专题05 二次函数应用分类汇编（七大题型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题05二次函数应用分类汇编 【题型01 ：抛物线问题】 【题型02 ：拱桥问题】 【题型03：面积问题】 【题型04：每每问题】 【题型05：利润问题】 【题型06：分配问题】 【题型07：分段函数】 【题型01 ：抛物线问题】 1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，则当时，小球的高度为 （    ） A． B． C． D． 2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（    ）m A． B． C． D． 3．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过时间（秒）的关系式为，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（    ） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 4．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 6．嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． (1)当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 7．在某次测试中小周投掷出的实心球所经过的路线是如图所示的抛物线，已知实心球出手时离地面，当实心球行进的水平距离为时实心球达到最大高度． (1)求实心球行进的高度与行进的水平距离之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果实心球测试的优秀成绩至少是，那么小周在这次测试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 【题型02 ：拱桥问题】 8．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 9．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是 当水位线在位置时，水面宽为 18米，这时水面离桥顶的高度h是 米． 11．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 12．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【题型03：面积问题】 13．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 14．某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 15．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 16．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 17．如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃，边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边长为x（米），面积为y（平方米）． (1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽； (2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 18．如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 【题型04：每每问题】 19．日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)每个毛线玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 20．成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 21．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 22．火龙果在春节期间销售很快，某商家在还有天过春节时，用元/千克的进价购回千克火龙果，放在冷库内储存，火龙果最多可以存放天，当日市场价为每千克元，经市场调查发现，此后市场价每天每千克可上涨元，但是平均每天有千克火龙果坏掉，存放天后一次性销售． (1)直接写出x天后还有多少千克的火龙果？ (2)若存放x天后一次性销售，销售总额为元，求x的值； (3)设该商家销售火龙果获利为W元，求出W与x的函数关系式，并求出在第几天一次性销售，能获得最大利润，最大利润是多少元？ 23．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲. 节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况发现，当售价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每增加10元，日均销售量减少50件．设销售单价为每件元，日均销售量为件． (1)求出与的函数关系式； (2)物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于： ①当销售单价取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元? (利润销售总价成本价）； ②试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润(元)最大?并求出花店销售该鲜花礼盒每天获得的最大利润． 24．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件． (1)求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)若超市销售该麻花礼盒每天要获得不低于5000元的利润，但物价部门规定，销售该麻花礼盒的利润率不得高于，该超市应如何确定销售单价． 【题型05：利润问题】 25．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 27．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 28．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 29．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表： 售价（元/件） 55 65 销售量（件/天） 90 70 (1)求出关于售价的函数关系式； (2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 30．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）． (1)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【题型06：分配问题】 31．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 32．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 33．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元． （1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价为y元． ①求y关于m的函数关系式； ②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？ （3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 34．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元． (1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件； (2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w． ①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？ ②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值． 35．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【题型07：分段函数】 36．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 37．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元． (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值． 38．某公司共有个生产车间，分别生产与两种不同的产品，其中个生产车间生产产品（其中为正整数，且），剩余的生产车间生产产品．今年每个生产产品的生产车间的平均收入（单位：万元）与车间数量（个）之间的关系如图所示． (1)求当时，关于的函数解析式； (2)若已知今年公司产品的年总收入 （单位：万元）与车间数量（个）的关系为：（x为正整数且），设公司年总收入为（单位：万元），求关于的函数解析式．（注：公司年总收入=产品的年总收入 产品的年总收入） (3)请问公司今年的总收入能超过万元吗？说明理由． 39．某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数解析式； (2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 40．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 41．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05二次函数应用分类汇编 【题型01 ：抛物线问题】 【题型02 ：拱桥问题】 【题型03：面积问题】 【题型04：每每问题】 【题型05：利润问题】 【题型06：分配问题】 【题型07：分段函数】 【题型01 ：抛物线问题】 1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示，则当时，小球的高度为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．由待定系数法求得函数解析式，再将代入计算，即可求解． 【详解】 解：设函数解析式为， 将代入得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时， ， 即小球的高度为 故选：D． 