精品解析：沪科版2023-2024学年七年级数学下册期中检测

2023-2024学年度第二学期期中检测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满40分） 1. 下列各数中无理数有（ ）个 ，314，，，，0，，0.1010010001． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列说法正确是（　　） A. 0.01是0.1的平方根 B. 1的平方根和立方根都是1 C. 的平方根和立方根都是 D. 0的立方根和平方根都是0 3. 已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. a+2＞b+3 B. a﹣2＞b﹣2 C. ﹣2a＞﹣2b D. 4. 如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C D. 6. 下列等式：①;②;③;④中,成立的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 7. 已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 已知整数，，，，满足下列条件：，以此类推，的值为(    ) A. B. C. D. 10. 将4张长为a、宽为b(a≥b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（ ） A. a＝b或a＝3b B. a＝b或a＝4b C. a＝b或a＝5b D. a＝b或a＝6b 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 用科学记数法表示为___________. 12. 已知的小数部分是n，则n是________． 13. 已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是________． 14. 有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，） （1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（）大正方形，则需要取甲纸片___张. （2）取三种纸片若干张（三种图形都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则n可能的整数值有___个. 三、解答题（15题20分，16-18每题8分，19，20题每题10分，21题12分，22题14分） 15. 计算： （1） （2） （3） （4）（因式分解） 16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 17 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知，x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 19. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． （1）图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． （2）如图2所示，点A表示的数是________． （3）网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 20 观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； （1）请你按照以上规律写出第个等式（为正整数，）并验证你的结论． （2）利用以上规律，求的值． 21. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车，据了解，3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计120万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； （2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请试写出该公司的采购方案． 22. 【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期中检测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满40分） 1. 下列各数中无理数有（ ）个 ，3.14，，，，0，，0.1010010001． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根、无理数的定义逐个判断即可得． 【详解】解：都是无理数， 和都是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， ，则是有理数， 0是整数，属于有理数， 综上，无理数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根、无理数，熟记定义是解题关键． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 0.01是0.1的平方根 B. 1的平方根和立方根都是1 C. 的平方根和立方根都是 D. 0的立方根和平方根都是0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根．根据平方根，立方根以及特殊数的平方根即可解答． 【详解】解：A、0.01不是0.1的平方根，故本选项不符合题意； B、1的平方根是，1的立方根是1，故本选项不符合题意； C、由于负数没有平方根，故本选项不符合题意； D、0的立方根是0，0的平方根也是0，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. a+2＞b+3 B. a﹣2＞b﹣2 C. ﹣2a＞﹣2b D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】∵a＞b，左边加2，右边加3，不等式不成立，故A不符合题意； ∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故B符合题意； ∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故C不符合题意； ∵a＞b，∴，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 如果把分式中的，都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得 即分式的值不变 故选：A 【点睛】本题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n． 5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【详解】解：A、，能运用平方差公式计算，故不合题意； B、，能运用平方差公式计算，故不合题意； C、，能运用平方差公式计算，故不合题意； D、，不能运用平方差公式计算，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键． 6. 下列等式：①;②;③;④中,成立的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变． 【详解】（1）分式的分子、分母及分式的符号，同时改变两个其值不变，即；故本选项正确； （2）分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变，即=；故本选项正确； （3）分式的分子、分母及分式的符号，同时改变两个其值不变，即；故本选项错误； （4）分式分子、分母及分式的符号，同时改变两个其值不变，即=；故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．在利用分式的基本性质解题时须注意：①无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0；②在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变． 7. 已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，则即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用． 8. 已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 9. 已知整数，，，，满足下列条件：，以此类推，的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，，，，，的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值． 