专题06 二次函数与几何综合常考题型（十大题型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题06二次函数与几何综合常考题型 【题型01 ：二次函数与角相等】 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角相等】 【典例1】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【变式1-1】已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【典例2】综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，求m的值． 【典例3】如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【典例4】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【变式4-1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值． 【变式4-2】如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． 【变式4-3】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【题型03：二次函数与面积综合】 【典例5】已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大，求出点P的坐标及最大面积． 【变式5-1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【典例6】如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式6-1】如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式6-3】已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿所在直线翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的面积． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【变式7-2】如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式7-3】如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【典例9】如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； (3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式9-3】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【典例10】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-2】如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式10-3】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点. (1)求A,B 两点的坐标； (2)求的面积； (3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【典例11】【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 【变式11-1】如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【典例12】已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 【变式12-1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【变式12-3】如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06二次函数与几何综合常考题型 【题型01 ：二次函数与角相等】 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角相等】 【典例1】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)P的横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式1-1】已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①直角三角形；②或 【分析】（1）分别求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）连接，过B作于F，判断四边形是正方形，得出，，则可证，利用证明，可求出G的坐标，利用待定系数法求出的解析式，然后与抛物线解析式联立方程组求解即可； （3）①利用两点间距离公式，勾股定理的逆定理即可判断；②分在的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， 把B、C的坐标代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴轴，则轴，， ∵，， ∴， 如图，连接，过B作于F， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴ （3）解：①∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，其中； ②当在的上方时，如图， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 当在的下方时， 如图，过B作，交于G，过G作于H 又①知， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， ∴ 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 综上，P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与逆定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、等腰直角三角形求解是解题的关键． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得； （2）过点作于点，先求出的长，从而可得点的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． 【典例2】综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)或3 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）当点P在轴下方时，如图，过点P作轴于点D，则点D的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 即， 解得 其中不合题意，故 当点P在轴上方时，如图，过点P作轴于点E，则点E的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 即， 解得 其中不合题意，故 综上可知，或. 【典例3】如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【典例4】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式及顶点坐标，一次函数解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识； （1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求解； （2）设直线为，把，分别代入解析式即可求得直线解析式，即可求解； （3）以为斜边作（点在轴右侧），使得得，过点作，交轴于，交于点，则，根据，得，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，在中，，，可得，，进而可求得，即可求解 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， （2）解：设直线为， 把，分别代入得， ． 直线为解析式为 令得， ． （3）解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得， ， 过点作，交轴于，交于点，则， 根据，得 则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 即的最小值为 【变式4-1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标即可求解； （2）作点关于x轴的对称点，连接，可知与x轴交点即为的值最小时，利用待定系数法求得解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ， ∴， ∴抛物线的解析式为． ∵顶点坐标， ∴． （2）作点关于x轴的对称点，连接， 则， ∴与x轴交点即为的值最小时， 设解析式为，代入，， ， ∴， ，令，解得，即． 【变式4-2】如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，，进而表示出的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； 【详解】（1）直线与轴、轴分别交于、两点， 、， 抛物线经过、两点， ， ， ． （2）设， 平行于x轴，与直线交于点， 令， ， ，， ， 当时，的长取最大值，最大值为4． 【变式4-3】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵当时，， ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 【题型03：二次函数与面积综合】 【典例5】已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大，求出点P的坐标及最大面积． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为，最大面积为． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法和面积问题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点B的坐标为和点C的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设点为，过点P作轴的垂线交于点N，垂足为点H，则点N的坐标为，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为抛物线的顶点， ∴可设抛物线解析式为， 把A点坐标代入得到，， 解得 ∴抛物线解析式为：， （2）存在，求解如下： 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 解得 ∴直线的解析式为， 设点为，过点P作轴的垂线交于点N，垂足为点H，则点N的坐标为， ∴ ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴点P的坐标为，最大面积为． 