2024-2025学年人教A版2019高一数学必修1第一学期第二章2.1等式性质与不等式性质

人教A版高一数学必修1第一学期第二章2.1等式性质与不等式性质 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 核心素养目标 1.数学抽象：会用不等式组表示不等关系. 2.直观想象：掌握等式的性质. 3.逻辑推理：理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 4.数学运算：能够用作差法比较两个数或式的大小.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题. 教学目标 教学重点：会用比较法比较两实数的大小． 教学难点：会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 情境导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等，类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示． 4 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃； 2、三角形ABC的两边之和大于第三边； 3、a是一个非负实数。 在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？ 4、某路段限速40km/h 5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3% 6、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 知识讲解 什么是不等式？ 用不等号连接两个关系式所得的式子。 （3）一般情况下，不等式研究的数的范围是实数集R。 （1）常用不等符号有<,>,≠，≤，≥； （2）关系式可以是式子，也可以是数、字母···； 知识讲解 知识讲解 不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________. 不等式　 （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少 于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%； 设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“限速40 km/h”就是 v 的大小不能超过40，于是0 ＜v 40. 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40 km/h； 解： 解： 由题意，得 知识讲解 设△ABC的三条边为a，b，c，则 a + b ＞ c ，a – b ＜ c . （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 解： （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 解： 如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE. C D E A B 知识讲解 知识讲解 问题2：你能用不等式表示并解决下面的问题吗？ 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？ 不等关系：销售总收入不低于20万. 解：设提价后每本杂志的定价为 x 元. 10 问题3：如何比较两个式子的大小关系？ 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么a＞b；如果等于0，那么a=b；如果是负数，那么a＜b.反过来也对. 作差法：比较两个实数（式子）大小关系的方法. 比较大小关系 研究差值符号 运算 知识讲解 生活中的不等关系： 例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少： 因此，销售总收入为： 用不等式表示为： 知识讲解 13 知识讲解 变式： 如果设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N*)，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 分析：杂志的单价提高了0.1n元，销售量就减少了2000n本，杂志单价为(2.5+0.1n)元，则可得到销售的总收入不低于20万元的不等式可表示为： (2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20 你能计算出n在哪个范围内变化吗? 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 若a-b>0，则______; 若a-b=0，则______; 若a-b<0，则______. 差 0 人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《等式性质与不等式性质》第一课时课件（共15张ppt） 人教A版（2019）高中数学必修第一册第二章《等式性质与不等式性质》第一课时课件（共15张ppt） 实数大小关系的基本事实 a>b a=b a<b 反过来也对。这样，我们就得到了不等式的基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 这样，比较两个实数的大小，就可以转化为比较它们的____与____的大小。 知识讲解 不等式的性质 性质1　a>b⇔_______；(对称性) 性质2　a>b，b>c⇒_______；(传递性) 性质3　a>b，c∈R ⇒_____________；(同加保序性) 推论：a＋b>c⇒__________；(移项法则) 性质4　a>b，c>d⇒_____________；(同向相加保序性) 性质5　a>b，c>0⇒_________，(乘正保序性) a>b，c<0⇒ ；(乘负反序性) 性质6　a>b>0，c>d>0⇒_________；(正数同向相乘保序性) 性质7　a>b>0⇒_________(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性) b<a　 a>c　 a＋c>b＋c　 a>c－b　 ac>bc　 a＋c>b＋d　 ac>bd　 an>bn　 ac＜bc　 知识讲解 15 16 知识讲解 例1：比较 分析：若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系. 解： ， ∴ . 作差法比较大小步骤是： 第一步，作差；第二步，变形；第三步，判号；第四步，定论. 知识讲解 例2：右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ D A B C G H F E 知识讲解 例：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (ab)，你能将发现的不等关系用不等式表示吗？ D A B C G H F E a b 正方形 ABCD的面积 大于 4个直角三角形的面积和 ＞ 19 知识讲解 　比较数或式子的大小 例2.已知x＜y＜0，比较（x2＋y2）（x－y）与 （x2－y2）（x＋y）的大小． [解析]　∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴（x2＋y2）（x－y）－（x2－y2）（x＋y）＝－2xy（x－y）＞0， ∴（x2＋y2）（x－y）＞（x2－y2）（x＋y）． 20 知识讲解 比较两个实数（或代数式）大小的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差； （2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）； （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克糖 （m＞０）（假设全部溶解），糖水变甜了． 请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立 解：要证 只要证 观察目标式，从目标式出发 即证 即证 得证 方法：分析法/执果索因 知识讲解 21 知识讲解 已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x，y所满足的不等关系. 知识讲解 解析：由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位, 则有 不等式基本性质的应用 1.应用不等式性质判断命题真假 例3对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; 分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可. 知识讲解 PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 知识讲解 26 知识讲解 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法. 知识讲解 ③　 28 知识讲解 知识讲解 反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法： （1）运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想象捏造性质. （2）特殊值法.取特殊值时，要遵循如下原则：一是满足题设条件； 二是取值要简单，便于验证计算. 知识讲解 知识讲解 实际问题 不等关系 两个实数大小关系的基本事实（作差法） 不等式 不等式 性质 数学抽象 等式性质与不等式性质 小结 33 小结 小结 食　物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 (3)若c>a>b>0,则; (4)若a>b,,则a>0,b<0; (5)若a<b<0,则. 解:(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误. (2)由可得a2>ab.因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结论正确. (3)由a>b>0,可得 -a<-b<0.因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>0,于是.故该结论正确. (4)由,可知>0.因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0.故该结论正确. (5)依题意取a=-2,b=-1,则=2,显然.故该结论错误. 2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒,不能误认为是a>b⇒,在应用时不能出错. 1. 给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b； ②若a<b，则ac2<bc2； ③若eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确结论的序号是______. 解析　①当c>0时，由ac>bc⇒a>b，当c<0时，由ac>bc⇒a<b，故①错． ②当c≠0时，由a<b⇒ac2<bc2，当c＝0时，由a<b eq \o(⇒,/) ac2<bc2，故②错． ③∵eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq \f(1,a)·ab<eq \f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b， 故③正确． ④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加， ∴a－c>b－d错误． ⑤eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))⇒ac<bd， 但eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d)) eq \o(⇒,/) ac>bd，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0)) eq \o(⇒,/) ac>bd. 解析：∵bc－ad≥0， ∴ad≤bc， ∴ad＋bd≤bc＋bd， ∵bd>0，∴eq \f(1,bd)>0， ∴eq \f(ad＋bd,bd)≤eq \f(bc＋bd,bd)， ∴eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). 1．若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔____ ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒_____ ⇒ 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac bc c的符号 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac bc 性质 别名 性质内容 注意 5 同向 可加性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c b＋d 同向 6 同向同正 可乘性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N*，n≥2) 8 可开方性 a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b) (n∈N*，n≥2) $$