专题03 实数（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中好题汇编（北师大版）

专题03 实数 实数的分类 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）在实数、、、、中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（    ） A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数 3．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ，，，，， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 4．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，，，，． 实数的大小比较 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）比较大小： ； （填写“”或“”） 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）将实数，，，，0，，中的无理数用“”连接起来 ． 7．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 8．（23-24八年级上·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 9．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数______，点表示数______； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的数用“＜”连接； ______＜______＜ 0 ＜______＜______＜______＜______． 平方根与算术平方根 10．（23-24八年级上·广西崇左·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·云南昆明·期中）已知一个正数的平方根是和，则 ． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知，，则 ． 13．（23-24八年级上·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 14．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 15．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 立方根 16．（23-24八年级上·山东青岛·期中）下列说法中，错误的是（    ） ①没有立方根．②27的立方根是．③9的立方根是3.④是的平方根．⑤0.3，0.4，0.5满足，所以它们是勾股数． A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 17．（23-24八年级上·重庆江津·期中）下列各组数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，，则的值约是（　） A．0.2311 B．23.11 C．231.1 D．2311 19．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：的立方根是，4是的算术平方根，求的平方根． 20．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）求下列各式中的 x值． (1) (2) 实数的混合运算 21．（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 22．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 23．（23-24八年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) 二次根式的概念及同类二次根式 24．（2023八年级上·全国·专题练习）下列各式中，二次根式是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级上·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．（23-24八年级上·云南大理·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 28．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 29．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）给出二次根式：①；②；③；④，其中化简后能与合并的是 （填序号）． 二次根式的混合运算 30．（23-24八年级上·福建福州·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级上·重庆长寿·期中）估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 32．（23-24八年级上·山东烟台·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ． 33．（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 34．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 35．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 二次根式的化简求值 36．（23-24八年级上·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 37．（23-24八年级上·广西钦州·期中）已知，，则代数式的值为 ． 38．（23-24八年级上·四川达州·期中）如果，那么 ． 39．（23-24八年级上·云南昆明·期中）已知 (1)求的值． (2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值． 40．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2）当，时，求代数式的值． 41．（23-24八年级上·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 42．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 43．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）已知，且x，y都是正数，求的值． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）计算的值为（    ） A．0 B．64 C．86 D．126 2．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（    ）    A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为 ． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则 ． 8．（23-24八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 10．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 11．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是______，分母有理化得______； (2)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 12．（23-24八年级上·福建三明·期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，5－与是关于1的平衡数，求，的值； （2）若（m＋）×（1－）＝－2n＋3（－1），判断m＋与5n－是否是关于1的平衡数，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数 实数的分类 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）在实数、、、、中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由无理数的定义可知，这一组中无理数有：、、，共3个 有理数有：、，共2个． 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（    ） A．分数 B．负数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【详解】解：圆周率是无理数． 故选D． 3．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ，，，，， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 【答案】整数集合0，，；无理数集合，，；负实数集合， 【详解】， 整数集合{ 0，，}； 无理数集合{ ，，}； 负实数集合{ ，}． 故答案为：0，，；，，；，． 4．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，，，，． 【答案】，0，， ，，；，， 【详解】解：， 如图， 故答案为：，0，， ，，；，，． 实数的大小比较 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）比较大小： ； （填写“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：；． 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）将实数，，，，0，，中的无理数用“”连接起来 ． 【答案】 【详解】解：实数，，，，0，，中无理数有，，， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 【答案】(1)，， (2)，， 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：， ∴点表示的实数为和， ∵， ∴， ∴点表示的实数为； 故答案为：，， （2）∵点C表示的数为，点D表示的数为3 ∵点B表示的数为 ， ∴， ∵， ∴ ∴． 8．（23-24八年级上·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知七个实数，，4，，，0，．其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数______，点表示数______； (2)在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积），并将所有的数用“＜”连接； ______＜______＜ 0 ＜______＜______＜______＜______． 【答案】(1)0，，，4 (2)见解析， 【详解】（1）根据在数轴上的位置,可知，点表示数，点表示数，点表示数, 点表示数 故答案为:0，，，4； （2）在数轴上准确地表示数 如图所示： 由数轴可知， 故答案为：. 平方根与算术平方根 10．