2．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（    ）m A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先把配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，s有最大值，最大值为； 故选：D． 3．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过时间（秒）的关系式为，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（    ） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求出小球的最大高度，从而得出结论． 【详解】解：， ∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是米， 故选D． 4．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 5．如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质，一次函数图像及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即：， ∴对称轴为：， ∴当时，小球呈下降趋势， 故A选项正确； ∵当小球水平运动2米时，， ∵斜坡可以用一次函数刻画，当时，， ∴当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为米， 故B选项不正确； ∵，解得：或， ∴小球落地点距点水平距离为7米， 故C选项正确； ∵当小球拋出高度达到8m时，即：，解得：， ∴小球距点水平距离为4m， 故D选项正确． 故选：B． 6．嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． (1)当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 【答案】(1)①，②此球能过网 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①将，代入解析式即可求解h，②把代入求出函数值与1.5比较即可； （2）将，解方程组即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当时， 则 将代入得 解得， ②∵ ∴当时， ∵ ∴此球能过网； （2）解：将代入， 得， 解得 ∴． 7．在某次测试中小周投掷出的实心球所经过的路线是如图所示的抛物线，已知实心球出手时离地面，当实心球行进的水平距离为时实心球达到最大高度． (1)求实心球行进的高度与行进的水平距离之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果实心球测试的优秀成绩至少是，那么小周在这次测试中成绩是否能达到优秀？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能达到优秀，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据抛物线顶点坐标设出顶点式，再将抛物线与y轴交点坐标代入求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，与优秀成绩标准进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，该抛物线经过点，顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将代入解析式，得：， 解得， 与的函数解析式为； （2）解：不能达到优秀，理由如下： 当时，， 解得，（舍去）， 小周在这次测试中成绩为， ， 小周在这次测试中成绩不能达到优秀． 【题型02 ：拱桥问题】 8．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 9．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，求出抛物线的的解析式，进而求出点的纵坐标即可． 【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系， 由题意，得：， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， ∴； ∵， ∴点的横坐标为， ∴当时，， 即：警示灯E距水面的高度为9m； 故选D． 10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是 当水位线在位置时，水面宽为 18米，这时水面离桥顶的高度h是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求水面离桥顶的高度h，由图象可知，实际是求在抛物线解析式中，时，值的绝对值． 【详解】解：∵， ∴由题意知，当时，， 所以，水面离桥顶的高度h是米， 故答案为： 11．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 12．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 【题型03：面积问题】 13．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 14．某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可． 【详解】如图， 设， ∵分成两个面积为的矩形， ∴，， 设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 15．如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．    (1)写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； (2)当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形的面积最大，最大值为32 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 16．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 17．如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度为16米）的一个矩形场地花圃，边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围），设花圃的一边长为x（米），面积为y（平方米）． (1)若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽； (2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键． （1）根据题意，得宽，长为，根据矩形场地面积为144平方米，列出方程，解方程即可； （2）设矩形的面积为，根据题意，得，，构造二次函数解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得宽， 长为， ∵矩形场地面积为144平方米， ∴， 即， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，舍去， 故当时，成立， 答：矩形的长为，宽为． （2）∵， ∴， 根据题意，得， ∴当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值160，此时矩形的长为，宽为． 答：矩形的长为，宽为，矩形面积最大，最大面积为． 18．如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2；8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得到，证明，得到，则，利用勾股定理得到，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解；如图所示函数图象即为所求；    （3）解：， ∴当时，最小，最小值为8， ∴当时，正方形面积有最小值， 故答案为：2；8． 【题型04：每每问题】 19．日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)每个毛线玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式 (2)每个毛线玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元 【分析】（1）根据销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件，解得即可． （2）设总利润为w元，根据题意，得，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，抛物线的最值，熟练掌握应用和最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件， 故． （2）解：设总利润为w元， 根据题意，得 ， ， 抛物线开口向下， 抛物线对称轴为直线 当时， 答：每个毛线玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 20．成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 【答案】(1)销售单价应定为40元 (2)当销售单价应定为元，销售总利润最大 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出方程求解即可； （2）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵商场决定尽快减少库存， ∴， ∴， 答：销售单价应定为40元； （2）解：设每个“蓉宝”降价x元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为2450， ∴， ∴当销售单价应定为元，销售总利润最大． 21．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)700元 (3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元 【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解； （2）把9600代入中，求解即可； （3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可； 本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数） ． （2）由题意得， ∴， 解得，， ∵民宿尽最大可能让利游客，， ∴每个房间的定价为（元）． