专题03 直线的方程（10基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

专题03 直线的方程 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线的倾斜角为（    ） A．0° B．90° C．180° D．不存在 3．（23-24高二上·四川·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川·期中）已知点，，则直线斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川·期中）（多选）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川·期中）已知直线的斜率为6，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率为 . 直线方程的求解 1．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知的三个顶点是． (1)试判定的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 4．（23-24高二上·四川·期中）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 5．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 直线过定点问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线过定点A，则A的坐标为 . 3．（23-24高二上·四川·期中）已知直线经过定点，则点的坐标为 . 直线的方向向量应用 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）（多选）直线的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川内江·期中）若直线的一个方向向量是，则实数k的值为 ． 直线的一般方程与性质 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知，则直线通过（    ）象限 A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四 3．（23-24高二上·四川成都·期中）要使直线不通过第二象限，则的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 两条直线的平行及应用 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）直线与直线互相平行，则实数（    ） A． B．4 C． D．2 2．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线：和：平行，则实数（    ） A．2或 B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·四川内江·期中）若直线与直线互相平行，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 5．（23-24高二上·四川凉山·期中）直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ． 两条直线的垂直及应用 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知直线与直线互相垂直，垂足为则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）若直线与垂直，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 3．（23-24高二上·四川资阳·期中）直线：与直线：互相垂直，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 4．（23-24高二上·四川眉山·期中）过点且垂直于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川·期中）已知，直线，若，则实数的值为 . 6．（23-24高二上·四川达州·期中）若直线与直线垂直，则实数m的值为 . 两条直线的交点问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．5 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）（多选）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则 . 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为 . 三种距离公式的应用 1．（23-24高二上·四川成都·期中）点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·四川·期中）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 3．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线：与：之间的距离为，则（    ） A．13 B．13或 C．7 D．7或 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 6．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 点与直线的对称问题 1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川内江·期中）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过的重心，则Q的坐标等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 . 直线与线段相交范围问题 1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）直线l：与连接，的线段相交，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 5．（23-24高二上·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 6．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 直线与坐标轴围成面积问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4． (1)若直线的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 5．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 6．（23-24高二上·四川达州·期中）直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 与直线有关的距离最值问题 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 3．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线的方程 直线的倾斜角与斜率 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知直线的斜率为.故选：A 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线的倾斜角为（    ） A．0° B．90° C．180° D．不存在 【答案】B 【解析】因为直线与轴垂直， 所以直线的倾斜角为90°.故选：B 3．（23-24高二上·四川·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以直线的倾斜角为146°.故选：D 4．（23-24高二上·四川·期中）已知点，，则直线斜率的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，直线的斜率取得最小值，且最小值为，故选：A. 5．（23-24高二上·四川·期中）（多选）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】记直线的倾斜角为，斜率为， 则，即， 由正切函数图象可得.故选：AD 6．（23-24高二上·四川·期中）已知直线的斜率为6，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率为 . 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 又直线的斜率为6，即， 所以，直线的斜率为. 直线方程的求解 1．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当直线过原点时，设直线方程为， 因过点，则直线的方程为，即，故A正确； 当直线截距相等时，设直线方程为， 因过点，则，则直线的方程为，故C正确； 当直线截距互为相反数时，设直线方程为， 因过点，则，则直线的方程为，故B正确．故选：ABC． 