高考数学真题及变式题讲义11　指对幂运算及比较大小——2025届高三数学一轮复习

高考真题及变式题 11指对幂运算及比较大小 考情分析: 指数函数、对数函数、幂函数难度较易,指对幂比较大小难度较难;纵观近几年的新高考试题,指对幂比较大小是新高考冲刺复习的重点复习内容,指对幂比较大小是高考小题压轴题常考的内容,难度较大。 可以预测2025年新高考将继续以指对幂函数直接或间接命题来考查函数中的基本性质,而指对幂比较大小也是考查概率比较大的一个内容。 必备知识: 一.指数运算 1.根式性质:=a(a使有意义); 当n为奇数时,=a, 当n为偶数时,=|a|= 2.分数指数幂 规定:(a>0,m,n∈N*,且n>1); (a>0,m,n∈N*,且n>1); 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质: aras=ar+s; (ar)s=ars; (ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 二.对数运算 1.(1)对数的定义:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN, 其中a叫做对数的底数,N叫做真数,N>0(负数和零没有对数). (2)几种常用的对数 一般对数:(a>0,且a≠1); 常用对数:; 自然对数: () 2.对数的常用结论 (1)loga1=0(a>0且a≠1); (2)logaa=1(a>0且a≠1);推广:(a>0且a≠1) (3)对数恒等式:alogaN=N (a>0且a≠1,N>0). 4.对数的运算法则:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(MN)=logaM+logaN; (2)=logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R); 5.对数的换底公式:logbN=(a,b均大于零,且不等于1); 推广:(1)logab logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)logambn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R); 三.指对幂比较大小的常用方法 1.单调性法:当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较,具体情况如下: (1)底数相同,指数不同时,如和,利用指数函数的单调性; (2)指数相同,底数不同时,如和,利用幂函数单调性比较大小; (3)底数相同,真数不同时,如和,利用指数函数单调性比较大小. 2.中间值法:当底数、指数、真数都不同时,要比较多个数的大小,就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量,然后再各部分内再利用函数的性质比较大小,借助中间量进行大小关系的判定. 3.作差法、作商法: (1)一般情况下,作差或者作商,可处理底数不一样的对数比大小; (2)作差或作商的难点在于后续变形处理,注意此处的常见技巧与方法. 4.近似估算法: (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间; (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值,借助中间值比较大小. 5.构造函数法: 观察总结“同构”规律,优先从结构最接近的的两个数来寻找规律,灵活的构造函数来比较大小. 指对数的同构常用的公式:,(注意需使式子有意义) 6.放缩法: (1)对数,利用单调性,放缩底数,或者放缩真数; (2)指数和幂函数结合来放缩; (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. (4)常用放缩公式:(注意:若是解答题,需要作证明,否则要扣分) ①指数放缩:(取等号);(1取等号) ②对数放缩:(取等号);(取等号) ③三角放缩:时, 题型一 指对幂运算 【真题在线】 【2024北京卷T7】生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由提高到,则( ) A. B. C. D. 【2024甲卷理T15文T15】已知且,则 . 【2022浙江卷T7】已知,则 ( ) A.25 B.5 C. D. 【2022天津卷T6】化简( ) A. 1 B. C. 2 D. 【2021天津卷T7】若,则 ( ) A. B. C.1 D. 【2021甲卷理T4】青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )() A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【变式题 基础】 1.若,则 . 2.已知 . 【变式题 巩固】 1.若,,则 . 2.若, ,则 . 3.在一个空房间中大声讲话会产生回音,这个现象叫做“混响”.用声强来度量声音的强弱,假设讲话瞬间发出声音的声强为,则经过秒后这段声音的声强变为,其中是一个常数.把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间,则约为(参考数据:)( ) A. B. C. D. 4.(2024 河北沧州 模拟预测)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺,致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为,第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型(,),其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量,为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量,n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准,若该企业排放的废水符合排放标准,则改良工艺的次数最少为( )(参考数据:,) A.12 B.13 C.14 D.15 【变式题 提高】 1.若,且,则 . 2.若,且,则实数 . 题型二 利用函数单调性比较大小 【真题在线】 【2024北京卷T9】已知,是函数的图象上两个不同的点,则( ) A. B. C. D. 【2023甲卷文T11】已知函数.记,则( ) A. B. C. D. 【2023天津卷T3】若,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【2021新高考 卷T7】已知,,,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 【2021天津卷T5】设,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【变式题 基础】 1.已知,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(2023 陕西商洛 统考一模)已知,则( ) A. B. C. D. 3.(2023 四川南充 模拟预测)已知,则( ) A. B. C. D. 4.(2023 河南 校联考模拟预测)已知,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 5.(2023广州统考二模)已知,,,则( ) A. B. C. D. 【变式题 巩固】 1.若,则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知,则( ) A. B. C. D. 3.已知,,,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【变式题 提高】 1.设,,则下列说法中正确的是( ) A. B. C. D. 