精品解析：2023-2024学年九年级上学期人教版数学开学摸底测练试题

2023-2024学年人教版数学九年级上册开学摸底测练试题 （全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥ B. x≥－ C. x＞ D. x≠ 2. .下列给出三条线段的长，能组成直角三角形的是（　 　） A. 1 、 2 、3 B. 2 、 3、 4 C. 5、 7 、 9 D. 5、 12、 13 3. 下列各式化简：；；；，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 5. 某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是( ) A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟 B. 汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园 C. 加油后汽车行驶速度为60千米/时 D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快 6. 为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 加权平均数 7. 如果一组数据的平均数是2，方差是2，则另一组数据的平均数和方差分别是（　　） A. 2，2 B. 2，6 C. 4，4 D. 4，18 8. 一次函数与的图像如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若按照图中所标注的数据，则△ABC的周长是（ ） A. 15＋3 B. 15 C. 20 D. 23 10. 如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE的长为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C. D. 12. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 已知实数a， b满足，则化简结果是________ 14. 在变量x与y的关系式中，当自变量时，因变量y的值为_______． 15. 甲、乙两人参加射击比赛的平均成绩都为8环，甲的方差为8.5，乙的方差为7.6，则射击成绩更稳定的是______． 16. 如图，在中，，，M是的中点，，垂足为点N，D是的中点，连接，过点B作的垂线交的延长线于点E，若，则的长为_____． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简： 19. 某校举行“做文明郴州人”演讲比赛，聘请了10位评委为参赛选手打分，赛前，组委会拟定了四种记分方案：方案一：取所有评委所给的平均分； 方案二：在所有评委给分中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，取剩余得分的平均分； 方案三：取所有评委给分的中位数； 方案四：取所有评委给分的众数． 为了探究四种记分方案的合理性，先让一名表演选手（不参加正式比赛的）演讲，让10位评委给演讲者评分，表演者得分如下表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 打分 7.0 7.8 3.2 8.0 8.4 8.4 9.8 8.0 8.4 8.0 （1）请分别用上述四种方案计算表演者的得分； （2）如果你是评委会成员，你会建议采用哪种可行的记分方案？你觉得哪几种方案不合适？ 20. 为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量是乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如下：（单位：吨） 生产厂 A B 甲 25 20 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？ （2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； （3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0<m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围． 21. 如图，在中，，，，平分交于点D． （1）求的面积； （2）求的长． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 23. 已知正方形，E、F分别在、BC上，相交于点G． （1）求证：； （2）当E是中点时，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，为直线上一点，四边形是平行四边形，且，． （1）求直线的函数解析式； （2）点从点出发，沿路线以每秒3个单位的速度匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动时间为秒，在运动过程中是否存在点使的面积为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学九年级上册开学摸底测练试题 （全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥ B. x≥－ C. x＞ D. x≠ 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可 【详解】由题意得 2x-1＞0， ∴x＞． 故选C． 【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 2. .下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（　 　） A. 1 、 2 、3 B. 2 、 3、 4 C. 5、 7 、 9 D. 5、 12、 13 【答案】D 【解析】 【详解】∵，，，， ∴能围成直角三角形的是D选项中的三条线段. 故选D. 3. 下列各式化简：；；；，其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简进而求出答案． 【详解】解：，正确； ，故原式错误； ==，故原式错误； （x＞0，y≥0），故正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 4. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是( ) A. 汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟 B. 汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园 C. 加油后汽车行驶的速度为60千米/时 D. 加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快 【答案】D 【解析】 【分析】对照图象信息逐项分析即可． 【详解】解：A．汽车行驶30千米时，停车加油时间为第25分至第35分，该选项正确； B．S=60千米，8点出发，用时65分钟，9点5分到达，该选项正确； C．加油后速度，该选项正确； D．加油后速度 加油前速度 ，该选项错误． 故选：D 【点睛】此题主要考查读函数图象，正确理解函数图象的信息是解题关键． 6. 为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 加权平均数 【答案】C 【解析】 【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选C． 7. 