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知的三个顶点是． (1)试判定的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)等腰直角三角形；(2) 【解析】（1）由题可知，， 因为， 所以，所以是直角三角形， 又因为， 所以，所以是等腰三角形 综上可知，是等腰直角三角形． （2）的中点坐标为，又， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 所以边上的中线所在直线的方程为：． 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）因为直线的斜率， 由题意可得：，解得， 则，所以MN的中点A的坐标为，即. （2）因为直线过点，设直线在x轴上的截距为，则在y轴上的截距是的， 则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即； 当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 4．（23-24高二上·四川·期中）已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得，则的方程为， 其斜截式方程为． （2）设的截距式方程为， 由题意得得， 所以在轴上的截距为． 5．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为， 到直线的距离分别为4和2，不符合题意，. 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 （2）线段的中点， 所以直线所在直线方程为. 直线过定点问题 1．（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点.故选：C. 2．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线过定点A，则A的坐标为 . 【答案】 【解析】直线 可化为， 联立，解得，所以点A的坐标为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·四川·期中）已知直线经过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】直线即， 由得， 所以点的坐标为. 直线的方向向量应用 1．（23-24高二上·四川眉山·期中）（多选）直线的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可知，直线的斜率，所以直线的一个方向向量为， 并且和向量平行的向量为，当时，向量为.故选：BD 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵直线的一个方向向量为，∴直线的斜率， 设直线的倾斜角为，∴，∴.故选：C. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设点为直线上异于点的任意一点， 则由直线的斜率和方向向量之间的关系可知， 整理得，因此满足题意的直线方程为.故选：A. 4．（23-24高二上·四川内江·期中）若直线的一个方向向量是，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为， 所以，解得． 直线的一般方程与性质 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）直线在轴和轴上的截距分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线，当时，；当时，， 直线在轴和轴上的截距分别为，.故选：B. 2．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知，则直线通过（    ）象限 A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四 【答案】A 【解析】由题意，直线， 因为，所以， 所以直线过第一、二、三象限.故选：A. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）要使直线不通过第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 即，联立，解得， 直线经过定点，经过第一象限； ①当时，直线不经过第二象限， ②当时，直线方程化为：， 要使直线不经过第二象限，由于,则，解得：． 综上，要使直线不经过第二象限，则． 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 两条直线的平行及应用 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）直线与直线互相平行，则实数（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【解析】当时，，，此时，不满足条件， 当时，应满足，解得， 综上，.故选：D. 2．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线：和：平行，则实数（    ） A．2或 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】当：，：平行 得，解得或， 当时，：，：，即， 此时直线和直线重合，故不符合题意， 当时，：，：，此时直线和直线平行，符合题意；故选：D 3．（23-24高二上·四川内江·期中）若直线与直线互相平行，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为直线与直线互相平行， 则，解得.故选：A. 4．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】由两直线平行，得，解得. 当时，直线与直线平行，故.故选：B. 5．（23-24高二上·四川凉山·期中）直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 解得或,时，与重合，不合题意，所以 时， ， 故选：C. 6．（23-24高二上·四川雅安·期中）已知都是正数，且直线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线平行， 所以，即， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8． 两条直线的垂直及应用 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知直线与直线互相垂直，垂足为则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线互相垂直，则，可得， 由题意可知，点为两直线的公共点，则，解得， 再将点的坐标代入直线的方程可得，解得， 因此，.故选：D. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）若直线与垂直，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】由题意，∴．故选：D． 3．（23-24高二上·四川资阳·期中）直线：与直线：互相垂直，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】C 【解析】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得.故选：C. 4．（23-24高二上·四川眉山·期中）过点且垂直于的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设过点且垂直于的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 所以所求直线方程为.故选：D. 5．（23-24高二上·四川·期中）已知，直线，若，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，即，解得（舍去）或. 6．（23-24高二上·四川达州·期中）若直线与直线垂直，则实数m的值为 . 【答案】 【解析】因为直线的法向量为， 直线的法向量为 由于垂直，则对应法向量相互垂直， 所以，即，则. 两条直线的交点问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】CD 【解析】由题意可得直线与都经过原点， 而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以.故选：CD 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）（多选）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】BCD 【解析】若，则解得． 若，则解得． 由解得即与的交点坐标为， 若过点，则，解得．故选：BCD． 3．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则 . 【答案】或或， 【解析】直线：，：，：，不能围成三角形， 则其中有2条直线平行（或重合），或者三线经过同一个点， 若（或重合）或者（或重合）时，则或，解得或． 若三线经过同一个点，则直线：，：，的交点在上， 所以，解得． 故或或， 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线与交于点，则 ． 【答案】 【解析】由得，所以，. