专题04 二次函数重难点题型汇编-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题04 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：二次函数的条件】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：二次函数的交点个数问题】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 2．下列关于的函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型02 ：二次函数的条件】 3．若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 4．若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 5．已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．若是关于的二次函数，则的值是 ． 【题型03：列出二次函数关系式】 7．某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 8．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　） A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2 9．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 10．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 12．某化工厂月份生产某种产品，月份生产这种产品，则与产品产量的月平均增长率之间的函数关系式是 ． 13．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 14．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 15．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（      ） A． B． B． C． D． 16．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 17．已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 18．抛物线的对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 19．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 21．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 22．如图，矩形的顶点在抛物线上，将矩形绕点O顺时针旋转，得到四边形，边与抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 23．如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为 ． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 24．已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 25．如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A． B． C． D． 26．关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 27．如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的序号是（ ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 28．将抛物线沿x轴翻折，得到的抛物线的解析式为 ，沿y轴翻折，得到的抛物线的解析式为 ． 29．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 30．已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值为（    ） A．1或 B．2或 C．3或 D．或 31．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　） A． B． C．或 D．﹣1或 33．已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（    ） A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7 34．已知二次函数在时有最小值，则(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 35．已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 36．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，且经过点，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 37．二次函数的图像如图所示，下列结论错误的是（    ） A．y有最小值 B．当时， C． D．当时，y随x的增大而减小 38．二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 39．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 40．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【题型09：二次函数的平移变换】 41．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 42．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(　　) A． B． C． D． 【题型10：二次函数交点的个数问题】 43．如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． 或 C． D．或 46．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：二次函数的条件】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：二次函数的交点个数问题】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 2．下列关于的函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如 是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是二次函数，故选项B不符合题意； C、 不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意 故选：A． 【题型02 ：二次函数的条件】 3．若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 4．若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 5．已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选C． 6．若是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 【题型03：列出二次函数关系式】 7．某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额万元，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵第一季度的总营业额共万元， ∴， 即． 故选：D． 8．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（　　） A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2x C．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2 【答案】D 【分析】2020年人均收入y = 2018年人均收入×(1+年人均收入平均增长率为x) 2，把相关数值代入即可． 【详解】解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为: y＝30000（1+x）2 故选： D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二次函数的知识点，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)2 =增长后的量． 9．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y列出方程即可． 【详解】解：原边长为3的正方形面积为：， 边长增加后边长变为：， 则面积为：， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正方形的面积． 10．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围． 【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得： ， 又∵要确保盈利，且日销售量为整数， ∴，且x为偶数， ∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：x＋2， 则面积为：（x＋2）2平方厘米， ∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x． 故答案为：y＝x2＋4x． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 12．某化工厂月份生产某种产品，月份生产这种产品，则与产品产量的月平均增长率之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据增长率问题，2月份的产量为，则3月份的产量为，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数关系式，是解题的关键． 13．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 ．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 14．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 15．把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（      ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数平移的问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为， 故选：C． 16．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析判定即可． 【详解】解∶ 二次函数的二次项系数为1，则其图象开口向上， 其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故选∶C． 17．已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断． 【详解】解：， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 和， ， ， 故选：C． 18．抛物线的对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握坐标公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴、顶点坐标分别是直线，． 故答案为：A． 19．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 20．已知抛物线（h为常数），当自变量x满足时，与其对应的函数值y的最小值是3，则h的值是 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题时注意抛物线的增减性和分类讨论数学思想的运用． 