【变式5-1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 【变式5-2】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【典例6】如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，， ∴， 过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 由题意可知：，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：或， ∴点D的坐标为或或； 综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式6-1】如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或． 【分析】此题主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． （1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； （3）分三种情况进行讨论分析：a．当四边形为平行四边形时，则，；b．当四边形为平行四边形时，则，；c．当四边形为平行四边形时，则，，利用平行四边形的性质及中点点坐标的性质求解即可． 【详解】（1）将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； （2）过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∴ ， ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 当时， ∴此时点E的坐标为． （3）如图：、E，设，， a．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 b．当四边形为平行四边形时， 则，， 则， 即 ， 当时， 所以 c．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 所以，符合题意的点P有或或． 【变式6-2】如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为 (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，两点之间，直线最短，平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据两点之间，直线最短，找出点点P的位置，求出直线的解析式即可得到答案； （3）设，，根据平行四边形的性质，分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，，三点， 解得 这条抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线的对称轴于点P，此时的值最小． ， 抛物线的对称轴为直线． 设的直线解析式为， ， 解得 ． 当时，． ； （3）解：答：存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形． 解：设，， ①当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． ②当为平行四边形的对角线时，点M，N的横坐标差是1． 解得或 或． ③当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． 综上所述：M点坐标为或或或． 【变式6-3】已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出直线的函数解析式为，过点作轴，交于点，交轴于点，设，则，可得，得到当时，有最大值，又得，可知当时，四边形面积的最大，代入计算即可求解； （）分点在轴上方和下方两种情况，画出图性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由得，，， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， ∴， ∴直线的函数解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形面积的最大， 此时，；    （3）解：存在． ①如图，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，则四边形为平行四边形， ∵， 把代入得，， 解得，， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴，； 综上，点的坐标为或或． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【典例7】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿所在直线翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的面积． 【答案】(1) (2)存在； (3)； 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）存在点，使四边形为菱形．设点的坐标为，连接交于点，根据菱形的性质可得，即，代入二次函数解析式求解即可； （3）过点作轴的平行线交于点，交于点，设，求出直线的解析式，设，则点的坐标为，根据列出阿含糊解析式求解即可． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入得： ， 解得：， 所以二次函数的表达式为： （2）解：存在点，使四边形为菱形．理由如下： 如图1，设点的坐标为，连接交于点， 若四边形是菱形，则有，则于点， ， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴的平行线交于点，交于点， 解，得，， 点， ， 设直线的解析式为， 把代入，得， ， 直线的解析式为， 设，则点的坐标为． 则 ， 当时，四边形的面积最大， 此时点坐标为，四边形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，以及函数与图形的面积，数形结合是解答本题的关键． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 【变式7-2】如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可； （2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时 ， 故点 当时，有 解得： 设直线的表达式为：； 将代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 同理可得：直线的表达式为：； （2）解：①存在：设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【变式7-3】如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答． （2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答． （3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设二次函数为， 再把代入， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， 结合图象，得出， 把，分别代入， 得， ∴， 则； （2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴ 结合图象， 四边形的面积 ； （3）解：或或或或 过程如下： 依题意，设， 当为对角线时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 综上：或或或或． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式8-1】二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；拓展设问：存在， 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标． 拓展设问：设，得出，， ，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）是以点为直角顶点的直角三角形时，. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴对称，， ∴点， 设， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴. 拓展设问：解：存在，设，其中，， ，， ①当时，即， ∴， ∴， 解得（舍）或（舍）； ②时， 即， ∴， 解得（舍）或， ∴， 设所在直线的一次函数关系式为 又∵点，点， ∴ 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为 ∵四边形为矩形， ∴ ∴可设所在直线的一次函数关系式为 将点代入中， 即 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为， 设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ，连接，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 解得： ∴点 综上所述，. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式8-2】如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）． 【分析】（1）求出C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，当M、N、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可； （3）分两种情况讨论：①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，求出直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立方程组，可求得，由C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，可得，同理可得；②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，此时P点不存在． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将点，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，    ∴， ∴， ∴M、N、三点共线时，的值最小， ∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： ①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，    ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴交点为G，直线与x轴的交点为H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得（舍）或， ∴； ∵C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E， ∴； 同理可得； ②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点， ∴此时P点不存在； 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，利用轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，根据点A，B，C的坐标判断三角形为直角三角形，再根据作图可得四边形为矩形，根据直线平移的性质可求得直线和直线的解析式，再联立方程组，解方程组即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：存在． 