专题08 锐角三角函数重难点模型（四大模型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题08 锐角三角函数重难点模型（四大模型） 【题型01：背靠背模型】 【题型02：母子型】 【题型03：三角形+矩形模型】 【题型04：拥抱型】 【题型01：背靠背模型】 【方法点拨】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【变式1-1】如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽3m，坝高，斜坡的坡比，斜坡的坡比． (1)求坝底宽的长； (2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？ 【变式1-2】如图，拦水坝的横断面为梯形，根据图中的数据求： (1)坡角和； (2)坡底和斜坡的长；（精确到0.1m） (3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？ 【变式1-3】如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，斜坡长为26米，水平地面长为31米，    (1)求A处到地面的距离； (2)求此时无人机离地面的高度的长．（参考数据：） 【题型02：母子型】 【方法点拨】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2-1】郑州大学西北角附近，连霍高速公路上下口，耸立着雕塑“郑州高新，礼仪之门”，数学应用小组想使用皮尺和自制的测角仪利用所学的数学知识测量它的高度．如图所示，他们在地面上架设测角仪，先在点M处测得“郑州高新，礼仪之门”最高点A的仰角，然后沿方向前进到达点N处，测得点A的仰角（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为．请利用同学们的测量数据求“郑州高新，礼仪之门”最高点A距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【典例2-2】“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【变式2-1】如图，数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度．塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角． (1)填空：______°， ______°； (2)求点B到的距离； (3)求塔顶到地面的高度．（结果保留根号） 【变式2-2】图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底处测得该亭的亭顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡走行了13米，在坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为．求： (1)坡顶到地的距离； (2)回风亭的高度．（参考数据：，，） 【变式2-3】如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长，，坡角，． (1)求段山坡的高度； (2)求山峰的高度．（，结果保留整数） 【变式2-4】如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）    【变式2-5】为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，小明同学为测量宣传牌的长，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为，B，D，E在同一条直线上．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到米，参考数据，．） 【变式2-6】某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 【变式2-7】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝的斜坡步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为，建筑物底端E的俯角为．若为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度米，则此建筑物的高度，（结果保留根号）（，，）    【题型03：三角形+矩形模型】 【方法点拨】 已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。 【典例3】为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得楼顶的俯角为，底部的俯角为，求该栋楼的高度．（参考数据：，，结果保留根号） 【变式3-1】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【变式3-2】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)坡高______； (2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．（参考数据：） (3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【变式3-3】某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【题型04：拥抱型】 【方法点拨】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下 特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边 【典例4】如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【变式4-1】如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为（即），且，，在同一条直线上．求电视塔的高度及人所在位置点的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）    【变式4-2】如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锐角三角函数重难点模型（四大模型） 【题型01：背靠背模型】 【题型02：母子型】 【题型03：三角形+矩形模型】 【题型04：拥抱型】 【题型01：背靠背模型】 【方法点拨】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 【变式1-1】如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽3m，坝高，斜坡的坡比，斜坡的坡比． (1)求坝底宽的长； (2)修筑这个堤坝需要土方多少立方米？ 【答案】(1)坝底宽的长为 (2)立方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题： （1）由题意得，，，，进而可得，，再根据线段的和差关系即可求得； （2）先求出梯形的面积，再由水库大坝长500米可得修筑这个堤坝需要土方． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， 斜坡的坡比，斜坡的坡比， ，， ，， ， 坝底宽的长为； （2）解：，，， 梯形的面积， 修筑这个堤坝需要土方， 修筑这个堤坝需要土方立方米． 【变式1-2】如图，拦水坝的横断面为梯形，根据图中的数据求： (1)坡角和； (2)坡底和斜坡的长；（精确到0.1m） (3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？ 【答案】(1)， (2)， (3)修筑这样的拦水坝至少需要43500立方米的泥土 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）根据坡度等于坡角的正切值，求出坡角和即可； （2）利用坡度分别求出，进而利用线段的和差关系求出的长，勾股定理求出的长即可； （3）求出梯形的面积乘以水坝总长进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）作， 则四边形是矩形， 由题意，得：， ∴， ∴，； （3）由题意可得：（立方米）， 答：修筑这样的拦水坝至少需要40500立方米的泥土． 