由解析式可知函数在时取得最小值，时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；根据时，函数的最小值为3可分如下两种情况：①当时，时，y取得最小值3，②当时，当时，y取得最小值3，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，根据二次函数的图象与性质，h的值不可能在1到3之间， ①当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， ②当时， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴或（舍去）， 综上可得，或5． 故答案为：或5． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 21．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 22．如图，矩形的顶点在抛物线上，将矩形绕点O顺时针旋转，得到四边形，边与抛物线交于点P，则点P的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，先根据矩形的性质得到，再利用待定系数法求出抛物线解析式为，由旋转的性质得到，，进而推出点P的纵坐标为1，再求出当时x的值即可得到答案． 【详解】解：∵矩形的顶点的坐标为， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴抛物线解析式为， 由旋转的性质可得，， ∴点F在y轴上， ∴轴， ∴点P的纵坐标为1， 在中，当时，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 23．如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， 依此类推，则正方形的边长为， ∴其对角线长为 故答案为：． 【点睛】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 24．已知点是抛物线上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴当时，函数值最大， 又∵到的距离比到的距离小， ∴， 故选：B． 25．如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数，关键是熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象．根据得到同号，再判断即可． 【详解】解：由题意可知，同号， 当时，二次函数经过一、二象限，一次函数经过一、二、三象限， 当时，二次函数经过三、四象限，一次函数经过二、三、四象限， 故选C． 26．关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．图象与x轴没有交点 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象性质． 根据二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标，逐项判定即可． 【详解】解：A．，二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．∵，抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意； C．，顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； 故选：B． 27．如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的序号是（ ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右（简称：左同右异），③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于． 根据抛物线的对称性质得的对称点为，再根据二次函数的增减性便可判断①；根据抛物线的对称轴得，再根可据抛物线与轴交点位置得，进而便可判断②；根据抛物线的顶点坐标与二次函数的性质，便可判断③；由抛物线的对称轴得，再根据时，函数值的正负，便可判断④． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴是直线， 的对称点为， 抛物线的开口向下， ， 当时，随的增大而减小， ，分别是抛物线上的两个点，， ， 故①正确； ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ， 故②正确； 时，的最大值是， ， ，即， 故③正确； ， ， 当时，， ， ， 故④正确； 故选：D． 28．将抛物线沿x轴翻折，得到的抛物线的解析式为 ，沿y轴翻折，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是抛物线关于坐标轴对称变换的解析式求解．对于沿轴翻折的变换，解析式的变为；对于沿轴翻折的变换，解析式的变为．我们需要分别对给定的抛物线解析式进行这两种变换． 【详解】解：抛物线解析式为： 沿x轴翻折： 抛物线关于轴对称时，原抛物线上任一点变换为，因此原抛物线的解析式中，变为，得到： 将上式化简，即得关于轴对称的抛物线解析式： 沿y轴翻折： 抛物线关于轴对称时，原抛物线上任一点$(x， y)$变换为$(-x， y)$，因此原抛物线的解析式中，变为，得到： 将上式化简，即得关于轴对称的抛物线解析式： 故答案为：；． 29．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，；时，， ∴当时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 30．已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为，求此时t的值为（    ） A．1或 B．2或 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵时，与其对应的函数值y的最小值为，分两种情况： ①当时，即：时， 当时，，解得：（舍去）或； ②当时，即：时， 当时，，解得：（舍去）或； 综上：t的值为2或； 故选B． 31．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 32．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（　　） A． B． C．或 D．﹣1或 【答案】D 【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线， ∵﹣1≤x≤3， ∴当时，即，时有最大值1， ， ， 当时，即，时有最大值1， ， ， 或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． 33．已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（    ） A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y的最小值为． 当时，在中，y随x的增大而增大， ∴， 解得：，（舍去）； 当时，y的最小值为，舍去； 当时，在中，y随x的增大而减小， ∴， 解得：（舍去），． ∴m的值为0或7． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键． 34．已知二次函数在时有最小值，则(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数对称轴为直线， 当时， 在时有最小值， 当时，， ； 当时， 在时有最小值， 当时，， ； 综上所述，或， 故选：B． 35．已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由，可得当时，取最大值是，又当时，函数的最大值是，故，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意， ， 当时，取最大值是． 又当时，函数的最大值是， ． ． 故选：C． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 36．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，且经过点，下列结论：①；②；③若，则．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．由对称轴为即可判断①，由抛物线经过点，得出，对称轴，得出，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断③． 【详解】解：∵对称轴， ∴， ∴，①正确； ∵经过点， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵对称轴， ∴点的对称点为， ∵开口向上， ∴时，．故③正确； 综上所述，正确的有2个． 故选：C． 37．二次函数的图像如图所示，下列结论错误的是（    ） A．y有最小值 B．当时， C． D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可. 【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确； B、由抛物线可知当时，，故正确； C、当时，，即，故错误； D、由图像可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确. 故选：C. 38．二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③； ④（m为实数）． 其中结论正确的为（　　） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到，再结合当时，，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴， ，、异号，， ， ，①结论正确； 抛物线对称轴是直线， ， ， 由图象可知，当时，， ，②结论错误； 由图象可知，当时，， ， 又， ，③结论错误； 当时，为最小值， ， ，④结论正确， 故选：A． 39．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定的符号，再结合对称轴求解抛物线与轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴， ，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意； ∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴∵， ∴，故C符合题意； ∴； ∴错误，故D不符合题意； 故选：C． 40．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 【题型09：二次函数的平移变换】 41．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：，即． 故选：C． 42．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：，即． 故选：D． 【题型10：二次函数交点的个数问题】 43．如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式， 首先根据题意画出图象，然后求出，代入求出；然后得到当一次函数的图象与相切时，得到的，进而求出，然后根据图象求解即可． 【详解】解：如图所示， 当时，函数， ∴， 当一次函数的图象经过点A时， ∴，解得； 当一次函数的图象与相切时， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴由图象可得，当时，函数的图象与一次函数的图象有三个交点． 故选：D． 44．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 45．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． 或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示，    依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴    综上所述， 或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 46．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况： 直线经过点即左边的对折点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； 若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解： 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$