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元． （3）， ∵， ∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元． 22．火龙果在春节期间销售很快，某商家在还有天过春节时，用元/千克的进价购回千克火龙果，放在冷库内储存，火龙果最多可以存放天，当日市场价为每千克元，经市场调查发现，此后市场价每天每千克可上涨元，但是平均每天有千克火龙果坏掉，存放天后一次性销售． (1)直接写出x天后还有多少千克的火龙果？ (2)若存放x天后一次性销售，销售总额为元，求x的值； (3)设该商家销售火龙果获利为W元，求出W与x的函数关系式，并求出在第几天一次性销售，能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)千克 (2)10 (3)放15天后出售这批香菇可获得最大利润元． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的实际应用．理解题意找出等量关系列出方程或二次函数关系式是解答本题的关键． （1）根据平均每天有5千克的火龙果损坏不能出售，即可用含x的代数式表示这批火龙果的销量． （2）火龙果的市场价格每天每千克上涨元，即可用含x的代数式表示x天后这批火龙果的销售单价；根据题意即可列出一元二次方程，解出方程，保留符合题意的根即可． （3）设利润为w，根据题意可列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由于平均每天有5千克的火龙果损坏不能出售，故损坏的火龙果共有千克，所以这批火龙果的销量是千克． （2）解：由火龙果的市场价格每天每千克上涨元，可得x天后这批火龙果的销售单价为元；依题意得 ， 整理得：， 解方程得：（舍） 故这批火龙果存放10天后，一次性出售所得的销售总金额为元． （3）解：设利润为w，由题意可列出等式：， 即：， ∵， ∴抛物线开口方向向下，当时，随x增大而增大； ∴时，有最大值，且最大值为， 故存放15天后出售这批香菇可获得最大利润元． 23．每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母亲送鲜花，感恩母亲，祝福母亲. 节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元每件，分析上一年母亲节的鲜花礼盒销售情况发现，当售价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每增加10元，日均销售量减少50件．设销售单价为每件元，日均销售量为件． (1)求出与的函数关系式； (2)物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润不得高于： ①当销售单价取何值时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元? (利润销售总价成本价）； ②试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润(元)最大?并求出花店销售该鲜花礼盒每天获得的最大利润． 【答案】(1) (2)①当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元；②销售单价时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6000元 【分析】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的实际应用、一次函数的实际应用，理解题意，正确求得相关的函数关系式及方程是解答的关键． （1）根据题意求解函数关系式即可； （2）①根据利润销售总价成本价日均销售量×单件利润列方程求解即可； ②根据利润日均销售量×单件利润得到函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 即与的函数关系式为； （2）解：由题意，， ∴， ①根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵，， ∴， 答：当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为5000元； ②由题意， ， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：销售单价时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6000元． 24．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件． (1)求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)若超市销售该麻花礼盒每天要获得不低于5000元的利润，但物价部门规定，销售该麻花礼盒的利润率不得高于，该超市应如何确定销售单价． 【答案】(1) (2)当销售单价定为65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，不等式组的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件求解即可； （2）设利润为w，求出关于w的二次函数，根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意列不等式组，求解即可． 【详解】（1）； （2）设利润为w元，由题意得 ， ∴当时，w最大为6125， ∴当销售单价定为65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元； （3）由题意得， 解得， 所以，销售单价应为元． 【题型05：利润问题】 25．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元 (3)单价定为25元 【分析】 本题考查二次函数的实际应用： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ∴当时，有最大值800， ∴销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元； （3）当时，， 解得：或， ∵确保顾客得到优惠， ∴， ∴单价应定为25元． 27．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件消毒用品的售价为13元 (3)每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及待定系数法求函数关系式、一次函数的性质、二次函数的性质，理解题意，正确求得函数关系式和方程是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）根据利润=单件利润×销售量列方程求解即可； （3）根据利润=单件利润×销售量列函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意，得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得，即， 解得，， ∵让消费者获得更多实惠， ∴， 答：每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意，得 ， ∵，， ∴当时，w有最小值，最小值为605， 答：每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元． 28．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 【答案】(1) (2)30吨 (3)原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用： （1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； （3）设销售总利润为W，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 与x之间的函数关系式为； （2）解：依题意得：， 解得， 设销售收入为P（万元）， ， 令， 解得，（舍去）， 原料的质量为30吨时，销售收入为300万元． （3）解：设销售总利润为W（万元）， ， ， 当时，W有最大值为， 原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 29．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表： 售价（元/件） 55 65 销售量（件/天） 90 70 (1)求出关于售价的函数关系式； (2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)，当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）设，待定系数法求函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设，由题意，得： ，解得：， ∴； （2）由题意，得：， ∴当时，有最大值为， ∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大． 30．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）． (1)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质： （1）根据获利=（销售单价成本）日销售量，即可求解； （2）由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解； 求出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得， 化简得：， 答：日获利与销售单价之间的函数关系式为； （2）解：， ∵，对称轴为， ∴当时，由最大值为元， ∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元． 【题型06：分配问题】 31．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键． （1）将代入，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式． （2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为， 将代入，得 ，解得 ∴二次函数解析式为． （2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则 ∵， ∴当时，W有最大值6.6． ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 32．