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知直线：与直线：互相垂直，则它们的交点坐标为 . 【答案】 【解析】因为直线：与直线：互相垂直， 所以，解得， 联立，解得直线和的交点坐标为， 三种距离公式的应用 1．（23-24高二上·四川成都·期中）点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 2．（23-24高二上·四川·期中）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【解析】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得．故选：C 3．（23-24高二上·四川资阳·期中）已知直线：与：之间的距离为，则（    ） A．13 B．13或 C．7 D．7或 【答案】B 【解析】因为，则，得或.故选：B. 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为两直线平行，所以，解得， 所以直线为，即， 所以两平行线之间的距离.故选：C. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解析】由直线l：，令， 所以直线l过定点，仅当时，点线距离最大为， 而，此时，即， 所以直线l为，即.故选：A 6．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 【答案】AD 【解析】由题意得，解得或.故选：AD. 点与直线的对称问题 1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即.故选：D 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：.故选：A 3．（23-24高二上·四川内江·期中）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过的重心，则Q的坐标等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，如图建立直角坐标系： 则，直线方程为即， 三角形重心为即， 设，关于直线对称点为， 则，解得 由光的反射可知四点共线，又， 所以直线斜率为， 则直线方程为，且过重心， 即，整理得，解得舍去，， ∴直线的解析式：，即， ∵直线与直线交于点， ∴，解得：，即.故选：B. 4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）（多选）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意知，，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以反射光线所在的直线方程为， 所以当时，；当时，，故选：BC 5．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知直线与直线关于直线对称，则的方程为 . 【答案】 【解析】与不平行， 故经过与的交点， 联立，解得， 即在上， 取上另一点，设关于直线的对称点为， 则有，解得， 过两点和，故方程为，即 故答案为： 直线与线段相交范围问题 1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交， 由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是．故选：A. 2．（23-24高二上·四川眉山·期中）直线l：与连接，的线段相交，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线l：与连接，的线段相交， 可得，在直线的l：的两侧或在直线上， 可得，即， 可得， 则实数的取值范围为或.故选：D. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 直线过点，且与线段相交， 则直线的斜率取值范围是.故选：C 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】 可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 5．（23-24高二上·四川内江·期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图所示，可知直线自位置绕P旋转至位置的过程中都可符合题意， 该过程中直线的斜率在， 易知，， 故，则倾斜角. 6．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 直线与坐标轴围成面积问题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.故选：B. 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 3．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)最小值为，此时直线的方程为. 【解析】（1）直线变形为， 令，解得，故直线恒过点， 又，故点在上， 故直线与直线总有公共点； （2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点， 故直线的斜率存在且大于0，故， 中，令，得， 中，令，得， 显然，解得， 则， 令， 则， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16， 此时，，直线的方程为. 4．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线的横截距为m，且在x轴，y轴上的截距之和为4． (1)若直线的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 【答案】(1)；(2)面积的最大值为2， 直线方程为 【解析】（1）依题意知，直线在x，y轴上的截距都存在且不为0， 设直线的方程为（且）， 令，可得，令，可得， 即直线经过点，， 所以直线的斜率为，解得； （2）设直线的方程为（且）， 由直线分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， 可得，解得， 又由，， 可得， 当时，取得最大值2， 此时直线方程为，即. 5．（23-24高二上·四川眉山·期中）已知直线l过点. （1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程； （2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零， 所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为， 所以直线在坐标轴上截距分别为，， 所以，整理得，解得或 所以直线l方程为或. （2）由（1）知， 因为， 所以面积为， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积最小值 6．（23-24高二上·四川达州·期中）直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析；(2)， 【解析】（1）直线的方程变形为为， 由，得到， 又时，恒成立， 故直线恒过定点. （2）由， 令，得到，令，得到， 由，得到， 所以，， 令，得到， 当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为， 又，， 所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为. 与直线有关的距离最值问题 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为，故选：D 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【答案】A 【解析】如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为.故选：A 3．（23-24高二上·四川自贡·期中）已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】找出点关于轴的对称点，连接， 与轴的交于点，连接，此时为最短， 由与关于轴对称，， 所以，又， 则直线的方程为 化简得：，令，解得，所以故选：D． 4．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，设关于直线的对称点， 所以，解得，所以， 由直线的对称性知，，则， 当且仅当三点共线时，等号成立，即取到最小， 由及知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以最小时，点P的坐标是.故选：C 5．（23-24高二上·四川绵阳·期中）若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点， 则有，． 故（当且仅当时取“” 故选：． 6．（23-24高二上·四川成都·期中）设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】设关于的对称点为，关于轴的对称点为， 则，解得，故， 连接交轴于点，交直线于点，连接， 则， 此时的周长最小，最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$