第一章 三角形专题课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第一章　三角形 专题1　三角形三边关系的六种常见应用类型 类型1　三角形的三边关系在判断三条线段能否组成三角形 中的应用 1. [2023·长沙]下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　C　) A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 1 2 3 4 5 6 【点拨】 因为1＋3＝4， 所以长度为1，3，4的三条线段不能组成三角形； 因为2＋2＜7，所以长度为2，2，7的三条线段不能组成三 角形； 因为4＋5＞7，所以长度为4，5，7的三条线段能组成 三角形； 因为3＋3＝6，所以长度为3，3，6的三条线段不能组成三 角形. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 类型2　三角形的三边关系在求三角形第三边的取值范围中 的应用 2. [新视角 结论开放题] 若一个三角形的三边长均为整数，且 两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 ⁠ (写出一个即可). 【点拨】 设三角形的第三边的长为 x ， 则5－3＜ x ＜5＋3，即2＜ x ＜8. 因为第三边的长为整数，所以 x ＝3或4或5或6或7. 3(答案不唯 一)　 1 2 3 4 5 6 类型3　三角形的三边关系在判断三角形形状中的应用 3. 在平面内，分别用3根、5根、6根相同的火柴棒首尾顺 次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列 表如下： 1 2 3 4 5 6 火柴棒根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)用4根相同的火柴棒能搭成三角形吗？ 【解】用4根相同的火柴棒不能搭成三角形. 1 2 3 4 5 6 (2)用8根、12根相同的火柴棒分别能搭成几种不同形状的 三角形？请画出它们的示意图. 【解】用8根相同的火柴棒能搭成一种三角形，示意图 如图①所示. 用12根相同的火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，示 意图如图②所示. 1 2 3 4 5 6 类型4　三角形的三边关系在求等腰三角形边长中的应用 4. 已知等腰三角形的周长为21 cm. (1)若腰长是底边长的3倍，求各边长； 【解】设底边长为 x cm，则腰长为3 x cm. 根据题意，得 x ＋3 x ＋3 x ＝21， 解得 x ＝3，所以3 x ＝9. 因为3＋9＞9，所以能构成三角形， 所以三角形的三边长分别是3 cm，9 cm，9 cm. 1 2 3 4 5 6 (2)若一边长为5 cm，求其他两边长. 【解】①当5 cm为腰长时，底边长为21－5－5＝11(cm). 因为5＋5＜11，所以不能构成三角形. ②当5 cm为底边长时， 腰长是 ＝8(cm). 因为5＋8＞8，所以能构成三角形. 所以其他两边长分别是8 cm，8 cm. 综上所述，其他两边长分别是8 cm，8 cm. 1 2 3 4 5 6 类型5　三角形的三边关系在化简绝对值中的应用 5. 已知 a ， b ， c 是三角形的三边长，则｜ b ＋ c － a ｜＋ ｜ b － c － a ｜＋｜ c － a － b ｜－｜ a － b ＋ c ｜＝ ⁠. 【点拨】 因为 a ， b ， c 为三角形的三边长， 所以 a ＋ b ＞ c ， a ＋ c ＞ b ， b ＋ c ＞ a ， 所以原式＝｜( b ＋ c )－ a ｜＋｜ b －( c ＋ a )｜＋ ｜ c －( a ＋ b )｜－｜( a ＋ c )－ b ｜＝ b ＋ c － a ＋ a ＋ c － b ＋ a ＋ b － c ＋ b － a － c ＝2 b . 2 b 　 1 2 3 4 5 6 类型6　三角形的三边关系在求三角形周长的最值中的应用 6. [2023·德州德城区月考]已知三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长 x 最小. (1)求 x 的取值范围. 【解】由三角形的三边关系，得2＜ x ＜10. 因为 x 最小，所以 x 的取值范围是2＜ x ≤4. 1 2 3 4 5 6 (2)当 x 为何值时，三角形的周长最大？最大值是多少？ 