【详解】解：根据题意可得， ， 观察其规律可得， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 10. 将4张长为a、宽为b(a≥b)长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a＋b)的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（ ） A. a＝b或a＝3b B. a＝b或a＝4b C. a＝b或a＝5b D. a＝b或a＝6b 【答案】C 【解析】 【分析】先用、的代数式分别表示m，n可得：，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ， 整理，得， ， 或． 故选：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 用科学记数法表示为___________. 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】=. 故答案为． 【点睛】用科学记数法表示一个数的方法是：（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）． 12. 已知的小数部分是n，则n是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根的整数部分和小数部分．根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是2， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与不等式组有关的整数解问题．先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8， ∴， 故答案为：． 14 有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，） （1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（）大正方形，则需要取甲纸片___张. （2）取三种纸片若干张（三种图形都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则n可能的整数值有___个. 【答案】 ①. 4 ②. 4 【解析】 【分析】（1）通过拼成的正方形面积求解． （2）通过分解第三项求确定． 【详解】解：（1）大正方形面积为；． 需要甲纸片4张，乙纸片4张，丙1张， 故答案为：4． （2）， 或或或． 故答案为：4． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键． 三、解答题（15题20分，16-18每题8分，19，20题每题10分，21题12分，22题14分） 15. 计算： （1） （2） （3） （4）（因式分解） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂，立方根等相应的运算法则对式子进行运算即可； （2）利用单项式的乘除法，积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）利用多项式除以单项式的运算法则计算即可； （4）利用平方差公式进行分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查因式分解，负整数指数幂，零指数幂，单项式的乘除法，多项式除以单项式，平方根和立方根，解答的关键是掌握相关运算法则． 16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，x−1， 由②得，x<2， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 已知，x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 【答案】x2+y2的算术平方根为13． 【解析】 【分析】先根据题意得到x,y的值，再代入进行计算得解. 【详解】∵x﹣1的平方根是±2， ∴x﹣1＝4， ∴x＝5， ∵2x+y+5的立方根是3， ∴2x+y+5＝27， 把x的值代入解得： y＝12， ∴x2+y2＝52+122＝169， ∴x2+y2的算术平方根为． 【点睛】本题考查了平方根，立方根和算术平方根的定义，熟知定义是本题的解题关键. 19. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． （1）图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． （2）如图2所示，点A表示的数是________． （3）网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【答案】（1）5， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根． （1）正方形的面积是由五个边长为1的小正方形组成的，由此可得面积，进而可得边长； （2）根据（1）正方形是由4个直角三角形组成的，从而求出图2中的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案； （3）仿照（1）画出正方形，进而可得正方形边长为，再仿照图2求解即可． 【小问1详解】 解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的， ∴图1中拼成的正方形的面积是5， ∴图1中拼成的正方形的边长为， 故答案为：5，； 【小问2详解】 解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的， ∴此直角三角形的斜边长为， 同理可得， ∴点A表示的数为， 故答案：； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； （1）请你按照以上规律写出第个等式（为正整数，）并验证你的结论． （2）利用以上规律，求的值． 【答案】（1）；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据规律写出结果即可；根据整式的混合运算法则计算证明即可； （2）根据规律将所求式子变形为求解即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …， ∴第个等式：； ∵左边右边， ∴； 【小问2详解】 解：， 解得：， ∴ ． 21. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车，据了解，3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计120万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； （2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请试写出该公司的采购方案． 【答案】（1）A型汽车进价为25万元/辆，B型汽车进价为10万元/辆；（2）该公司有两种购买方案，方案1：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆；方案2：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆 【解析】 【分析】（1）设型汽车进价为万元辆，型汽车进价为万元辆，根据“3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计115万元；4辆型汽车和2辆型汽车的进价共计120万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，则购进型汽车辆，根据购进的种型号的新能源汽车数量多于种型号的新能源汽车数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合、均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】解：（1）设型汽车进价为万元辆，型汽车进价为万元辆， 依题意得：， 解得：． 答：型汽车进价为25万元辆，型汽车进价为10万元辆． （2）设购进型汽车辆，则购进型汽车辆， 依题意得：， 解得：． 又、均为正整数， 或． 当时，； 当时，． 该公司有两种购买方案， 方案1：购进型汽车2辆，型汽车15辆； 方案2：购进型汽车4辆，型汽车10辆． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 【答案】（1） （2）； （3）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：设，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，， ， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$