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 33．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元． （1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价为y元． ①求y关于m的函数关系式； ②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？ （3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 【答案】（1）每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元；（2）① y=-500m+150000，②当m=34时销售总价最大，最大值为133000元；（3）销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①根据购进A型空气净化器的台数，找出购进B型空气净化器的台数，根据A、B间的关系可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再由销售利润=A型的利润+B型的利润，即可得出y关于的函数关系式； ②结合一次函数的性质以及x的取值范围即可解决最值问题； （3）根据“A型空气净化器的利润+B型空气净化器的利润”得出w关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元据题意得： ， 解得：， 答：每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元； （2）①设购进A型空气净化器台，则购进B型空气净化器（）台， 由已知得：， 解得：， ∴， ∴（，且为正整数）． ②∵中，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， 故购进34台A型空气净化器和66台B型空气净化器的销售利润最大； （3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元， ∵， ∴当大于20时，w随m的增大而减小 ， ∴当时，w有最大值为82040元 答：销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质、二次函数的性质解答． 34．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元． (1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件； (2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w． ①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？ ②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值． 【答案】(1)每天生产A产品30件，B产品20件 (2)①或6；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设每天生产A产品x件，则每天生产B产品件，由题意列出方程可得答案； （2）根据题意列出函数解析式，由二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设每天生产A产品x件，则每天生产B产品件， 由题意得：， 解得：， 每天生产B产品为件； 答：每天生产A产品30件，B产品20件 （2）解：①由题意得： 令，则， 解得或6 ②由题意得： 实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍， ， 解得： ，且 当时，w随x的增大而减小， 取正整数， 当时，w有最大值，即． 35．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克 (2)利润最大为3450元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即可； （2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克， 则，解得：． 答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克． （2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元， ∴利润 ． 又∵， ∴当时，利润有最大值，最大值为3450元． 【题型07：分段函数】 36．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元； (2)①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元． 【分析】考查了二元一次方程组的实验应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型． （1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设生产量x千克时，获得的利润为w元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能180元，列出方程求解即可，②当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元， 则， 解得， 即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元． （2）解：①由题意得：， 解得， ， ，即当日生产5千克时，盈利为180元． ②当时，利润， 即当时，利润最大，最大利润为196元， 当时，利润， 随的增大而减小， 即时，（元）， ∵， 每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元． 37．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元． (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值． 【答案】(1) (2)1210000元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，注意分类讨论． （1）分两种情况：求出与的函数解析式即可； （2）分两种情况：当时，当时，求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得： ， 解得：， ∴与的函数解析式为：． （2）解：由题意得： ①当时，． 当时， 有最大值为：； ②当时，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为：． ∵， ∴当时，有最大值为1210000， ∴这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值是1210000元． 38．某公司共有个生产车间，分别生产与两种不同的产品，其中个生产车间生产产品（其中为正整数，且），剩余的生产车间生产产品．今年每个生产产品的生产车间的平均收入（单位：万元）与车间数量（个）之间的关系如图所示． (1)求当时，关于的函数解析式； (2)若已知今年公司产品的年总收入 （单位：万元）与车间数量（个）的关系为：（x为正整数且），设公司年总收入为（单位：万元），求关于的函数解析式．（注：公司年总收入=产品的年总收入 产品的年总收入） (3)请问公司今年的总收入能超过万元吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公司一年的总收入不能超过万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）分当 时和当时两种情况求解即可； （2）设为A产品的年收入，先表示出，再根据求解即可； （3）根据一次函数和二次函数的性质，结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）由图可知，当 时，函数；    当时，令一次函数，过点， ， 解得， 故当时，函数解析式为， 函数； （2）设为A产品的年收入， ， ∵， ； （3）不能． 理由：当时， ， ， ∴当时， ， 当时， ， ，且图象开口向下， 当时，． 综上所述：公司一年的总收入不能超过万元． 39．某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数解析式； (2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)该商品售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用， （1）根据利润等于每千克的利润乘以销售量，即可求解； （2）根据第（1）问中与的函数关系式即可求得利润最大值. 【详解】（1）解：由题意，得. 所以w关于x的函数解析式是. （2）解：.     因为，所以w有最大值.     当时，w的值最大，为450. 答：该商品售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是450元. 40．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当时，即第天利润最大，最大利润为元； (3)天． 【分析】（）依据题意，设每次降价的百分率为，从而可得，解方程即可判断得解； （）依据题意，第一次降价后的价格为元，从而可得当时，，当时，，进而分类讨论分析即可得解； （）依据题意，由当时当时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解． 【详解】（1）解：设由题意，设每次降价的百分率为，据题意可得 ∴，（不符合题意，舍去）； 答：此品牌柑橘每次降价的百分率为； （2）由题意，第一次降价后的价格为元， 当时， 当时， 当时，， ∵，随的增大而减小， ∴当时，（元）， 当时，， ∵， ∴当时，最大值为（元） 综上可知：， ∴当时，即第天利润最大，最大利润为元； （3）由题意，当时，， ∴解得：， ∴， 又为正整数， ∴，故此时为天利润不低于元， 当时，， ∴解得：， ∴当时，有，此时， 故此时有天利润不低于元． 又（天）， 综上可知，共有天利润不低于元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题的关键． 41．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解； （2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 综上所述，． （2）解：由（1）可知，当时，， ∴当时，利润为元； 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴当时，利润为元； ∵， ∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$