题型三 中间值法比较大小 【真题在线】 【2024天津卷T5】若,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【2022天津卷T5】已知,,,则( ) A. B. C. D. 【变式题 基础】 1.已知,,,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.(2023陕西宝鸡校联考模拟预测)已知,,,则( ) A. B. C. D. 3.(2023天津河东校考阶段)已知,,,则( ) A. B. C. D. 4.已知,则a,b,c的大小关系是( ) A. B. C. D. 【变式题 巩固】 1.若,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.(2023 浙江嘉兴 统考二模)已知,则( ) A. B. C. D. 【变式题 提高】 1.已知,,,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a 题型四 作差法、作商法比较大小 【真题在线】 【2022新高考 卷T7】设,则( ) A. B. C. D. 【变式题 基础】 1.(2023 山东青岛 统考模拟预测)已知,,,则、、的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.(2023 云南 校联考模拟预测)已知,则( ) A. B. C. D. 3.(2023 贵州六盘水 统考模拟预测)若,,,则( ) A. B. C. D. 【变式题 巩固】 1.(2024 湖南岳阳 二模)设,,,则( ) A. B. C. D. 2.已知,则( ) A. B. C. D. 【变式题 提高】 1.已知,,,则( ) A. B. C. D. 2.已知,,,则、、的大小关系为( ) A. B. C. D. 题型五 构造函数比较大小 【真题在线】 【2022新高考 卷T7】设,则( ) A. B. C. D. 【2022甲卷文T12】已知,则( ) A. B. C. D. 【2021全国乙卷理T12】设,,.则( ) A. B. C. D. 【变式题 基础】 1.(2023 福建宁德 校考模拟预测)记,,,则( ) A. B. C. D. 2.(2023 河南 校联考模拟预测)已知实数满足,则( ) A. B. C. D. 3.已知,,,则( ) A. B. C. D. 4.设,,,则( ) A. B. C. D. 【变式题 巩固】 1.已知正数a,b,c满足,下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 2.若,,,满足,,,则( ) A. B. C. D. 【变式题 提高】 1.(2022江西吉安高三统考)已知实数a,b,c,满足,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.(2022湖北高三联考)均为不等于1的正实数,且,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 3.(2022江苏南通高三统考)已知正实数,,满足,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 4.(2023辽宁丹东高三统考)(多选题)设,,若a,b,c互不相等,则( ) A. B. C. D. 5.已知实数满足: ,则( ) A. B. C. D. 题型五 放缩法比较大小 【真题在线】 【2022新高考 卷T7】设,则( ) A. B. C. D. 【变式题 基础】 1.已知,,,则( ) A. B. C. D. 2.(2023安徽高二联考)已知,则( ) A. B. C. D. 【变式题 巩固】 1.(2023江苏泰州高一泰州中学)已知三个互不相等的正数满足,(其中是一个无理数),则的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.(2023福建漳州)设,,,则( ) A. B. C. D. 【变式题 提高】 1.已知,,.则( ) A. B. C. D. 2.设,,,则( ) A. B. C. D. 第 2 页 共 27 页 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 高考真题及变式题 11指对幂运算及比较大小 考情分析： 指数函数、对数函数、幂函数难度较易，指对幂比较大小难度较难；纵观近几年的新高考试题，指对幂比较大小是新高考冲刺复习的重点复习内容，指对幂比较大小是高考小题压轴题常考的内容，难度较大。 可以预测2025年新高考将继续以指对幂函数直接或间接命题来考查函数中的基本性质，而指对幂比较大小也是考查概率比较大的一个内容。 必备知识： 一．指数运算 1.根式性质：＝a(a使有意义)； 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.分数指数幂 规定：(a>0，m，n∈N*，且n>1)； (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质： aras＝ar+s； (ar)s＝ars； (ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 二．对数运算 1．(1)对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，N>0(负数和零没有对数)． (2)几种常用的对数 一般对数：(a>0，且a≠1)； 常用对数：； 自然对数： () 2.对数的常用结论 (1)loga1＝0(a>0且a≠1)； (2)logaa＝1(a>0且a≠1)；推广：(a>0且a≠1) (3)对数恒等式：alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)． 4.对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)； 5.对数的换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1)； 推广：(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； 三．指对幂比较大小的常用方法 1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： (1)底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； (2)指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； (3)底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3.作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4.近似估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5.构造函数法： 观察总结“同构”规律，优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 指对数的同构常用的公式：，(注意需使式子有意义) 6.放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. (4)常用放缩公式：(注意：若是解答题，需要作证明，否则要扣分) ①指数放缩：(取等号)；(1取等号) ②对数放缩：(取等号)；(取等号) ③三角放缩：时， 题型一 指对幂运算 【真题在线】 【2024北京卷T7】生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题意得，则，即， 所以.故选：D. 【2024甲卷理T15文T15】已知且，则 ． 【答案】64【解析】由题， 整理得或，又， 所以，故；故答案为：64. 【2022浙江卷T7】已知，则 (　　) A．