【解】当 x ＝4时，三角形的周长最大，最大值是4＋6 ＋4＝14. 1 2 3 4 5 6 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 专题2　全等三角形的四种常见模型 模型1　平移模型 1. [2024·济宁月考]如图，点 B ， E ， C ， F 在一条直线上， AB ∥ DE ， AC ∥ DF ， BE ＝ CF . 试说明：△ ABC ≌ △ DEF . 1 2 3 4 【解】因为 AB ∥ DE ，所以∠ B ＝∠ DEF . 因为 AC ∥ DF ，所以∠ ACB ＝∠ F . 因为 BE ＝ CF ，所以 BE ＋ EC ＝ CF ＋ EC ，即 BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中，因为 所以△ ABC ≌△ DEF (ASA). 1 2 3 4 模型2　对称模型 2. [2024·聊城月考]如图，已知△ ABD ≌△ ACE ，请问△ OBE ≌△ OCD 吗？请说明理由. 1 2 3 4 【解】△ OBE ≌△ OCD . 理由如下：因为△ ABD ≌ △ ACE ，所以∠ B ＝∠ C ， AB ＝ AC ， AE ＝ AD ，所以 AB － AE ＝ AC － AD ，即 BE ＝ CD . 在△ OBE 和△ OCD 中，因为 所以△ OBE ≌△ OCD (AAS). 1 2 3 4 模型3　旋转模型 3. [2024·临沂月考]如图，点 E 在△ ABC 外部，点 D 在 BC 边 上， DE 交 AC 于点 F ，若∠1＝∠2＝∠3， AD ＝ AB ，试 说明： AC ＝ AE . 1 2 3 4 【解】因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠ DAC ＝∠2＋∠ DAC ， 即∠ BAC ＝∠ DAE ， 因为∠2＝∠3，∠ AFE ＝∠ DFC ，所以∠ E ＝∠ C . 在△ ABC 和△ ADE 中，因为 所以△ ABC ≌△ ADE (AAS)，所以 AC ＝ AE . 1 2 3 4 模型4　“一线三等角”模型 4. [新视角·推理探究题2023·日照东港区月考] 如图，∠ ABC ＝90°， FA ⊥ AB 于点 A ，点 D 在直线 AB 上， AD ＝ BC ， AF ＝ BD . (1)如图①，若点 D 在线段 AB 上，判断 DF 与 DC 的数量关 系和位置关系，并说明理由； 1 2 3 4 【解】 DF ＝ CD ， DC ⊥ DF . 理由：因为 AF ⊥ AB ，所以∠ DAF ＝90°. 又因为∠ ABC ＝90°，所以∠ DAF ＝∠ CBD . 在△ ADF 和△ BCD 中，因为 所以△ ADF ≌△ BCD (SAS). 所以 DF ＝ CD ，∠ ADF ＝∠ BCD . 因为∠ BCD ＋∠ CDB ＝90°，所以∠ ADF ＋∠ CDB ＝90°， 所以∠ CDF ＝90°.所以 DC ⊥ DF . 1 2 3 4 (2)如图②，若点 D 在线段 AB 的延长线上，其他条件不 变，试判断(1)中结论是否仍然成立，并说明理由. 1 2 3 4 【解】成立.理由如下：因为 FA ⊥ AB ，所以∠ DAF ＝ 90°.因为∠ ABC ＝90°， 所以∠ CBD ＝90°，所以∠ DAF ＝∠ CBD . 在△ ADF 和△ BCD 中，因为 所以△ ADF ≌△ BCD (SAS). 所以 DF ＝ CD ，∠ ADF ＝∠ BCD . 因为∠ BCD ＋∠ CDB ＝90°，所以∠ ADF ＋∠ CDB ＝90°， 所以∠ CDF ＝90°.所以 DC ⊥ DF . 1 2 3 4 $$鲁教版 七年级上 第一章　三角形 专题3 与折叠有关的角度计算 例 如图，将三角形纸片(△ ABC )进行折叠，使得点 B 与点 A 重合，点 C 与点 A 重合，压平出现折痕 DE ， FG ，其中点 D ， F 分别在边 AB ， AC 上，点 E ， G 在边 BC 上，若∠ B ＝25°，∠ C ＝45°，则∠ EAG 的度数是(　C　) A. 25° B. 30° C. 40° D. 45° 方法点拨：对于折叠问题，应熟知折叠前后图形的形状和大 小不变，只有位置发生了变化，对应边和对应角相等是解答 此类题目的关键. 由折叠的性质可得∠ BAE ＝∠ B ＝25°， ∠ CAG ＝∠ C ＝45°， 所以∠ EAG ＝∠ BAC －∠ BAE －∠ CAG ＝110°－25°－45°＝40°. 