如果一组数据的平均数是2，方差是2，则另一组数据的平均数和方差分别是（　　） A. 2，2 B. 2，6 C. 4，4 D. 4，18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是方差和平均数，本题可将平均数和方差公式中的换成，再化简进行计算．熟练掌握平均数和方差的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，得，， ∴数据，，，，的平均数为： ， ∴数据，，，，的方差为： ． 故选：D． 8. 一次函数与的图像如图所示，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，结合图像写出解集即可． 【详解】∵与的图像交点为，且， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数交点与一元一次不等式的解集的确定，正确理解交点的横坐标是不等式解集的界点值是解题的关键． 9. 如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若按照图中所标注的数据，则△ABC的周长是（ ） A. 15＋3 B. 15 C. 20 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∠FEA=∠BAG，根据AAS证△FEA≌△GAB，推出AG=EF=6，AF=BG=3，同理CG=DH=4，BG=CH=2，在用勾股定理求出AB即可求解． 【详解】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG， ∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°， ∴∠FEA=∠BAG， 在△FEA和△GAB中 ∴△FEA≌△GAB（AAS）， ∴AG=EF=6，AF=BG=3， 同理CG=DH=4，BG=CH=3， ∴ ∴的周长 故选：A 【点睛】本题考查了三角形的周长，全等三角形的性质和判定等知识点，证明△FEA≌△GAB是解题的关键． 10. 如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等边三角形的性质及已知条件可证BD＝DE，可知BC长及BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得BD长，易知DE长. 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∵BD为中线， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB， ∴∠E＝30°＝∠DBC， ∴BD＝DE， ∵BD是AC中线，CD＝1， ∴AD＝CD＝1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC＝1+1＝2，且BD⊥AC， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：， 即DE＝BD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，灵活利用等边三角形三线合一及三个角都是60度的性质是解题的关键. 11. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18-5=13． ∵F为DE的中点， ∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13， ∴CD=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=12，O为BD的中点， ∴OF是△BDE的中位线， ∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5， 故选D． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键． 12. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由矩形的性质得到，进而证明是等边三角形，由此即可判断A；如图所示，连接，证明得到，，由此即可判断B、D；证明，得到，由此即可判断D． 【详解】解：∵在矩形中，O为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， 在矩形中，， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴，故D结论错误，符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故C结论正确，不符合题意； 故选D． ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 已知实数a， b满足，则化简的结果是________ 【答案】b-2a 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：=|a-b|+|a|， ∵a＜0＜b， ∴a-b＜0， ∴原式=-（a-b）-a =-a+b-a =b-2a， 故答案为：b-2a． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质：，本题属于基础题型． 14. 在变量x与y的关系式中，当自变量时，因变量y的值为_______． 【答案】2 【解析】 分析】将自变量代入该函数解析式进行计算求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键． 15. 甲、乙两人参加射击比赛的平均成绩都为8环，甲的方差为8.5，乙的方差为7.6，则射击成绩更稳定的是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】在平均数相同的前提下，方差越小，则成绩就越稳定，据此解答即可． 【详解】甲乙两人的平均成绩都为8环，但甲的方差8.5>乙的方差7.6，因此乙的成绩更稳定，应选择乙去参加比赛． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了利用方差的稳定性作出判断，属于应知应会题型，明确在平均数相同的前提下，方差越小，则成绩就越稳定是解此题的关键． 16. 如图，在中，，，M是的中点，，垂足为点N，D是的中点，连接，过点B作的垂线交的延长线于点E，若，则的长为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理等知识连接，证明，可证，由等腰三角形的性质可得，然后根据含角的三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质化简，进而去括号合并即可得到答案； （2）利用乘法公式分别化简，进而合并即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简： 【答案】3b 【解析】 【分析】根据，再结合绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|， =c+（-a+b）+a+b-（-b+c）， =c-a+b+a+b+b-c， =3b． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 19. 某校举行“做文明郴州人”演讲比赛，聘请了10位评委为参赛选手打分，赛前，组委会拟定了四种记分方案：方案一：取所有评委所给的平均分； 方案二：在所有评委给的分中，去掉一个最高分，去掉一个最低分，取剩余得分的平均分； 方案三：取所有评委给分的中位数； 方案四：取所有评委给分的众数． 