过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，则M即为所求． 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴点M坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的判定，解题的关键是判断为直角． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【典例9】如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)D的坐标为： (3)存在，点F的坐标为：或或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小， 理由：为最小， 对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：； （3）存在，理由： 令，则， 解得或， ∴点，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 由点A、C、F的坐标得，， 同理可得：， 当时， 则， 解得：（舍去）或2， 即点； 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或； 综上，点F的坐标为：或或． 【变式9-1】如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； (3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解； （2）过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值； （3）由可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得的顶点坐标，进而可求出的对称轴；则需要分类讨论当时；当时；当时，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线过点，点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）由（1）知函数解析式为：． ， 直线：， 过点作，设直线的解析式为：， 当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点， 令，整理得， ， 解得：， ， ，即； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小， ， ， ，， 周长的最小值为：． （3）由（1）知原抛物线的顶点坐标，绕点旋转后的顶点， 的对称轴为直线； 设点的坐标为， 若是等腰三角形，则需要分类讨论： 当时，如图； ，解得； 或； 当时； ，无解； 当时，如图， ，解得， ． 综上可知，存在，点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程． 【【变式9-3】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： （2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； （3）解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【典例10】如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或或或 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， 得解析式； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时； ，三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【变式10-2】如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积S有最大值 (3)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解； （2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值． （3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，其对称轴为直线， ∴，解得 ∴． （2）解：设直线的解析式为，则 解得 ∴直线解析式为． 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得 ∴ 过点E作轴，交于点G， 设，则 的面积 ∴ ∴当时，的面积有最大值． 此时，， ∴． （3）解：存在． 设点，则 ； ； ； ①若，则， ∴，解得， ∴； ②若，则， ∴，解得， ∴； ③若，则， ∴， 解得， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键． 【变式10-3】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点. (1)求A,B 两点的坐标； (2)求的面积； (3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)存在；，，，. 【分析】（1）当时，代入即可求解； （2）设直线与抛物线的对称轴交于点G，先确定，然后利用待定系数法可得，再将配成顶点式可得，进而得到，，即可求解； （3）设，可得：，，，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，当时， ， 解得：，， ∴，； （2）解：，当时，， ∴， 设， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设直线与抛物线的对称轴交于点G， 则， ∴， ∴； （3）解：，，设， 则：， ， ， 当边为斜边时： ， ， 解得：，， ∴，； 当边为斜边时： ， ， 解得：， ∴； 当边为斜边时： ， ， 解得：， ∴； 综上所述：存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，，，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了三角形的面积、直角三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴交点，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，学会分类讨论的思想思考问题． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【典例11】【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用，即可证明； （2）过点B作轴于点F.证明,则，得到.  待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到 （3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和 点M在x轴的上方，分别进行解答即可． 【详解】（1）证明:∵， ∴ ∵, ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2）解:如图,过点B作轴于点F.    由题意,得 ∵， ∴. ∴ 又∵, ∴, ∴. ∴ ∴..   设直线的解析式为, 将代入中,得, 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ （3）解:∵ ∴抛物线的对称轴为直线, 设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N， ①当点M在x轴的下方时,如图，      ∵, ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴.. 设， ∴， ∴， ∴， 将 代入中, 得, 解得或 ∴. 点M的坐标为或； ②当点M在x轴的上方时,如图,    同理可得，点M的坐标为或. 综上所述,点M的坐标为或或或. 【变式11-1】如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 【变式11-2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 【变式11-3】如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在，或 【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点E作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵，，则，， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形，由点的运动可知： ，过点作轴，垂足为，    ∴， 又∵，则， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴，， ∴， 当时，四边形的面积最小，即为； （3）解：存在，或， 当点在的右侧时，如图所示，    过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， ∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 当点在的右侧时，同理可得， 解得：或（舍去） ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是求出解析式，分类讨论点根据面积加减及线段关系列式求解． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【典例12】已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 【答案】(1) (2) (3)点坐标分别为或，点的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点是，则直线与抛物线对称轴的交点就是点，即可求解； （3）将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或，进而求解． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 又函数过点、， 则，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点关于抛物线对称轴的对称点是， 直线与抛物线对称轴的交点就是点， 抛物线的对称轴是， 把代入得，，即点； （3）解：即， 又抛物线的对称轴为， 将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或． 在中，当时，；当时， 点坐标分别为或， 又点的纵坐标为．则的纵坐标为或， 对称轴上的点的坐标为或，， 综上所述：点坐标分别为或，点的坐标为或． 【变式12-1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 【变式12-3】如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，对应点的坐标为或；点的坐标为对应点E的坐标为或 【分析】（1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解; 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 故设抛物线的表达式为：； （2）在（1）中，当 时，， 即， 当时，即， 解得：， ， ， 设， 则， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题，涉及到绝对值的运用，分类求解是解题本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$