一次分式函数课件-2024届高三数学一轮复习

7.3一次分式函数及其应用 五种常见的幂函数 函数 图象 性质 定义域 ___ ___ ___ __________ __________ 值域 ___ __________ ___ __________ __________ 奇偶性 ____函数 ____函数 ____函 数 非奇非偶函数 ____函数 单调性 在___上 单调递 ____ 在________上单调 递减；在 上 单调递____ 在 上单 调递 ____ 在 上 单调递____ 在 和 上单调递 ____ 公共点 奇 偶 奇 奇 增 增 增 增 减 提醒：幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内 2 1.思考：我们把 经过平移变换得到的是什么样的函数呢？ 纵坐标向上平移2个单位 横坐标向右平移3个单位 0 0 x=3 x=3 y=2 (3,2) 通分的过程 横坐标向左平移3个单位 纵坐标向下平移2个单位 2.思考：我们把 经过平移变换得到的是什么样的函数呢？ 0 x=-3 0 x=-3 y=-2 (-3,-2) 0 通分的过程 3.思考：我们经过怎样的平移变换得到的是 函数呢？ 横坐标向左平移?个单位 纵坐标向下平移?个单位 B 解析　易知函数f(x)图象的对称中心为(1，1)，且f(x)在(－∞，1)上为增函数，故选B． 【类题演练1】 (－2，1) 【类题演练2】 x=－2，y=1 (-∞－2）（-2，+∞) 【详解】由题意函数 ，定义域为 ， 图象关于点(1,2)对称. 若函数 ， 则 的值为（    ） A．2022 B．4042 C．4044 D．8084 故选：D D ∴f(x)+f(2－x) =4 【类题演练3】 一次分式函数求参数 例2 已知函数f(x)= 的定义域是{x|x∈R,x≠-3}. (1)求函数f(x)的值域; (2)若f(x)在(-∞,b)上单调递增,求实数b的取值范围. 解 依题意知,函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠-3},所以a=3. 又因为f(x)在区间(-∞,b)上单调递增,所以b≤-3,即b的取值范围为(-∞,-3]. 变式探究1 (变结论)本例中,所有条件不变,则函数g(x)=f(sin x)的值域为　　　　.  思考探究 (变结论)本例中,所有条件不变,则f(2 023)+f(2 024)+f(-2 029)+f(-2 030) =　　　　.  8 解析 由于f(x)=2+ ,所以函数f(x)的图象关于点(-3,2)对称,因此 f(x)+f(-6-x)=4,于是f(2 023)+f(-2 029)=f(2 024)+f(-2 030)=4,故f(2 023)+ f(2 024)+f(-2 029)+f(-2 030)=8. 例2 已知函数f(x)= 的定义域是{x|x∈R,x≠-3}. (1)求函数f(x)的值域; (2)若f(x)在(-∞,b)上单调递增,求实数b的取值范围. 谢谢观看 一次分式函数 (1)定义：我们把形如y＝ eq \f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数． (2)图象 (3)性质 ①定义域： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,a)))；值域 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≠\f(c,a))). ②对称中心： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，\f(c,a))). ③渐近线方程：x＝－ eq \f(b,a)和y＝ eq \f(c,a). ④单调性：当ad＞bc时，函数在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,a)))和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，＋∞))上分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,a)))和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，＋∞))上分别单调递增． 1．函数f(x)＝1－ eq \f(1,x－1)的图象是　(　　) 函数f(x)＝ eq \f(x＋1,x＋2)的图象的对称中心为________．渐近线方程为_______. 单调增区间________. 解析　f(x)＝ eq \f(x＋1,x＋2)＝ eq \f(x＋2－1,x＋2)＝1－ eq \f(1,x＋2)，故其图象的对称中心为点(－2，1). 渐近线方程：x=-2,y=1.单调增区间：（-∞，-2），（-2，+∞）. 例题1已知函数f(x)＝ eq \f(ax＋2－a,x＋1)，其中a∈R. ①当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)中心对称时，求a的值； ②若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解　①因为f(x)＝ eq \f(ax＋2－a,x＋1)＝ eq \f(a(x＋1)＋2－2a,x＋1)＝a＋ eq \f(2－2a,x＋1)，所以f(x)图象的对称中心为(－1，a)，又点P(－1，3)为对称中心，所以a＝3. ②由f(x)＝ eq \f(ax＋2－a,x＋1)知x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)>1×a，即a<1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a|a<1)). (1)因为f(x)==2+,由于0,所以2+2,因此函数的值域为{y|y∈R,y≠2}. (2)因为f(x)=2+,所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞). [-]　 解析 g(x)=f(sin x)=2+,由于-1≤sin x≤1,所以2≤sin x+3≤4,因此,于是--,所以-2+,即g(x)∈[-],故函数g(x)的值域为[-]. $$