为了探究四种记分方案的合理性，先让一名表演选手（不参加正式比赛的）演讲，让10位评委给演讲者评分，表演者得分如下表： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 打分 7.0 7.8 3.2 8.0 8.4 8.4 9.8 8.0 8.4 80 （1）请分别用上述四种方案计算表演者的得分； （2）如果你是评委会成员，你会建议采用哪种可行的记分方案？你觉得哪几种方案不合适？ 【答案】（1）方案一最后得分： 7.7；方案二最后得分8；方案三最后得分：8；方案四最后得分：8和8.4．（2）建议采用方案二记分方案．方案一和方案四不适合作为最后得分的方案. 【解析】 【分析】（1）根据给出的方案和平均数的计算公式分别进行解答即可； （2）考虑不受极值的影响，不能有两个得分等原因进行排除，即可得出答案． 【详解】解：（1）方案一最后得分：（7.0+7.8+3.2+3×8+3×8.4+9.8）=7.7； 方案二最后得分：（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8； 方案三最后得分：8； 方案四最后得分：8和8.4． （2）建议采用方案二记分方案． 因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不适合作为这个同学演讲的最后得分，所以方案1不适合作为最后得分的方案； 因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案． 【点睛】此题考查了众数、平均数与中位数，用到的知识点是：众数、中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数． 20. 为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂生产量是乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如下：（单位：吨） 生产厂 A B 甲 25 20 乙 15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？ （2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； （3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0<m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围． 【答案】（1）甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨；（2）(120≤x≤420) ，甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨；（3）0＜m≤9． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接设两个未知数，列二元一次方程组即可求解； （2）由于从甲工厂运往A地x吨，可知从甲工厂运往B地（500-x）吨，从乙工厂运往A地（400-x）吨，从乙工厂运往 B地吨．根据 “总价=单价数量”可建立所求的函数关系式；运用不等式组可求自变量x的取值范围；再利用函数的性质可设计出总运费最少的调运方案； （3）在本题的条件下，列出y与x之间的函数关系式，结合函数的最值，分情况列出不等式组，可求得m的取值范围． 【详解】解：（1）设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨． 根据题意，得，． 解得，． 答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨． （2）． 解不等式组得，， ∴y与x之间的函数关系式为， ∴y是关于x的一次函数． ∵k=14﹥0，y随x的增大而增大， ∴当x=120时，总运费最小．此时， 500-x=380,420-x=300，． ∴总运费最少的调运的方案是： 甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨． (3) 由题意可得，y=14x+13420﹣mx=（14﹣m）x+13420． 分三种情况： （i）当0＜m＜14时， 14－m＞0，y随x的增大而增大． ∴当x=120时，y取得最小值，此时有． 解得，0＜m≤9； （ii）当m=14时，14﹣m=0，y =13420<14020，不合题意，舍去； （iii）当14＜m≤15时，14－m＜0，y随x的增大而减少． ∴当x=420时，y取得最小值，此时有，． 此不等式组无解． ∴当14＜m≤15时，这种情况不符合题意，舍去． 综合上述三种情况，可得m的取值范围是0＜m≤9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟知列方程组和不等式组的步骤和方法及一次函数的性质是解题的基础；分类讨论时做到不重复、不遗漏是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，平分交于点D． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并求出三角形全等是解题的关键． （1）先利用勾股定理求解，再利用直角三角形的面积公式进行计算即可； （2）过D作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再在中利用勾股定理求出即可得解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 过D作于， 是的平分线，，于， ， 在和中， ， ∴， ， ， 设，则，， 在中 ∴ 解得 即． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）3 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 23. 已知正方形，E、F分别在、BC上，相交于点G． （1）求证：； （2）当E是中点时，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明，可得，进而可证结论成立； （2）延长，与的延长线交于点M，根据证明，可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，延长，与延长线交于点M， ∵E是中点， ∴， 在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，垂直的定义等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，为直线上一点，四边形是平行四边形，且，． （1）求直线的函数解析式； （2）点从点出发，沿路线以每秒3个单位的速度匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动时间为秒，在运动过程中是否存在点使的面积为，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在点M，使的面积为，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先判定四边形是菱形，求出，分两种情况：点M在BC上，根据面积可得关于t的方程，求出t即可得出点M的坐标；当点M在上，根据菱形的性质证明，得出，进一步求得点M为的中点，即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形，，， ∴，轴， ∴四边形菱形，， ∵， ∴， ∴， 当点M在BC上，， 若存在，则， 即，解得：， ∴, ∴； 当点M在上，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，解得， ∴， 此时，点M为的中点， ∵， ∴； 综上，存在点M，使的面积为，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$