， 对于A，联立两圆方程得，可得， 即公共弦所在直线方程为，故B正确； 由题意可知线段中垂线为直线， 又因为，， 所以直线的方程为：，故A错误； 因为圆心在公共弦上，则公共弦的长为，故C错误； 圆心在公共弦上，所以在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，故D正确. 故选：BD. 5．（23-24高二上·四川雅安·期中）（多选）有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（     ） A．圆 的圆心坐标为，半径为5 B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为 C．两圆外切 D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为 【答案】ABD 【解析】对于A，将圆的方程化为标准方程得， 由此可知圆 的圆心坐标为，半径为5，故A选项正确； 对于B，将圆的方程化为，如图所示： 不妨设分别为两圆上两个点，四个点共线， 则由三角不等式可知， 而分别为两圆的半径，即， 是指两圆圆心之间的距离，即， 所以， 由等号成立的条件可知，当且仅当点与点重合，点与点重合时， ，故B选项正确； 对于C，由B选项分析可知， 故两圆相交，而不是外切，故C选项错误； 对于D，如图所示： 由题意不妨设，中点为，则， 又由于的半径为， 所以由垂径分线定理可知，即， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以，故D选项正确.故选：ABD. 圆的综合应用大题 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线相切于原点O． (1)求圆C的方程． (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点的距离等于线段OF的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在点，使Q到定点的距离等于线段OF的长. 【小题1】设圆的圆心为，则圆的方程为：. ∵直线与圆相切于原点，∴点在圆上，且垂直于直线， 于是有，解得：或. 由于在第二象限，故，，故. ∴圆的方程为：. 【小题2】存在，这是因为： 设存在符合条件的点，则：， 解得：或（舍去）， ∴圆存在点，使到定点的距离等于线段的长. 2．（23-24高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于，以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围； (3)是否存在定点S，对于经过点S的直线，当与圆交于时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，. 【解析】（1）因为以为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径， 所以圆的方程为. （2）如图，直线与圆相切，设，则， 由题意知当时满足题意， 所以由，得， 由于，所以由距离公式得，解得， 所以的取值范围为. （3）直线交轴于， 当直线的斜率存在时，设， 设与圆的交点，， 根据题意只需，即， 把，代入化简得，① 联立消去得， ，所以， 由韦达定理得， 代入①式得， 化简得，即， 所以，恒过点， 当直线的斜率不存在时，过点的直线显然存在满足题意， 故满足题意的点S的坐标为. 3．（23-24高二上·四川眉山·期中）如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)证明直线过定点，并求出定点的坐标； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点；(2)；(3) 【解析】（1）由题，圆的圆心坐标，半径为1， 所以，，， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为， 即，所以， 所以直线过定点； （2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为，直线过的定点为， 易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆，，， ∴点的轨迹方程为； （3）设过点P的圆M的切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 4．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知圆O：x2＋y2＝16，点A（6，0），点B为圆O上的动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设T（2，0），过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点． （i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值； （ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1)；(2)（i）7；（ii）存在，. 【解析】（1）设，， 因为点在圆上，所以①， 因为为中点，所以，整理得， 代入①式中得，整理得， 所以曲线的方程为. （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，， 所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为7. （ii）设，， 联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以在定直线上. 5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆和点. (1)过点向圆引切线，求切线的方程； (2)点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程； (3)设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)和；(2) (3)存在，理由见解析，或 【解析】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2， ，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. （2）设点，点，点且点是线段的中点， ，由题意，点是圆上任意一点， ，即，符合题意， 点运动的轨迹的方程为； （3）由题设，，,设, ,，，， 因为,得，即, 因为在线段上，所以，即， 若存在，由题意可不妨设的方程为，如图所示为正数， 联立， （i） 设. 由求根公式 ， . 所以， 化简得：（ii） （ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线， 并且可以解得直线的斜率或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$