25 B．5 C． D． 【答案】C【解析】因为，，即，所以．故选,C． 【2022天津卷T6】化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】原式，故选：C 【2021天津卷T7】若，则 (　　) A． B． C．1 D． 【答案】C【解析】，， ．故选：C． 【2021甲卷理T4】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C【解析】由，当时，，则. 【变式题 基础】 1.若，则 . 【答案】【解析】因为，所以，即，即， 所以；故答案为： 2.已知 ． 【答案】1【解析】由已知，， 则，，．故答案为：1. 【变式题 巩固】 1.若，，则 . 【答案】1【解析】因为，，所以，， 所以，，因此，.故答案为：1 2.若， ，则 ． 【答案】2【解析】由可得，由可得， 即，故，故答案为：2 3.在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得 ，即，所以．故选：C． 4.（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D【解析】由题意知，， 当时，，故，解得，所以． 由，得，即，得，又，所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D 【变式题 提高】 1.若，且，则 ． 【答案】2【解析】，且，且，， ，，；故答案为：. 2.若，且，则实数 ． 【答案】9【解析】因为，可知， 又因为，即，由换底公式得， 则，即，解得．故答案为：9． 题型二 利用函数单调性比较大小 【真题在线】 【2024北京卷T9】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】不妨设，因为是增函数，所以，即， 对于选项AB：，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误；故选：B. 【2023甲卷文T11】已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即；由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即；故选：A. 【2023天津卷T3】若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则；所以；故选：D. 【2021新高考Ⅱ卷T7】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】，即；故选：C. 【2021天津卷T5】设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】，，，， ，，；故选：D. 【变式题 基础】 1.已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】依题意，，， ，则，A选项错误. ，B选项正确. ，即，D选项错误. ，C选项错误；故选：B 2.（2023·陕西商洛·统考一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数， 故，所以；故选:D. 3.（2023·四川南充·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为在上递增，且，所以，即， 又在上递减，所以，所以；故选：D. 4.（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，，即， ，下面比较与的大小，构造函数与， 由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，当时，；当时， 由，故，故，即，所以，故选：A. 5.（2023广州统考二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由，，，则，， 又，，则，即，所以．故选：D． 【变式题 巩固】 1.若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由，得，，，AC正确； 又，，又，所以，B正确； ，，D错误；故选：D 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，，又， 所以，又，所以；故选：A 3.已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，，所以； 又因为，则，即，所以，即； 所以．故选：A． 【变式题 提高】 1.设，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】构造函数，则， 因为函数在R上为单调递增函数， 所以在R上为单调递减函数， 所以，所以，，故选项A正确，选项B错误； 因为，，所以，故选项C错误； 因为，当且仅当时取等号，由题意可知，故，故选项D错误；故选：A 题型三 中间值法比较大小 【真题在线】 【2024天津卷T5】若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为在上递增，所以，即， 因为在上递增，且，所以，即， 所以，故选：B 【2022天津卷T5】已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，故；故选：C. 【变式题 基础】 1.已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由，即；故选：D 2.（2023陕西宝鸡校联考模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，， 又因为， 所以，，所以，，即；故选：C. 3.（2023天津河东校考阶段）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由， 由，则， 所以，即；故选：C. 4.已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】， 故；故选：B. 【变式题 巩固】 1.若，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，，，故；故选:B. 2.（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】，又因为通过计算知，所以， 即，又，所以，所以；故选：B. 【变式题 提高】 1.已知，，，则（    ） A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a 【答案】B【解析】因为，，所以， 而，，所以；故选：B. 题型四 作差法、作商法比较大小 【真题在线】 【2022新高考Ⅰ卷T7】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】方法一：比较法： ， ， ， ① ，令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 【变式题 基础】 1.（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，所以，，则， 因为，所以，，则，所以 因为， 即，因此，；故选：C. 2.（2023·云南·校联考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，， ，所以， ，所以；故选：A. 3.（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，所以； 又因为，所以；综上所述：；故选：C. 【变式题 巩固】 1.（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 因为，所以，即，所以，即； 又因为， 且， 所以，所以，所以；综上所述，；故选：A. 