【变式1-3】如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，斜坡长为26米，水平地面长为31米，    (1)求A处到地面的距离； (2)求此时无人机离地面的高度的长．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)40米 【分析】本题主要考查了解直角三角形一一仰角与俯角问题和坡度与坡角问题，正确的作出辅助线、造所需的直角三角形成为解答本题的关键． （1）过作于F，在中，根据山坡的坡度，可得，设，，求得、BFj即可解题； （2）过作于F，由矩形的性质可得、，设米，求得米，最后在运用三角函数的定义解答即可． 【详解】（1）过A作于F， 在中， ∵山坡AB的坡度， ∴， ∴设， ∴， 解得 ∴米，米 ； （2）过A作于E，则， ∵， ∴， 设米，则米， 在中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，    解得：， ∴（米）， 答：A处到地面的距离为10米；此时无人机离地面的高度的长为40米． 【题型02：母子型】 【方法点拨】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2-1】郑州大学西北角附近，连霍高速公路上下口，耸立着雕塑“郑州高新，礼仪之门”，数学应用小组想使用皮尺和自制的测角仪利用所学的数学知识测量它的高度．如图所示，他们在地面上架设测角仪，先在点M处测得“郑州高新，礼仪之门”最高点A的仰角，然后沿方向前进到达点N处，测得点A的仰角（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为．请利用同学们的测量数据求“郑州高新，礼仪之门”最高点A距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】“郑州高新，礼仪之门”的高度约为． 【分析】延长交于点，设，在中，，可得，则，在中，求出的值即可求解． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，，， 设， 在中，， ， ∴， 在中，， 解得：， ∴． ∴“郑州高新，礼仪之门”的高度约为． 【典例2-2】“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 【变式2-1】如图，数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度．塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角． (1)填空：______°， ______°； (2)求点B到的距离； (3)求塔顶到地面的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)， (2)点B到的距离为米 (3)塔顶到地面的高度为米 【分析】（1）如图1，延长交于，由题意知，，由三角形内角和定理求，即可； （2）如图1，作于，则点B到的距离为，设，由坡度，可得，由勾股定理得，，可求，进而可得点B到的距离； （3）证明四边形是矩形，则，由（2）可知，，设，则，，，由，可得，可求，进而可求． 【详解】（1）解：如图1，延长交于，    由题意知，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图1，作于，则点B到的距离为， 设， ∵台阶坡面的坡度， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴点B到的距离为米； （3）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（2）可知，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴塔顶到地面的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，点到直线的距离，矩形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【变式2-2】图1是巴中市巴城地标建筑回风亭，它始建于1926年，占地面积210平方米，它不仅是红色巴中独具特色的标志性建筑之一，还是四川省第七批省级文物保护单位，具有重要的研究价值．九年级的浩文同学也十分喜爱回风亭，在学习了相关数学知识后，他与同学进行了“测量回风亭高度”的综合实践活动．如图2所示，浩文和同学在斜坡底处测得该亭的亭顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡走行了13米，在坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为．求： (1)坡顶到地的距离； (2)回风亭的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)5米 (2)约为米 【分析】（1）先过点作，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出的值即可； （2）先延长交于点，根据，，得出，四边形是矩形，再根据，得出，然后设，得出，在中，由勾股定理求出，最后根据在中，，列出一元二次方程，公式法求出的值即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点，如图所示： 斜坡的坡度为， ， 设，则，由勾股定理得， ，解得， ， 答：坡顶到地面的距离为5米； （2）解：延长交于点， ，， ， 四边形是矩形，，， ， ， 由（1）知， 设，则， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 坡顶处又测得该亭的亭顶的仰角为， 在中，，即， ， 解得：或， ， ， 答：古塔的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、锐角三角函数、仰角与俯角、坡度、解一元二次方程等知识，关键是作出辅助线，构造直角三角形求解． 【变式2-3】如图，为测量一座山峰的高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长，，坡角，． (1)求段山坡的高度； (2)求山峰的高度．（，结果保留整数） 【答案】(1)段山坡的高度为； (2)山峰的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度与坡角问题． （1）作于，如图，在中根据正弦的定义可计算出的长，从而得到的长； （2）先在中利用的正弦计算出，然后计算和的和即可． 【详解】（1）解：作于，如图， 在中，， ， ． 答：段山坡的高度为； （2）解：在中，， ， ． 答：山峰的高度为． 【变式2-4】如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）    【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于．解直角三角形分别求出、即可解决问题． 【详解】解：作于．   ，米， （米）， ， 四边形是矩形， （米）， ，， ， ，， ， ， ， ， （米）， 在中， ， （米）， （米）． 【变式2-5】为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，小明同学为测量宣传牌的长，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为，B，D，E在同一条直线上．然后，小明沿坡度的斜坡从C处走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为，求宣传牌的长．（结果精确到米，参考数据，．） 【答案】宣传牌的高度约为米 【分析】过点作于，证明四边形是矩形，计算利用坡度得，结合，计算即可，本题考查了坡度计算，仰角计算． 【详解】解：过点作于， 依题意知，，， 四边形是矩形， ， 在中， （米）， ； 斜坡的坡度为． 中，（米）， （米）． 在中， （米）， 在中， （米）， （米）． 答：宣传牌的高度约为米． 