1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示　学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

---------------------------------------------------------------------------高二（5）、（8）班数学学案----------------------------------------------------------By Yuxin Ma 1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 一、知识点梳理： 问题1：如何用向量表示空间中的一个点？（提示：向量的坐标表示） 问题2：我们知道, 空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线. (1)请画出直线. (2)如何用向量表示直线? (用向量表示直线,就是要利用点和直线的方向向量表示直线上的任意一点) 追问1： 点与向量能否确定直线上的任意一点的位置? 追问2： 假设是空间任意一点, 又可以怎样表示? 问题3.1：一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面?(请作图用式子说明) 问题3.2：空间中一点与一个向量是否可以表示一个平面?如果可以，如何表示？请作图说明.（提示：给定空间一个点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.） 注意：1. 法向量一定是非零向量； 2. 一个平面的所有法向量都互相平行; 3. 向量是平面的法向量, 向量是与平面平行或在平面内, 则有. 空间中的点、直线和平面的向量表达式 几何元素 向量表达式 备注 点 直线 平面 二、例题梳理 [例1][考点：求直线的方向向量、平面的法向量]如图示, 在长方体中, 是的中点,以为原点, 、所在直线分别为轴、轴、轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求直线的方向向量;直线方向向量求法： ①取两点 ②定向量 (2)求平面的法向量;平面的法向量求法1(定义法): ①找到 ②的 即为平面的法向量. (3)求平面的法向量.平面的法向量求法2(待定系数法): ①设的法向量 ②求平面内的两个不向量. ③列方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量. 法向量的秒杀算法： [变式]如图, 在四棱锥中, 底面是正方形, 底面,是的中点, 求平面和平面的一个法向量. [练习1]判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”. (1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量; ( ) (2) 若是直线的方向向量,则也是直线的方向向量; ( ) (3) 在空间直角坐标系中,是坐标平面的一个法向量. ( ) [练习2]在平行六面体中,是与的交点.以为空间的一个基底, 求直线的一个方向向量. [练习3]在长方体中, . 以为原点,以为空间的一个单位正交基底, 建立空间直角坐标系, 求平面的一个法向量. 三、课后作业 [练习1]若直线过点, 则直线的一个方向向量可以是 [练习2]已知, 若直线的一个方向向量为 , 则 [练习3]已知向量是平面的一个法向量, 下列向量中能作为平面的法向量的是 A. B. C. D. [练习4]如图, 在三棱锥 中, 是的中点, 点在上, 且.设,求直线, 的方向向量. [练习5]如图, 在直三棱柱中,.以为原点, 建立如图所示空间直角坐标系. (1) 求平面的一个法向量; (2) 求平面的一个法向量. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$