【点拨】 因为∠ B ＝25°，∠ C ＝45°， 所以∠ BAC ＝180°－25°－45°＝110°. 【答案】C 变式一　三角形翻折一个角后求角度 1. 如图，在△ ABC 中，将△ ABC 沿直线 m 翻折，使点 B 落 在点 D 的位置，若∠ B ＝30°，∠2＝25°，求∠1的度数. 1 2 3 【解】设直线 m 交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F . 由折叠的性质可知∠ BEF ＝∠ DEF ， ∠ BFE ＝∠ DFE ， ∠ D ＝∠ B ＝30°. 因为∠ BFE ＋∠ CFE ＝180°， ∠ DFE ＝∠ CFE ＋∠2＝∠ CFE ＋25°， 1 2 3 所以∠ DFE ＝ (∠ BFE ＋∠ CFE ＋25°)＝ ×(180°＋ 25°)＝102.5°， 所以∠ DEF ＝180°－∠ D －∠ DFE ＝180°－30°－ 102.5°＝47.5°， 所以∠1＝180°－∠ BEF －∠ DEF ＝180°－2×47.5° ＝85°. 1 2 3 变式二　三角形翻折一个角后与平行线结合 2. 如图，把△ ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处， BC ∥ DE ，若∠ A ＋∠ B ＝α(90°＜α＜180°)，求 ∠ FEC 的度数(用含α的式子表示). 1 2 3 【解】由题意可得∠ AED ＝∠ DEF . 因为 DE ∥ BC ， 所以∠ AED ＝∠ C ，∠ DEF ＝∠ EFC ，所以∠ C ＝∠ EFC . 因为∠ A ＋∠ B ＝α， 所以∠ EFC ＝∠ C ＝180°－α. 因为∠ C ＋∠ EFC ＋∠ FEC ＝180°， 所以∠ FEC ＝180°－(180°－α)－(180°－α)＝2α－180°. 1 2 3 变式三　探究三角形翻折后角的关系 3. (1)如图①，把三角形纸片(△ ABC )折叠，使3个顶点重合 于点 P . 这时∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ⁠°. 360　 1 2 3 所以∠ DPE ＋∠ GPF ＋∠ MPN ＝180°， 所以∠α＋∠β＋∠γ＝360°－(∠ DPE ＋∠ GPF ＋∠ MPN )＝360°－180°＝180°， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°×3－(∠α＋ ∠β＋∠γ)＝360°. 【点拨】 如图，由折叠的性质可知∠ DPE ＝∠ A ， ∠ GPF ＝∠ B ，∠ MPN ＝∠ C . 因为∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°， 1 2 3 (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下： 由折叠的性质可知∠ A ＝∠A'，∠ B ＝∠B'，∠ C ＝∠C'. 因为∠1＋∠AEA'＝180°，∠2＋∠ADA'＝180°， 所以∠1＋∠AEA'＋∠2＋∠ADA'＝360°. 易知∠ A ＋∠AEA'＋∠A'＋∠ADA'＝360°， 所以∠1＋∠2＝2∠ A . 同理∠3＋∠4＝2∠ B ，∠5＋∠6＝2∠ C ， 1 2 3 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝2∠ A ＋2∠ B ＋ 2∠ C ＝2(∠ A ＋∠ B ＋∠ C )＝360°. 1 2 3 (2)如果三角形纸片(△ ABC )折叠后，3个顶点并不重合于 同一点，如图②，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说 明理由. 1 2 3 【解】(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下： 由折叠的性质可知∠ A ＝∠A'，∠ B ＝∠B'，∠ C ＝ ∠C'. 因为∠1＋∠AEA'＝180°， ∠2＋∠ADA'＝180°， 所以∠1＋∠AEA'＋∠2＋∠ADA'＝360°. 易知∠ A ＋∠AEA'＋∠A'＋∠ADA'＝360°， 所以∠1＋∠2＝2∠ A . 同理∠3＋∠4＝2∠ B ，∠5＋∠6＝2∠ C ， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝2∠ A ＋2∠ B ＋ 2∠ C ＝2(∠ A ＋∠ B ＋∠ C )＝360°. 1 2 3 $$