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】 因为，即，所以，即； 对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号， 所以，令，则， 所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.故选：C 【变式题 提高】 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，， 所以， 又，所以，所以，所以，故， 因为，又，所以，所以， 所以，又，所以，所以，故选：A. 2.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】设，其中，则，所以，函数在上为减函数， 所以，，即，则， ， 因此，.故选：D. 题型五 构造函数比较大小 【真题在线】 【2022新高考Ⅰ卷T7】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】方法二：构造函数法：设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以；故选：C. 【2022甲卷文T12】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以， 即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以；故选：A. 【2021全国乙卷理T12】设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】[方法一]： ，所以； 下面比较与的大小关系.记，则，， 由于;所以当0<x<2时，， 即，，所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，，所以， 即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，，故选：B. [方法二]：令， 即函数在（1，+∞)上单调递减 令， 即函数在（1，3)上单调递增; 综上，，故选：B. 【变式题 基础】 1.（2023·福建宁德·校考模拟预测）记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】设，，则， 则在上单调递增，，则，即，即， ，，则;则.故选：B. 2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】设， 在上单调递增， 又，所以； 设 ， 在上单调递减， 又，所以 ， 因为，所以；综上可知，；故选：B. 3.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由，可得，即， 而，设，则， 所以在上是减函数，所以，即，所以．故选：C． 4.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】，，． 取，则，，． 设，则， 所以在上单调递增，则，即，所以． 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，所以．故选：A. 【变式题 巩固】 1.已知正数a，b，c满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】 ，,故A错误； ，，故BC错误，D正确．故选：D. 2.若，，，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，则，故，故；又，故.综上，. 【变式题 提高】 1.（2022江西吉安高三统考）已知实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】设，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故， 所以，又，所以，所以；故选：C． 2.（2022湖北高三联考）均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】且、、均为不等于的正实数， 则与同号，与同号，从而、、同号. ①若、、，则、、均为负数， ，可得，，可得，此时； ②若、、，则、、均为正数，，可得， ，可得，此时；综上所述，；故选：D. 3.（2022江苏南通高三统考）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解析】， 故令，则，． 易知和均为上的增函数，故在为增函数． ∵，故由题可知，，即，则． 易知，， 作出函数与函数的图象，如图所示， 则两图象交点横坐标在内，即，，．故选：B． 4.（2023辽宁丹东高三统考）(多选题)设，，若a，b，c互不相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【解析】由，可得，因为，所以，故A正确； 当时，，若，则， 故，不满足a，b，c互不相等，所以，故B正确， 因为，，可将看成函数与图象的交点横坐标， 当时，图象如图，可得：，此时. 当时，图象如图，可得：，此时，所以C不正确，D正确；故选：ABD. 5.已知实数满足： ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，即所以， 设， 设是单调递增函数，所以，所以，即， 又是单调递减函数，且，所以， 设 设是单调递增函数，所以，所以，即 又是单调递减函数，且，， 所以，同理，由得， 又是单调递减函数，且，，所以， 由，所以且是单调递减函数， 所以；综上可得；故选：A 题型五 放缩法比较大小 【真题在线】 【2022新高考Ⅰ卷T7】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】方法三：放缩法：①，所以； ②，所以； ③ ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 【变式题 基础】 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】，且，故， ，即. 由可得，又，故.则；故选：C. 2.（2023安徽高二联考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为， ，故， ，所以；故选：A. 【变式题 巩固】 1.（2023江苏泰州高一泰州中学）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为，所以；所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ，因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等； 时，图像一直在的上方，所以；故，故选：B. 2.（2023福建漳州）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由，，要比较大小，只需比较大小， 故只需比较大小，令且，故，所以在上递增， 而，即，所以 ，故， 又，则（等号不能成立），所以；故选：A. 【变式题 提高】 1.已知，，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】构造函数，，则， 当时，，在上递增，当时，在上递减， ，；构造函数，，则， 当时，在上递增，当时，在上递增， ，，；故选：B. 2.设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】设分别是在时所对应的函数值， 设，则， 所以时，单调递减，时，单调递增， 所以，即，同理可证，所以 当时，可得，即，构造函数， 则， 所以时，单调递减，时，单调递增， 所以，即，整理得，即，所以，故选：A 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$