【变式2-6】某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可； （）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可； 此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）过点作于点，于点，    在中，，设，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴点到地面的高度为； （2），过点作于点，如上图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，∴， 即：，解得：， ∴， 答：建筑物的高度约为米． 【变式2-7】某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝的斜坡步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为，建筑物底端E的俯角为．若为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度米，则此建筑物的高度，（结果保留根号）（，，）    【答案】米 【分析】利用坡度的定义得到的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出以及的长，解题的关键是找到边长之间的关系． 【详解】解：过点B作，垂足分别为：N，M，如图所示： ，   ∵坡度i＝，米， ∴设，则， ∴， 则， 解得：， 故米， ∴米， 则， ∴米， ∵， ∴米， 故米， 则此建筑物的高度米． 【题型03：三角形+矩形模型】 【方法点拨】 已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。 【典例3】为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得楼顶的俯角为，底部的俯角为，求该栋楼的高度．（参考数据：，，结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于，作于，如图所示，根据坡度定义，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根据题意，利用矩形的判定得到四边形是矩形，结合矩形的性质及含的直角三角形性质，在得到，进而由勾股定理列方程求出，最后在中解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：过点作于，作于，如图所示： 沿斜面坡度为的斜坡前进到达点， ，且， 设，则在中，由勾股定理可得，即，解得或（负值不合题意，舍去）， ， ， 四边形是矩形，则， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得，解得，即， 在中，，则，解得， ， 答：该栋楼的高度是． 【点睛】本题考查三角函数测高，涉及坡度定义、勾股定理、解方程、矩形的判定与性质、含的直角三角形性质、解直角三角形等知识，根据题意，构造出直角三角形，利用三角函数求线段长是解决问题的关键． 【变式3-1】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，然后设米，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，， 设米， 在中，，米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， （米）， ， 解得：， 米， （米）， 该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【变式3-2】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)坡高______； (2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．（参考数据：） (3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)24 (2)10 (3)16.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据斜坡的坡比为，得出，设，则，由勾股定理即可解答； （2）在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、；根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． （3）设，则，根据，得出再证明四边形为矩形，得出 根据平行得到从而得出，列方程即可解答； 【详解】（1）∵斜坡的坡比为， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得， ∴， 故答案为：； （2）如上图所示，在上取点，使得，过点作与点， 由题意得，四边形为矩形， ∴， 由（1）得：， ∴， 在中，， ∴坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡． （3）设，则， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， 即 解得： 故教学楼的高度为 【变式3-3】某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【答案】楼高约，塔高约 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题．由题意可知：，解求出，解求出，根据即可求出塔高进而可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ 即楼高约，塔高约． 【题型04：拥抱型】 【方法点拨】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下 特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边 【典例4】如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【答案】(1)斜坡的高度EF的长为m； (2)旗面宽AB的长约为m． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含的直角三角形的性质可得米； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）在中，， ，由勾股定理． 斜坡的高度的长为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，即四边形为矩形， 则， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， （m）， 旗面宽的长约为m． 【变式4-1】如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为（即），且，，在同一条直线上．求电视塔的高度及人所在位置点的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）    【答案】电视塔高为米，点的铅直高度为米 【分析】过点作于点，于点，在中，，设米，则米，在中，，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点， 在中，，， ∴（米） 设米，∵， ∴米． 在中，，，， ∵， ∴，解得 答：电视塔高为米，点的铅直高度为米．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 【变式4-2】如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)10米 (2)约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，也考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过作，根据比例设，结合勾股定理求出，即可得到答案； （2）延长角的水平边交于则，由勾股定理求出，设，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过作， ∵的坡比， 设， ∴在中，， ∴， ∴； 答：小李从斜坡走到处高度上升了10米． （2）解：延长角的水平边交于则， 在中，， 设， 在中，， ， ∵四边形是矩形， ， 又∵， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 3 学科网（北京）股份有限公司 $$