（23-24八年级上·广西崇左·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，所以此选项正确； B．，所以此选项错误； C．，所以此选项错误； D．，所以此选项错误； 故选：A． 11．（23-24八年级上·云南昆明·期中）已知一个正数的平方根是和，则 ． 【答案】5 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：5． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知，，则 ． 【答案】31.9 【详解】解：，， ． 故答案为：31.9． 13．（23-24八年级上·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 14．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵a的平方根为， ∴， ∵的算术平方根为2 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 15．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 立方根 16．（23-24八年级上·山东青岛·期中）下列说法中，错误的是（    ） ①没有立方根．②27的立方根是．③9的立方根是3.④是的平方根．⑤0.3，0.4，0.5满足，所以它们是勾股数． A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：①有立方根，原说法错误； ②27的立方根是，原说法错误； ③9的立方根是，原说法错误； ④是的平方根，说法正确． ⑤0.3，0.4，0.5满足，但不是整数，所以它们不是勾股数，原说法错误； 故错误的为①②③⑤， 故选C． 17．（23-24八年级上·重庆江津·期中）下列各组数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．与 【答案】D 【详解】A．和不是相反数； B．和不是相反数； C．和不是相反数； D．与是相反数； 故选：D． 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，，则的值约是（　） A．0.2311 B．23.11 C．231.1 D．2311 【答案】B 【详解】解：∵ 被开方数小数点向右移3位，开立方后的结果小数点向右移一位， ∴． 故选：B 19．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：的立方根是，4是的算术平方根，求的平方根． 【答案】的平方根是 【详解】解：∵的立方根是，4是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 20．（23-24八年级上·湖北十堰·期中）求下列各式中的 x值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 实数的混合运算 21．（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B， ∴点B表示的数为，即； （2）解：∵， ∴． 23．（23-24八年级上·山东德州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） ． 二次根式的概念及同类二次根式 24．（2023八年级上·全国·专题练习）下列各式中，二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 25．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 26．（23-24八年级上·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 27．（23-24八年级上·云南大理·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 28．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）给出二次根式：①；②；③；④，其中化简后能与合并的是 （填序号）． 【答案】③ 【详解】解：将各个二次根式化为最简二次根式， 得①；②；③；④， 所以被开方数为6的有． 则与可以合并的是③． 故答案为：③． 二次根式的混合运算 30．（23-24八年级上·福建福州·期中）下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 31．（23-24八年级上·重庆长寿·期中）估计的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的值应在3和4之间， 故选：B 32．（23-24八年级上·山东烟台·期中）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【详解】解：输入3， 第一步， 第二步， 第三步． 故答案为：． 33．（23-24八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 34．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)27； (2)． 【详解】（1） ； （2） ． 35．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第_______步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【答案】(1)③ (2) 【详解】（1）小明从第③步开始出错的； 故答案为③； （2）原式 ． 二次根式的化简求值 36．（23-24八年级上·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 37．（23-24八年级上·广西钦州·期中）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：原式， 当，时， 原式 ． 38．（23-24八年级上·四川达州·期中）如果，那么 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 39．（23-24八年级上·云南昆明·期中）已知 (1)求的值． (2)若x的小数部分是m， y的小数部分是n，求的值． 【答案】(1)15 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， 的小数部分是， ， ， ， 的小数部分是， ， ． 40．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2）当，时，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 41．（23-24八年级上·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 42．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2） ． 43．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）已知，且x，y都是正数，求的值． 【答案】 【详解】解：，且x，y都是正数， ， 当时， 原式． 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）计算的值为（    ） A．0 B．64 C．86 D．126 【答案】D 【详解】解：原式 ． 故选D． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（    ）    A．0.7米 B．0.4米 C．0.8米 D．1米 【答案】C 【详解】解：在直角中，已知， 则， ∵ ， ∵在直角中，，且为斜边， ， ， ∴梯足将外移的长度为， 故选：C． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 故选：B． 5．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】 0或1 5，25（答案不唯一） 【详解】解：（1）∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是； 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1； （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一）． 6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为 ． 【答案】 【详解】解：已知，则利用一次“调日法”得：， 由于， ，再次使用“调日法”得：， 由于：， ，再次使用“调日法”得：． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东滨州·期中）小明做数学题时，发现；；；；；按此规律，若，为正整数），则 ． 【答案】 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴，，； （2）解：把，，代入得 ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． 10．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 【答案】（1）49；（2）；（3）－1 【详解】解：（1）解：依题意：，解得， ，． （2）解依题意：，， 解得，， ，16的平方根是 （3）解：依题意，得， 代入，得 ，的立方根是－1． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键． 11．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如：；，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如；，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化．解决问题： (1)的有理化因式是______，分母有理化得______； (2)比较大小：______（用“”“”或“”填空）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴分母有理化得， 故答案为：，； （2）解：∵，， 又， ∴， 故答案为：． （3）解：将分母有理化，可得 原式 ． 12．（23-24八年级上·福建三明·期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）若3与是关于1的平衡数，5－与是关于1的平衡数，求，的值； （2）若（m＋）×（1－）＝－2n＋3（－1），判断m＋与5n－是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1） －1，；（2）当，时，是关于1的平衡数，否则不是关于1的平衡数；见解析 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得， 故答案为， （2）， ∴ ， ∴ ， ∴ ①当均为有理数时， 则有 ， 解得：， 当时， 所以不是关于1的平衡数 ②当中一个为有理数，另一个为无理数时， ，而此时为无理数，故， 所以不是关于1的平衡数     ③当均为无理数时，当时，联立，解得 ， 存在，使得是关于1的平衡数， 当且时，不是关于1的平衡数 综上可得：当，时，是关于1的平衡数，否则不是关于1的平衡数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$